книги из ГПНТБ / Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие

следовательно, точки ленат на оси абсолюта. Равенства (25,29) - следствия ^26,29). Итак,

Из сказанного в конце § 21 о геометрическом значении параметра 9 следует, что (27,29) есть поверхность, обра­ зованная вращением плоской линии около абсолюта (см.рису­

нок).

Отметим, что интеграция основных уравнений (3,29)

в обоих рассмотренных случаях производилась без накладыва­

-ІЮ -

§30. Новая интерпретация евклидовой геометрии

Отметим следующее важное положение. Б конце § 5 цити­

рассматриваемой как место прямых, будет геометрией евклидо­ вой плоскости. Принимая во внимание замечание, сделанное

Таким образом, геометрия первого рода развертывающихся поверхностей есть геометрия евклидовой плоскости, рассматри­ ваемой как многообразие своих прямых. Тем самым имеем свое­ образную новую интерпретацию евклидовой геометрии.

§ 31. Случай абсолюта, состоящего из пары действи­ тельных плоскостей

В §§ 17-30 абсолют предполагался распавшимся на перу комплексно-сопряженных плоскостей.

3 настоящем параграфе абсолют предполагается распавмимся на пару действительных плоскостей. Так как геометрия пространства с подобным абсолютом строится аналогично слу­ чаю, рассмотренному в §§ 17-30, то мы ограничимся указанием лишь тех полохѳний, которые являются специфическими для данного случая. Во всем остальном мы ссылаемся на §§ 17-30.

х) Борден А . П . , Обобщенная геометрия двумерного линейчатого пространства ; Мат. сборник, І8 (60 ):Г, 1946, § I .

- I l l -

нием

X'}) '■ - X .у = о ,

где у* - однородные координаты точек полярной плоскости.

где С , 'Jj - действительные точки пересечения прямой ЛЪ с плоскостями со/ , co^ ,а 4t - постоянное, которое можно поло­

жить равным А . , при действительном Я ,и нормируя одно-

%с

родные координаты х** точки пространства так, чтобы было

Имеем следующие особенности для расстояний: I) Ка вся­ кой прямой, не пересекающей оси абсолюта, устанавливается гиперболическая метрика; 2) если пряная пересекаеі ось абсолюта, расстояние между точками х“ , у01 равно нулю в случае, когда ни одна из них не лежит на оси абсолюта; расстояние между ними становится неопределенным.

из -

в многообразии а.', ц* две геометрии аффинной связности без кручения, которые назовем внутренними геометриями поверхности І-г о и 2-го рода.

Б символах ковариантного дифференцирования І-го и 2-го рода основные уравнения ( б ,31) поверхности имеют вид

есть условие Гаусса ; оно аналогично условию, которое при­ водится у Бианки (§ 484, ст р .577), но здесь роль дискри­ минанта первой основной формы поверхности играет і* - ; (8,31) - условие Петерсона - Кодвцци.

Из (7,31) следует, что для развертывающихся поверхно­ стей, характеризуемых условием £■=о »кривизна т . е . равна кривизне пространства.

Во всем остальном (с несущественными модификациями) мы находимся в условиях материала §§17-30.

В частности, имеем следующий важный результат: геомет­ рия І-го рода развертывающихся поверхностей есть геометрия евклидовой плоскости, рассматриваемой как многообразие своих прямых.

§32. Конгруэция

Квопросу о конгруэнции, связанной с поверхностью

- II4 -

можно подойти и с несколько иной точки зрения. Мы коснемся этого вопроса весьма кратко.

Под прямолинейной конгруэнцией в пространствах с распа­ давшимся абсолютом будем понимать всякое многообразие пря­ мых, к которым отнесены взаимно однозначно два параметра

u', té- . Мы будем считать конгруэнцию заданной с точностью до проективного преобразования пространства, оставляющего аб­ солют неизменным.

С каждой конгруэнцией можно связать поверхность

где к - нормированные однородные координвты точки про­ странства, n 'f и.1 - криволинейные координаты на поверхно­ сти. Точки этой поверхности (опорной поверхности) можно поставить во взаимно однозначное соответствие с прямыми конгруэнции; опорная поверхность конгруэнции выбирается с точностью'проективного преобразования пространства.

Примером конгруэнции, определенной выше, является много­

(§ 2 6 ). Эта конгруэнция гармонична поверхности ( § 26).

