книги из ГПНТБ / Хатипов А.Э.-А. Курс проективной геометрии пространств с распадающимся абсолютом учеб. пособие

Так

к8к

-

90 -

R tf для эквиаффинной связности симметричен(§ 14),

то (§ 13)

tj

откуда

(§

13)

Я с

=

■

Поэтому,

согласно

(6 ,2 4 ),

■ или,

опуская

индекс і

,

(7,24)

или

»согласно

4iJ

= ^ 9 c 9 j

( 4 , 2 л ,

К:;

. К

к .

кривизной поверхности.

Назовем инвариант

к.

внутренней

§ 2 5 . Условия

интегрируемости

согласно

(15 ,2 3), по-

Дифференцируя

ковариантно (6 ,2 3 ),

лучюі

* * =

“ p j

+ ’'e

^ *

+

4

S 4 T '

(9 ,1 3 ),

Поднимем здесь

индекс

£

и свернем с

j J согласно

получим

*

' .

.

*

ъ

х

‘* t u

t

д

„

ч

ч

V x

; .

Сравнивая здесь коэффициенты при одинаковых координатах,

согласно

(8 ,2 4 ), получим

(1.25)

к

=

^ ij -tic**?

>

V V i* -

о

(2.25)

Дифференцируя

-

91

-

согласно (1,24)

(5,24)

и (6 ,2 3 ),

(15,2 S),

получим

с ~

J

+ - у

J

'У'

**

fC

%

ѵ - я

V-

* *

■+ (г'; Ö С ;

^

*

^согласно

(4 ,1 3 ),

Поднимем; здесь

индекс

J

и свернем

с

і

получим

* \ = ° >

(3,25)

Из

(3,25)

£ ./ з У ° Ѵ - ° -

градиент. Из

(4,25)

следует,

что

есть

(4 ,2 5 ).

,

следует,что направления,

определяемые векторами

>‘ и

Ч"*

являются сопряженными (§ 22).

9

Введя обозначение

ел

(5,25)

получим

і-

іо і.

( Р

,

J

*

<7.

èc«9*

<7. £

.

откуда,

согласно

(2 ,2 5 ),

cl

имеем

следовательно,

f t-

есть

градиент.

(5 ,1 3 ), получим

Сравнивая

(4,25)

с

(5 ,2 5 ),

согласно

V-. = v t - .

(6,25)

На (6,25) можно смотреть как.на два уравнения с неизвест­

ным .В силу совместности этих уравнений должно быть

Так

К8й

4 ;

и П

■

■І І ' І"tj. 1=0*

имеем

- градиенты,

то отсюда

(7.25)

(f'z. f ( t)

?

-

92 -

0 ,2 5 )

откуда

х /

Л.

i ,

/у»

t ,

v*-* US.

следовательно,

(10,25)

Кроме того,

Х ' - Х Ъ ) -

и первой формуле

согласно

(4,20)

группы (5 ,2 0 ),

имеем

Л .

, U .J ■ + Л .

и .ч =

1 .

/*у4 *

'

»

Присоединяя

сюда

(7 ,2 0 ),

получим два независимых уравнения

относительно

и,3

,

u.f

,

из

которых согласно

(1 0 ,2 5), еле-,

дует, что

u.3

= U j d ) ,

(11,25)

Свертывая (9,25) c . ^ ,

zполучим

(12,25)

Дифференцируя

K.

ковариантно (16 ,2 3), получим

к

, а

*

^

*ы

или, согласно (5,25) ,

,

(13.25)

t c X

откуда, свертывая с с/се"cue

,rполучим

(14.25)

;

я * найдется,

согласно

Отсюдаt

(10,25), как функция

аргумента

, который можно

считать

играющим роль

пара­

метра вдоль оси абсолюта. .

имеем

Преобразуем условие

(1 ,2 5 ) .Согласно ( 8 ,25),

Поэтому

-

94 -

—

(19,25)

Теперь

(15,25),

V J

согласно

(19 ,2 5 ),

примет вид

откуда

/С

-

- P J

~

7 1

>

(20,25)

/ -

§ 26. ^войной абсолют

w, и а , имеется

При абсолюте,

образованном плоскостями

произвол в определении функций, входящих в (10,25), (11,25),

(20 ,2 5 ). Поэтому неоднозначно

определяется и нормаль І-го

рода к поверхности

в точке

х * .Ценою дополнения абсолюта

двумя комплексно-сопряженными

точками

0,

и

лежащими на

оси абсолюта, можно устранить эту неопределенность и опреде­

лить нормаль І-го рода однозначно.

пары плоскостей

со, и со*

Назовем

конфигурацию,

состоящую из

и лары точек

Ot ,Ot

, двойным абсолютом,

а

действительную прямую

пересечения

плоскостей w,

и ^ _

по-прежнему осью абсолюта.

Полярные преобразования

относительно

двойного абсолюта

определим следующим образом. Для произвольной

точки

А

простран­

ства полярную плоскость будем

определять

так

же,как

относи­

тельно прежнего абсолюта. Если

точка

А

не лежит на оси абсо­

люта, а =(А- ее полярная плоскость,

уз -

плоскость,

проходя­

щая через

и ось

абсолюта,

тс пара

гармонически раэделя-

. ется парой со, , сох

и является

соответственной

в инволюции,

' определяемой

двойными плоскостями со, ,

.Если точка

А

лежит

<s>%

Обозначим через

, точку пересечения этой плоскости с осью

абсолюта, а через

Ö5 - точку, сопряженную

9 ,

, в инволю­

ции, определяемой

на оси абсолюта двойными точками

Ot

,

Ох

.

