книги из ГПНТБ / Торгашев В.А. Система остаточных классов и надежность ЦВМ

Поскольку во всех трех случаях Б, > 3, можно утверждать, что

вкодовом слове произошла двойная ошибка.

Вобщем случае далее следует проверять справедливость не­

{ - Д } . „ = (0,0, 4,0,0,0,9,0) 1(.

Прибавляя последнюю величину к вектору А', получим исходное кодовое слово:

{Л}іМ= {0,2,6,3,10,5,16,2}лГ

2.5. КОНТРОЛЬ И КОРРЕКЦИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИИ В СОК

Все операции, выполняемые в ЦВМ над числами, представлен­ ными в СОК, можно разбить на три основные группы.

К первой группе относятся такие операции, при выполнении ко­ торых ошибка в одном модуле не влияет на значения остатков, со­ ответствующих другим основаниям системы. В эту группу входят модульные операции сложения, вычитания, умножения (без округле­ ния), а также операция пересылки чисел.

При выполнении операций второй группы ошибка в одном сим­ воле может распространяться и исказить символы, соответствующие другим основаниям СОК- К таким операциям можно отнести вычис­ ление позиционных характеристик, расширение системы основании, деление, умножение с округлением.

Наконец, к третьей группе относятся такие операции, результаты которых уже не являются числами, представленными в СОК. Такими операциями являются, например перевод числа из СОК в позицион­ ную систему счисления, определение знака, сравнение чисел по абсо­ лютной величине и т. д.

При выполнении операций второй и третьей групп приходится оце­ нивать величину чисел и, следовательно, вычислять их позиционные характеристики. Таким образом, появляется возможность практиче­ ски без дополнительных затрат времени и аппаратуры контролиро­ вать правильность выполнения этих операций, а также правильность исходных операндов.

Если над результатами операций, относящихся к первой группе, довольно часто выполняются операции немодульного типа, то нет

60

необходимости специально контролировать правильность выполнения каждой модульной операции, так как при этом не происходит рас­ пространения ошибок. В тех же случаях, когда в ЦВМ на протяже­ нии длительного времени выполняются только модульные операции, через определенные промежутки времени (зависящие от интенсивно­ сти помех) для проверки отсутствия искажений следует вычислять вектор {nw}R1. Если корректирующий код используется не только для обнаружения, но и для исправления ошибок, то при выборе интервала времени между отдельными проверками следует учиты­

также окажутся искаженными. Поэтому, если правильность этих чи­ сел будет проверяться лишь в ходе дальнейших вычислений, то при­ дется довольно часто прибегать к коррекции ошибок. В результате возникает явление, эквивалентное резкому повышению интенсивности помех в аппаратуре, относящейся к определенному основанию.

Естественно, что такая ситуация является недопустимой. Поэто­ му проверку необходимо осуществлять всякий раз, когда возникает опасность распространения ошибок.

Результат выполнения какой-либо последовательности модуль­ ных операций может оказаться вне интервала L не только из-за воз­ действия помех, но также из-за ошибок программирования, приводя­ щих к переполнению разрядной сетки. Если ЦВМ оперирует толь­ ко с правильными дробями, то переполнение может произойти при

нет особой необходимости различать ошибки, вызванные искажения­ ми отдельных символов числа или появлением переполнения, так как в обоих случаях приходится прекращать вычисления.

Код, исправляющий ошибки, должен отличать переполнение раз­ рядной сетки от искажений отдельных символов, которые он может исправить. Поэтому значениям позиционной характеристики я л- = 1 и Лк = Ri — 2 не должен соответствовать ни один вектор ошибки, вес которого не превосходит /г.

Нетрудно убедиться в том, что для любого ft-кода с минималь­ ным расстоянием d = 2k -j- 1 это условие всегда выполняется. Дей­ ствительно, если jtjv = 1, то неравенство (2.14) не выполняется ни

61

Рассмотрим теперь очень интересный эффект расширения кор­ ректирующих возможностей кода, возникающий при выполнении по­ следовательности модульных операции, когда результат предыдущей операции является операндом следующей.

Предположим, что при выполнении каком-либо операции данной последовательности получен ошибочный результат Я /, причем крат­ ность ошибки t > ( d — 1)/2.

Можно ли исправить такую ошибку? Подобный случаи рассмат­ ривался в § 2.2, где было показано, что ошибку можно исправить лишь в том случае, если в сфере радиуса t вокруг искаженного век­ тора не окажется ни одного кодового слова, кроме истинного. Если же в этой сфере окажется несколько кодовых слов, то у нас нет ос­ нований отдать предпочтение какому-либо из них.

