книги из ГПНТБ / Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие

Пусть

X

есть

аффинная

координата

точки на

прямой.

Проективными координатами

и-

этой точки

называ­

ются целые

линейные1

функции

у. :

(м ;і)

"■

CLLI

lLl

лі,Х

»

где

1. ”

ft.«.

>-

.&■ О

(15,1)

»И.

Согласно (1 4 ,1 ),

каждой собственной точке

х

(аффин­

ной координате х

)

соответствует

пара

проективных

коорди­

нат

х ( , х^.Так

как

из

(1 4 ,1Л),-П. обратно,

или

X,

_ Л.<Х +

I *>

ла. I

к ь

4іг. Лі —Л/tXi

lÄ" CM

-

л и»,

1<III

то из последнего равенства следует, что каждой паре значе­

ний

х (,

* г ,за исключением

значений о,о,соответствует одно­

значно

некоторое

значение

х

(точка). Для

значений

<*■,,,аи

соответствует несобственная

точка

прямой.

Таким образом, проективные координаты, как однородные

координаты, определяют

все

точки проективной прямой.

*,/>.

Им

Рассмотрим точки с проективными координатами

соответствуют

точки

и

* =

- ^

.

Эти

точки,

согласно (1 5 ,1 ), отличны друг

от друга. Они называются фун­

даментальными точками

-М-і

и А , и,согласно

(1 4 ,1 ),

опреде­

ляются

проективными координатами

о,і

и

I,

0

.С о гл а сн о (І5 ,І),

х)

А .Э .-А .Хатипов,

Курс аналитическо й

геометрии, ч.В; изд

хх)

СаыГУ, Самарканд, 1969, стр.260,

I

183.

с т р .15

Ф. Клейн, Неевклидова геометрия,

Москва, 1936,

п,

-

(1 ,2 )

?

-J a -to s* * ,

Отметим,

что в

(1 ,2 )

и (2 ,2 )

п.

означает

(2 ,2 )

в

размерность,

т .е .

или

3

.Другими

словами,

случве

прямойп=3 .

в случае плоскости

/г =2

,

а в случае

пространства

в

Что касается

численного

множителя

р

,то

он вводится

(1 ,2 )

для

того, чтобы отметить, что

течка, например,

на

плоскости,

определяется

не

числами

х / ,

х ',х /

, а отноше­

ниями двух

из

них

к третьему: ( * , ' , ,

к',) и

(.р*1г$>*■!,?*4 )

одна

и та

хе

точка.

Запишем формулы (1 ,2 )

в аффинных координатах, например,

в случае

пространства.—*+а'іъИз„ (1 ,2+ )лчимеемJb,/

e

„

/

1

X .

X ,

Х Э

в-Y/ ^

+ а-/* -

v

,lä _ ., . .

■+ ЛѴ1

Обозначим аффинные координаты

и

*-3

*Ѵ

X,

ч

*у

через X , ^ ; -Z

и

*■'> 3 >^

соответственно ; тогда

будем

иметь:

Курс аналитической геометрии,

ч

х) А .Э.-А .Хатипов,

издательство

СамГУ. Самарканд,

1969,

с т р .ІЮ ,

& 159 и

с т р .156, § 169; А .Э.-А .Хатипов,

Курс

проекрвнбй

геомет­

рий издательстве СамГУ, Самарканд,

1971, § 37,

§ 49.

-

13 -

Ä „ X

*- a /t j

+ ü ,j Z

fl-iy

7 ' - *>/7 i t*% Jr n u ' о o \

"Т^Г;------------------- '*

'

Таким образом,

в аффинных координатах проективные пре­

образования задаются дробно-линейными функциями, причем

знаменатель у всех дробей одинаковый.

Укажем на один важный частный

случай. Положим в (3 ,2 )

лѵ - о , лѴі= о ,

= о ^ лѵѵ

= 1■

Мы получим преобразования, которые называются аффинными

преобразованиями:

X

+■

Л-<2

7-ft/y

у 1=

л і/

І- A-fi*

>

Г.1

/Л +■ ÄjLtjf

C^j2)

-

+ ЛХ)'2. + Я-lYj

°-і

•z' -

Й.,/Х +

+ Я>У

Эта-запись

в аффинных координатах.