Необходимо указать признак, по которому конгруэнция определяется с точностью до проективного преобразования пространства. С этой целью мы воспользуемся цитированной работой Нордеьа ^Обобщенная геометрия двумерного линейча-

х) Хатипов А .Э .-А . Теория конгруэнций в пространстве с распа­ дающимся абсолютом; сборник "Исследования по обыкновен­ ным дифференциальным уравнениям"; иэд»"Фав",Ташкент,1967.

- II5 -

мейством прямых. Точкой на данной прямой называется вектор заданный на данном элементе при условии, что векторы ,

ность, рассматриваемая как непрерывное многообразные элемен­

и опорной поверхностью вытекает, что конгруэнция также при­ надлежит к<кшу пространств S a .В частности, семейству прямыхѵЖнеХчатая поверхность конгруэнции. Поэтому на геомет­ рию І-го рода и конгруэнцию (обозначим ее через S4 ) распро­ страняются все те результаты, которые установлены Норденом

относительно которой коэффициенты связности принимают такой

так как вместо формулы (34) Бордена в данном случае имеем формулу (7 ,2 4 ), то вместо формулы (41) будем иметь формулу

(5,32)

В упомянутой работе Норден устанавливает, что простран­ ство у б у д е т проектйвно евклидовым, если его кривизна зависит только от потенциала У основного вектора су. .Этот результат для опорной поверхности имеет следующую формули­ ровку: опорная поверхность будет облѳдать.проективно евклидо­ вой геометрией І-го рода, если ее внутренняя кривизна есть функция только су :

К. = К?с <S) ■

- II6 -

Тип поверхности, обладающей этим свойством, легко выявляется интегрированием в нормальной системе коорди­ нат (3,82) основных уравнений конгруэнции:

d-

где ОС _ однородные координаты точки пересечения нормали І-го рода в точке ^поверхности с осью абсолюта. Оказы­ вается, что этим свойством обладают поверхности разверты­

вающиеся и поверхности вращения, для которых линии <$- соиі суть асимптотические линии.

Необходимые и достаточные условия существования конгру­ энции (поверхности), имеющей $ij и в качестве пер­ вого и второго тензоров имеют вид (§ 26):

Гаусса, а (8,32) - условием Петерсона - Кодацци. Иначе гово­ ря, задание конгруэнции ^ эквивалентно заданию опорной поверхности (1 ,3 2 ).

Изучение свойств конгруэнции ^ можно продолжить и дальше, причем базой для этого будет служить упомянутая статья Пордена и свойства геометрий І-го и 2-го рода опорной поверхности.

В предыдущих исследованиях абсолют предполагался состоящим из двух комплексно-сопряженных плоскоотей.Аналогично можно рассмотреть случай, когда абсолют состоит из пары пересекающихся действительных плоскостей. Изменились бы некоторые соотношения, например, вмеотс (7,32) иы име­ ли бЫ (§ 31) ' ' ■

4 . Картан Э ., Геометрия Романовых пространств, Москва, 1936.

5 . Эйзенхарт Л. П. , Риманова геометрия ; перевод М.Г.Шестопал, под ред. А.М.Лопшица, Москва, 1948.

6 . Иорден А . П . , 0 внутренних геометриях поверхностей проективного пространства ; Труды семинара по вект. и тенз. анализу, вып.УІ, 1948, вып.УП, 1949, Москва.

7 . Норден А .П . Пространства аффинной связности, Москва,1950.

9 . Норден А . П . , Обобщенная геометрия двумерного линейчатого пространства ; Матем. сб . 18(60): I , Москва, 1946.

10.Хатипов А .Э .- А ., Основы тензорного исчисления и римановой геометрии, под ред. А.П.Нордеиа, издательство УзГУ* Самарканд, 1957.

•II. Хатипов А . Э . - А . , Курс дифференциальной геометрии; издатель­ ство СаыГУ, Самарканд, 1971.

12.Хатипов А .Э .- А ., Курс проективной геометрии; издатель­ ство СамГУ, Самарканд, І-97І.

ѵЛЗ. Хатипов А .Э .- А ., Теория поверхностей в пространстве с распадавшимся абсолютом; Труды семинара по вёкт. и тенз. анализу, вып.Х, Москва, І9Ѳ І.

І4 . Хатипов А .Э .- А ., К теории поверхностей в пространстве е распадающимся абсолвтоы$Труды семинара по вект. и тенз.

- II8 -

анализу, вып.ХІ, Москва, 1961.

І5.Хагипов А .Э .- А ., Теория конгруэнций в пространство с распадающийся абсолютом; Сб."Исследования по обыкн. диф. у р ." , издательство "Фан", Ташкент, 1967.