Запомнив все слова, попавшие в данную сферу, перейдем к вы­ полнению следующей операции, одним из операндов которой являет­ ся наше искаженное число. Очевидно, что и у этой операции резуль­ тат Я2' будет ошибочным. Найдем теперь все кодовые слова, лежа­ щие в окрестности радиуса t от вектора Я /. Далее над каждым изкодовых слов, лежащих в окрестности Я /, проведем ту же операцию, что и со словом Я /, и результаты этих операций сравним со слова­ ми, лежащими в окрестности Я2'. Если только о д н и из полученных результатов совпадает с каким-либо словом, лежащим в окрестно­ сти Я /, то это слово и является правильным. Если несколько резуль­ татов совпадает с кодовыми словами, т. е. снова нет однозначности решения, то запоминают те слова из окрестности Я/, для которых наблюдалось совпадение, и переходят к выполнению следующей операции, повторяя при этом те же действия, что и раньше по выяв­ лению правильного результата уже этой н о в о й операции.

Вместо нахождения всех кодовых слов, лежащих в окрестности

Для того чтобы процесс локализации ошибок сходился к одной комбинации оснований, должно выполняться следующее неравенство:

і

удовлетворяет неравенству (2.14) независимо от того, где произошли ошибки. Поэтому число корректируемых ошибок не может превы­ шать величины d — 1, причем число контрольных оснований должнобыть не менее двух.

В общем случае невозможно оценить, сколько модульных опера­ ций с неправильными числами нужно выполнить для того, чтобы ошибка (или группа ошибок) была локализована, так как скорость,

62

сходимости зависит не только от возможностей выбранного R-кода, но и от характера задачи, решаемой на ЦВМ. В частности, если в состав последовательности модульных операций входят умножения, то процесс сходится очень быстро, а при выполнении одних лишь операций сложения и вычитания некоторые комбинации ошибок во­ обще не удается локализовать.

Рассмотренный выше способ коррекции ошибок, использующий динамику вычислительного процесса, был предложен и детально исследован И. Я. Акушским и Д. И. Юдицким. Поэтому более пол­

{кдг -|- 1}я, не содержат нулевых компонент, то, в соответствии

с теоремой 2.10, ошибка должна находиться в одном из информа­ ционных модулей. Поэтому произведения {56}я, и {116}я, можно

было бы не вычислять.

Выполним теперь те же действия для числа А2= А1— 200:

{ К } м = {5, 6, 5, О, 6}ж ;

63

можно считать, что ошибка соответствует именно этому модулю. Определим теперь вектор ошибки, воспользовавшись выраже­

нием (2.22):

{ N \ b p 3\RJ p 3}M ={0, 0, 5, 2, 7}м -

{ Л Ь , = {5, 6,1,0, 6}АІ.

В случае необходимости можно восстановить и истинное зна­ чение числа

ных характеристик и расширению системы оснований. Поэтому если обеспечено исправление ошибок при выполнении этих двух операций, а также модульных операций сложения, вычитания и умножения, то можно утверждать, что результат любой арифметической операции является п р а в и л ь н ы м.

Для правильного выполнения немодульной операции обычно не­ обходимо знать знаки операндов. При отсутствии ошибок знак

изошли только в контрольных основаниях, произведение которых равно Qu. Основания эти легко можно локализовать, используя тео­

только контрольные, но также информационные символы числа. Про­ изведениеоснований, соответствующих этим символам, определим из неравенства (2.14). При этом возможны три различных варианта:

Из доказательства теоремы 2.7 следует, что первый вариант со­ ответствует отрицательным числам (—2N < Я —|Я '| N < —N), я третий — положительным. Таким образом, в этих случаях по

64

величине |6Q |^ можно однозначно определить знак числа. Что ка­

сается второго варианта, то ему могут соответствовать и отрицатель­ ные и положительные числа. Поэтому если произведение |ö Q |^ i по­

падает в интервал (Q, 2Q), то для определения знака приходится возвращаться к исходному числу, исправлять в нем ошибки и далее снова вычислять позиционную характеристику уже исправленного числа.

При вычислении позиционных характеристик Я д^Л ), где Л', яв­

ляется делителем N, непосредственная коррекция ошибок (без ис­ правления исходного числа и повторения операции) возможна лишь в том случае, если все ошибки соответствуют основаниям, не входя­ щим в произведение N t.

Пусть А' — искаженное значение числа А. Тогда в соответствии

сформулой (2.22) можно записать:

А= А' + I BQ Ir NIQ - 6N.

Если Q и N] взаимно просты, то величина N/QN^ является це­ лым числом и, следовательно,

(2.25)

В том случае, когда произведение NtQ не является делителем N, для получения истинного значения позиционной характеристики не­ обходимо сначала исправить искаженное число, а затем повторить операцию. Для коррекции ошибок, возникающих при расширении

ствует основание N v

Ошибки, возникшие при выполнении данной операции или исказившие символы исходного числа {Д}уѴІі, по-разному влияют

на результат в зависимости от того, в каких модулях они про­ изошли. Ошибки в контрольных основаниях не влияют на число {Л}дг5. Однако при выполнении операции расширения они могут

быть обнаружены и исправлены обычным способом.