о ,

= о, «^с-» Мы полу­

Положим

в (4 ,2 )

«,у =о ,

а іѵ =

У=

л „ х +

сцЛ^

z ,

(5 ,2 )

г'=

Лг/Х +

«і£

+• Л?3х

а,,*-*

преобразованиями. Преобразования,

задаваемые формулами

(4 ,2 ) называются

свободно-аффинными. Очевидно, что всякое

свободно-аффинное

преобразование

может быть получено из

вует

проективное

преобразование,

которое

переводит

точку

Ât■

■ Л, в

точку

Х 1

и преобразование,

которое

переводит

точку

в точку

,то

существует проективное

преобразование,

нений

=.&/,#/ + й ,*х .а. т ^-/з '

или

=

а « х / +

•+-

геометрии, ч.Ш,

х) А .Э .-А .Хатипов,

Куос аналитической

CTO .IS6-I87Ä

75 : А .Э.-А .Хатипов,

Курс проективной

геометрии, §

51, § 52.

Будем

-

16 —

( , -ьх ,

Как перемен­

рассматривать

в

(1 ,3 )

и

ные, а

X,

,

,х 3

как

данные

постоянные. Очевидно, что

проходят через

точку

т *4

м ) •

(2 ,3 )

Уравнение

*7 X,

-т- аj < j

где * , , * . / * з ,

х-у

проективные координаты,

представляет плос­

кость в пространстве в проективных координатах. Плоскость

определяется однозначно заданием отношений коэффициентов

к/ »

входящих

в ( 2 ,3 ) , Поэтому числа л,

,u t> “i , u v

(2 ,3 )

é ,ѣ

С f S)

как

переменные, а

,

х ,

,

, * ѵ как

данные постоянные, то все плоскости, координаты которых

удовлетворяют ( 2 ,3 ) ,

проходят

через

точку

( * ,,* ,.,* * ,

* у^),Мы,

следовательно, получим связку плоскостей. Таким образом,

уравнение

(2 ,3 )

при переменных

*•, , х*и ,ъ ,и у

представляет

плоскость,

а при переменных

«, ,

,

связку плоско­

стей.

Последние два положения получвются заменой слова точ­

ка словом

плоскость.и

наоборот. Соответствующее положение

имеет место для случая плоскости: уравнение

С

1,3) при пере­

менныхг

*,, с »

,

*з

представляет

прямую, а

при перемен­

ных І

3

- пучок

прямых (совокупность

прямых, проходя­

щих через

точку

с

х ,

, * * , * , ) .

(1 ,3 )

при переменных

,

Можно сказать и так: уравнение

*z,*j

представляет

совокупность

точек,

инцидентных30)

одной прямой, а при переменных

_

совокупность пря­

мых,

инцидентных

одной точке. Уравнение (2 ,3 )

при перемен­

ных

представляет

совокупность

точек,

инци­

дентных одной плоскости, а при переменных

fiß , С,& -

сово-

две различные прямые пересекаются только в одной точке вер­

на только

первая.

Принцип двойственности был установлен впервые в 1822г.

Понселе. Этот принцип он обосновал при помощи теории полю­

сов и поляр (см . §

6 ) . Яергон дал принципу двойственности

аксиоматическое обоснование. Для этого, очевидно, достаточ­

но показать, что все аксиомы проективной геометрии*'взаим­

но двойственна. Плюккер дал чисто аналитическое обоснова­

ние принципа двойственности следующим образом. Предположим,

что мы доказали некоторое предложение при помощи некоторых

выкладок.

Мы можем произвести соответствующие выкладки,

заменив переменные

*

переменными

и.

, и наоборот. Таким

образом, мы получаем два различных геометрических предложе-

х) А .З .-А .Хатипов,

Курс

проективной

геометрии; издатель­

ство СаыГУ, Самарканд, 1971, с т р .13, § 5 .

библиотек,: r -

ÖCCP

■

'l —

'

....

_

у

7

:

%Т

( I» 1*)

( X J Z T ) -

7ТУ

В

(1 ,4 )

X Z f Z -У, У.Т,

Yy~

- длины отрезков, определен­

Т У

ных на

прямой четырьмя

данными точками $ длины

берутся с

соответствующими

знаками.

» т о

говорят, что

точки X ,У . 7,Г

Если

( Х У

Z Т

) = -"/

образуют

гармоническую группу.

Исходя из

(1 ,4 )

легко

показать, что

( y y z T " ) = ( z r * y ) ,

( W Z T )

=

( Ѵ Х . Г

Z ) ,

{ X.yz Т)

=

1: ( У * Z Т ) ,