Назовем точку

Ф

полюсом плоскости

’S’C

.Полюсом плоскости,

проходящей через

ось абсолюта, очевидно, будет

любая

точка

- 95

-

о с и

а б с о л ю т а .

Т а к и м

о б р а з о м ,

о т н о с и т е л ь н о

д в о й н о г о

а б с о

т о ч к е

п р о с т р а н с т в а ,

н е

л е ж а щ е й

н а

о с и

а б с о л

с т в у е т

е д и н с т в е н н а я

п о л я р н а я

п л о с к о с т ь ,

и

к

н е

п р о х о д я щ е й

ч е р е з

о с ь

а б с о л ю т а ,

с о о т в е т с т в

н ы й

п о л ю Ь .

" л я

т о ч е к ,

л е ж а щ и х

н а

о с и

а б с о л ю

п р о х о д я щ и х

ч е р е з

о с ь

а б с о л ю т а ,

с о о т в е т с т в у ю щ

с к о с т и

и

п о л ю с ы

н е о п р е д е л е н н ы .

О ч е в и д н о ,

ч т о

п о л ю с ы

и

п о л я р н ы е

п л о с к о с т и

в а

с в я з а н ы

м е ж д у

с о б о й

б о л ь ш и м

п р и н ц и п о м

д в о

О б о з н а ч и м

п о - п р е ж н е ч илу

чт ае нр ге ез н ц и а л ь н ы е

к о о р д

н а т ы

к а с а т е л ь н о й

п л о с к о с т и

к

п о в е р х н о с т и

в

р е з

Z1* -

т о ч к у

п е р е с е ч е н и я

к а с а т е л ь н о й

п л о с к о

а б с о л ю т а ,

а

Яч е -р е пз о л ю с

к а с а т е л ь н о й

п л о с к о с т и

х ^ и

Л ? “

я в л я ю т с я

с о о т в е т с т в е н н ы м и

в

и н в о л ю

т а

с

д

в о

й н

ы м

и

т о ч

к

а

м и

<?,

,

;

с л е

д о

в

а т

е л

ь

Н

о р

м

а

л

ь

І

- г

о ■г

р

о д

а

в

п

р о

и з в

о

л ь н о

Сй1,26)т о

ч к

е

п

о

с и х

п о р

у д о в л е т в о р я л а

д в у м

у с л о в и я м ;

1 )

Ѳ

н э

б ы л а

о р т о г о н а л ь н а

к а с а т е л ь н о й

п л о с

т о ч к е ,

с л е д о в а т е л ь н о ,

п е р е с е к а л а

о с ь

а б с о л ю т

2) конгруэнция нор?.іалей І-го рода была сопряжена поверх­

ности.

Все вычисления до § 26 подчинялись только этим двум

условиям.

рода

к поверхности

в точке

*

Назовем нормалью І-го

прямую,

соединяющую

*"* с

полюсом касательной

плоскости

к

поверхности

в

х0* .Нормалью 2-го

рода

в точке

* -по-преж­

нему

назовем

прямую пересечения

касательной плоскости

в *

с полярной плоскостью точки прикосновения.

Таким

образом, с

каждой

точкой х“ поверхности мы свя­

зали прямую (нормаль І-го

рода), проходящую через

х~ ,

но

не лежащую в касательной плоскости

в

х

, и

прямую (нормаль

2-го

рода),

лежащую в касательной

плоскости

в

х ,но не про­

ходящую через

л* .

называет

поверхность

норыализо-

В этом

случае

I.орден

' Так как,

кроме того, имеет место (8,21)

(2,26)

то можно поло—

жить

«3

» ьг.*б,

(3,26)t

где б , согласно (Ъ.,25),

есть некоторая функция от

.По­

этому из (2,26)Xимеем

X Ч-fr^ б г

откуда

’с СЛІѳ

•

.г

(4,26)

j - 'i t ) •+ г»1 *

о.

Теперь (20,25)

примет

вид

(6,26)

K

- l + n S ^ -

Приняв

во внимание все предыдущие результаты, приходим

к следующему

заключению:

Если

вLj

, определяющие псевдориманову

геометрию,

заданы G y

и коэффициенты

второй

квадратичной формы, удовлетворяющие

условиям

Гаусса

(11,26)

и Петерсона-Кодацци (2 ,2 5 ), то тем

самым поверхность

определяется

с

точностью до проективного

преобразования пространства, оставляющего двойной абсолют

неизменным о

<sL

ОС'*-

х * - из

-

из

Ериt iэтом

найдется

из (5,24) или (4 ,2 1 ),

(2 ,2 3 ),

(8 ,2 5 ),

(5 ,2 5 ),

из (17,23),

в котором

согласно

(20)25)

и (11,26).

(5 ,2 5 ),

(12,26)

Теперь

(18,23),

согласно (12,26) и

можно окон­

чательно представить

ti+L&ßj <S

г

Pj

в следующем виде:

О у -

9

§ 27. Характер геометрии 2-го рода

которое имеет место

Установим

следующее

соответствие,

У 1

на всякой поверхности, нормализованной по Нордену.2^

и.1,

и.1

вектору

аналитического

Поставим

контравариантному

lrfiX$

в соответствие:

многообразия

(2,27)

(1,27)

*

. точку, лежащую на

нормали

плоскость, проходящую через

2-го рода

в

Xе (назовем

ее

нормаль

І-го

рода

в

(назовем

нормальной точкой).'

её

нормальной

плоскостью).