Непосредственные ошибки в добавляемых модулях не обнару­ живаются при выполнении операции, но в тоже время они п не распространяются, и, следовательно, могут быть исправлены при выполнении следующей немодульной операции, операндом которой служит число {•^}Уи1 N,- Наиболее опасными являются ошибки

Подставляя в это выражение значение Д из формулы (2.22), получим

=— I “ I BQ \R ,N IIQ lw,}yv3-

Избавимся теперь от вычислений по модулю Д/, и учтем не­ обходимость коррекции результата расширения при отрицательном значении исходного числа А. Тогда:

Символы вектора {уГ},ѵ„ вычисляются здесь по формулам (1.26).

Необходимо отметить, что если ошибки произошли в процессе выполнения немодульной операции, то попытка исправить исходное число приведет, напротив, к его искажению (при условии, что кор­ рекция осуществляется путем прибавления к этому числу вектора ошибки, вычисленного по формуле (2.22)). Поэтому повторная опе­ рация вновь даст искаженный результат. И лишь еще раз повторив

N 2 — 5 и воспользовавшись выражением (2.26). При этом

1Ц(Л)І5 = 4; [1761^-8 I, = 3; |2JV,|, = 2; |*,(Л ) |5 = [4 + 3 — 2 [5 = 0.

Одновременно можно вычислить истинное значение позиционной характеристики |я 6 (Л )} ^ :

/5 - {°. 0,4,9 .0}jM/e;

Ы А ) } м 15 = { ' Л - 2 . Ы } м ,в.

66

Итак, получено исправленное значение искомой характеристики

(Л)Ьи “ {О-1- 4- 2-6- 1}.«-

Приведенные выше методы исправления ошибок позволяют до­ статочно эффективно бороться со случайными сбоями. В тех же слу­ чаях, когда происходят отказы в аппаратуре, т. е. ошибки носят по­ стоянный характер, приходится непрерывно корректировать их, что существенно уменьшает производительность ЦВМ. Особенно не­

в системе остаточных классов является то, что они позволяют вести вычисления, не исправляя каждый раз искаженные символы, что обусловлено равноправностью всех основании СОК.. При появлении постоянных ошибок в какой-либо группе оснований можно исключить эти модули из системы и дальнейшие вычисления вести в сокращен­ ной СОК. Естественно, что в этом случае искаженные символы не будут оказывать никакого влияния на ход вычислений.

Как правило, при исключении из СОК какого-либо основания минимальное расстояние Д-кода уменьшается на единицу (при не­ изменной точности вычислений). Поэтому, если вероятность одновре­ менного отказа двух или большего числа модулей достаточно мала, можно считать, что R-код позволяет исправлять ошибки постоянно­ го типа в любых d — 2 основаниях системы при условии, что осно­ вания, в которых локализуются эти ошибки, исключаются из СОК.

Переход к вычислениям в сокращенных СОК не влияет на ре­ зультаты операции, выполняемых с целыми числами. Если же ЦВМ оперирует с дробными числами, то изменение числа оснований СОК может привести к появлению погрешностей. При исключении из СОК

операции правильное значение результата можно получить, умножив его на рп+1/рі. Не отразится переход к другому знаменателю и на выполнении операций сравнения, определения знака, вычисления аб­ солютных величин и любых других операций, результаты которых зависят только от значений числителей дробных чисел. Но весьма существенно изменятся результаты операций умножения, деления и перевода дробен из СОК в позиционную систему. Так, при умноже­ нии величина результата уменьшится, а при делении увеличится

вРп -г 1ІРі раз.

Вобоих случаях дальнейшие операции с полученными дробями приведут к существенным погрешностям, которые уже невозможно

устранить. Для того чтобы избежать накапливания погрешностей,

следует каждый раз при выполнении операции умножения дробей корректировать произведение или одни из сомножителей, а при де­ лении соответственно изменять делимое или частное. Коррекция эта сводится к умножению соответствующего числителя либо на величи­ ну ріірп + 1 (при выполнении операции деления), либо на р„ + і/рі (при умножении дробен). Для вычисления произведения некоторого целого числа А на отношение Pj/Ph можно воспользоваться следую­ щим выражением:

Данная позиционная характеристика довольно просто опреде­ ляется, если модуль pit входит в состав системы остаточных клас­ сов (р* = р„ +,). В том же случае, когда р* относится к числу оснований, исключенных из СОК (р* = р/), приходится прибегать к косвенным способам вычисления остатка \А р]\р и, соответ­

лить заранее. Причем число различных констант данного типа равно п.

При вычислении вектора {6}^ в сокращенной СОК нет необ­

ходимости выполнять операции с символом числа, соответствую­ щим исключенному основанию р,-. Достаточно перед началом вычисления этого вектора формально умножить число {А]міР[

на величину, обратную исключенному основанию.

В связи с тем, что аппаратура, обеспечивающая выполнение операций сложения и умножения по модулю рі, считается неисп­ равной, для вычисления остатка \ А р п+х\р по формуле (2.27) сле­

68