книги из ГПНТБ / Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие

что векторы, 'коллинеарные данному, определяют

в многообразии

и

1,

и.1

(на

поверхности)

направление

(§ 16),

то можно

будет

утверждать,

что для

данной точки многообразия

і*/ ,« -1

(по­

верхности)

формулы (і,2 7 )

и (2,27) устанавливают взаимно

однозначное

соответствие между направлениями многообразия

I

и'9и.1

(поверхности)

и нормальными точками и нормальными

плоскостями.

V

Если нормальная

точка

<f l

соответствующая

направлению "У ,

лежит

в нормальной плоскости

(І

, соответствующей

направ­

лению

иг1

,то

Tr' ъг

U-j f

'Ur*

о

г' u ~f -

’

=

■/

у .

I

или,

согласно

(2 ,2 2 ),С /к г-‘Ѵ

/3 = о .

точка

лежала

Таким

образом,

для

того,чтобы нормальная

.(поверхности)

были сопряжены

(§ 22). В частности,

нормаль­

ная

точка и нормальная

плоскость, соответствующие,

одному

и тому.не направлению, будут инцидентны тогда и только

тогда, когда

это направление - асимптотическое (§

2 2 ).

Соответствия, устанавливаемые формулами (1,27) и

( 2 ,2 7 ) ,.дают

возможность истолковать параллельное

пере­

несение направлений определяемых геометриями І-го и 2-го

рода

( § 1 6 ) .

ѵ ;‘

'

в геомет­

рии

Пусть направление

переносится параллельно

І-го рода

5

так что

(3,27)

согласно (1,27)

и (6 ,2 3 ),

будем

иметь

сіѵ

=

<7 -fr-

+

ТгР

V , X

cL« =

=

': Н

или

<ІіІГК=

-7^Ѵ К-і- £ X

+

•

( ^ ^ 7 )

условие

Обратно,

если

cU'1

представляется

в виде

(4 ,2 7 ), то

(3,27) параллельного

перенесения

направления

тг1

будет

выпол­

нено.

-

- IO I

-

ческих линий поверхности (§ 16).

.Мы видели,что геометрия

І-го рода является эквиаффинкой

(§ 2 4 ). Но извести? (§ 16),

что гетмеоия, сопряженная данной

ходим к заключению, что геометрия 2-го

рода является эквиаффин­

ной. Отметим, что так как с?;,согласно

(5 ,2 4 ), определяет в

сопряженное ему

направление X : определяет в геометрии вто­

рого рода поле

абсолютно параллельных отправлений .

хх)

,

2>t1

И

toe

L—f a h l . finden,

,1924, гл .ІУ , § 2 .

-

102

-

з и ч е с к и х

н а

п р я м ы е

е в к л и д о в а

п р о с т р а н с т в а

ч

и с л а

и з м е

р е н и й

) .

Л л я

с л у ч а я

д в у

х

и з

м е р е н и

р

а к т е р и з у ю щ

е е

т а

к у ю

г е о м е т р и ю

и м е

е

т

в

и д

у “ '

( %

О ,

пространством

,если

в нем существует ковектор

L та­

кой, что

VJ-

= 0 .

у.

у.

Элемент

1

называется

прямой,

а непре­

(^ ^ п р о с т р а н с т в а

Sjt

рывная

последовательность

элементов

и * ъ & \ и )

- семейством

пряных. Точкой на

данной прямой называется

вектор

TrL

задан ­

Из сказанного о геометрии первого рода, следует,что

поверхность .р ассматриваемая как

непрерывное многообразие

х)

Ü .С.

,г л . ІУ , формулы

(14) и

(19).

%

хх)

Норден А .П ., Обобщенная

геометрия двумерного линейчатого

пространства ; матенатич.сб.,

18(60): I t Москва

1946.

причем в данном случае

в качестве прямой, соответствующей

элементу

можно взять ее нормаль, второго рода, а в

качестве

точки - точку

J

tt -

- о ,

:-Р.

(1,29)

где Р -скалярная

функция

двух переменных д , р $

имеем формулу (6 ,7 3 ), то вместо,

например,

его же формулы

(41)

будем иметь формулу

(2,29)

? - Л

что

В § 5 цитируемой работы Норден устанавливает,

Пространство

будет проективно

евклидовым

, если кривизна

зависит

только

от потенциала

.

основного

вектора

у

.

причем асимптотические

линии

суть ее

прямолиней­

ные образующие.

искать

f

как

функцию только

от

р

.

Будем теперь

Согласно

(7 ,2 9 ),

(4,29)

и (5 ,2 9 ), имеемм

(9,29)

'

С

=

-

Dp .

/Г-і=

(10,29)

ІС

2

.

(11,29)

Из

(9,29) следует,

что

координатные, линии искомой

поверхности образуют сеть сопряженных линий. Из

(10,29)

диф­

ференцированием

по

р

,

согласно

(11,29), (7,29)

и (10,29),

получим

два случая:

Рассмотрим

(12,29)

1)

f i

,5+ / " = о

;

f " = 0 ,

2)

К ( Ч , >

РІ +7

’

имеем

« 3 ,2 9 )

В первом

случае из (12,29)

Jf

=

Cp-n.it

Поэтому,согласно

(7 ,2 9 ),

следовательно,

линии

-асимптотические. Кроме

■ того, согласно

(9 ,2 9 ),

,

^

ёг%~ £,і

- О .

нения этой

поверхности:

+

(

из которых

SL С 1

<£) .

р

$

Ю ,

линии

9 = й - к - пря­

следует, что асимптотические

молинейные

образующие развертывающейся

поверхности.

Рассматривая второй

случай,

из (1 3 ,2 9 ),

в силу ввэави^'

симости S’

и р , имеем

ч

CO Wbt.

Умнокая

третье

равенство

группы

(16,29)

н а/Г .^ и

вы­

читая

результат из

первого, получим

или,

*

•= - jC-p * - р - X + К - р &* р р

согласно

(17,29)

и

(18,29),

i t f > <-V

С9) -

“

л- Т \ < - Г )

і/ѵ

+ п -.‘ Р

\

»

откуда, в силу

независимости

!)

и f

, имеем

два

уравнения

для

определения функций

ѵ * с и з^с/у

:

(19,29)

П Ч )

= с .

где

С

-

К - р \ 'і Г > -

К т - ^ Р ) - \ < О г С ,

(20,29)

постоянное. Уравнение

(19,29)

с постоянными

коэффи-'

циентами

имеет

решение

где

и

Ч) = у, Cofc <? -*• JT»

+ C,

у,

jf

-

произвольные постоянные.

Эйлера

Уравнение

(20,29)

принадлекит

к типу уравнений

и при помощи подстановки

приводится

Р = е

коэффициентами:

кКуравнению& - 1 Кс &постояннымит р - с -

Общее

решение этого

уравненияс имеет

вид:

% i

Ч *

С_____

7| = л , €

ч-

Ѵ ч - 'У

» c v ^ ;

в уравнения (20,29) - вид:

где ^

и

\

-

корни характеристического уравнения

а л ,

и Ä j -

АГгь— д Л Г г —

произвольные постоянные.

Таким образом, уравнения искомой поверхности, согласно

(17,29)

,

имеют вид