книги из ГПНТБ / Полубояринов Ю.Г. Основы машиностроительной гидравлики и пневматики учеб. пособие

Уравнение (18), связывающее пространственное изменение ско­

Рассмотрим установившееся движение абсолютно невязкой (иде­ альной) жидкости в пределах элементарной струйки. На частицу (элементарный объем), движущуюся вдоль струйки, действуют мас­ совые и поверхностные силы. Соотношение этих сил в случае равно­ весия жидкости выражается системой уравнений Эйлера (9). При движении в число массовых сил входит сила инерции, равная

где 8т — масса частицы; du

ускорение.

dt

Составим дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости, используя для этой цели систему уравнений (9) и введя в эти уравнения удельную силу инерции, т. е. ее ускорение, с об­ ратным знаком

При установившемся движении линии тока совпадают с траек­ ториями частиц и локальное ускорение равно нулю. Поэтому, ум­ ножив первое уравнение системы (19) на проекцию (на ось х) пере­ мещения частицы dx, второе на dy и третье на dz, после сложения получим

20

а

получаем следующее дифференциальное уравнение движения:

Проинтегрируем уравнение применительно к случаю, когда на жидкость действует одна массовая сила — сила тяжести. При этом

и

Следовательно, для несжимаемой жидкости (р = const), интег­ рируя уравнение вдоль струйки, получим:

gz - j — — — I — — — const.

P 2

или

У2g

Уравнение (20) называется уравнением Бернулли для элемен­ тарной струйки идеальной жидкости. Из этого уравнения следует, что при движении идеальной жидкости сумма трех величин — гео­ метрической высоты z, пьезометрической высоты — и скоростного

струйки. Члены уравнения Бернулли имеют размерность энергии (кГм), отнесенной к единице веса (кГ) протекающей жидкости. Та­

нулли выражает постоянство вдоль струйки полной удельной энер­ гии (гидродинамического напора Нс), состоящей из удельной по­ тенциальной энергии положения z, удельной потенциальной энер­ гии давления -у- и удельной кинетической энергии . При выводе

уравнения Бернулли рассматривалось произвольное сечение эле­ ментарной струйки, поэтому согласно выражению (20) для двух

21

последовательно расположенных сечений будет справедливо урав­ нение

(20а)

У м н о ж ив это уравнение на вес 8G частицы (элементарный объем которой 8\V и масса 5т), приходим к следующему выражению:

£>ти\ drntq

=6G {z1~ z„) + (P l — р2)Ш.

Последнее выражает известную теорему механики: приращение кинетиче-

Рис. 8

Геометрическое представление об уравнении Бернулли дает рис. 7, в, на котором показана элементарная струйка на участке движения между сечениями 1 и 2. Горизонтальная плоскость О—О называется плоскостью сравнения. Линия П—Я, проведенная че­ рез вершины отрезков, соответствующих пьезометрическим высо­ там, называется п ь е з о м е т р и ч е с к о й л и н и е й . Паде­ ние пьезометрической линии, отнесенное к единице длины струйки, называется п ь е з о м е т р и ч е с к и м у к л о н о м . Линия Е—Е, проведенная через вершины отрезков, соответствующих ско­

Рассмотрим частный случай потока вязкой (реальной) жидко­ сти, ограниченного твердыми стенками (рис. 8, а).* Его схематично можно представить как совокупность элементарных струек. Движе­ ние предполагается параллельно-струйным, поэтому скорости и

* Поток, ограниченный со всех сторон твердыми стенками, называется напорным.

22

элементарных струек имеют одну компоненту в направлении те­ чения (и = их), но для различных струек величина скорости бу­ дет разной в силу проявления вязкостных свойств жидкости. Объем­ ный расход Q жидкости, проходящей через живое сечение Q потока, определится как сумма расходов dQ элементарных струек, т. е.

Q=\udQ.

Отношение расхода Q к площади сечения потока Q называется средней (по сечению) скоростью и, т. е.

При установившемся движении во всех живых сечениях потока расход одинаков (Q = const). Поэтому в соответствии с (18а) можно записать

f udQ — \udQ,

т. е. средние скорости обратно пропорциональны площадям сече­ ний потока.

Чтобы получить выражение удельной энергии потока жидкости, проходящей через данное живое сечение потока, необходимо просум­ мировать значения энергий элементарных струек и полученную сумму отнести к единице веса жидкости, протекающей через сече­ ние. В частном случае суммирование потенциальной составляющей энергии в сечении потока с параллельно-струйным течением при­ водит к выражению z.+ ply (как и для одной элементарной струйки), а сумма кинетических энергий элементарных струек приравни­ вается к кинетической энергии потока, вычисленной по средней скорости v. При этом удельная кинетическая энергия потока (ско-

ростной напор) получается равной ос—- . Коэффициент а корректн­

ая

рует величину кинетической энергии, вычисленной по средней скорости, и называется коэффициентом кинетической энергии. При движении жидкости в круглых трубах значение а лежит в пре­ делах 1,06-4-2,0.

Таким образом, удельная энергия в сечении потока (гидроди­

23

энергии, отнесенной к весовому расходу. Потерянная механиче­ ская энергия вследствие трения обращается в тепловую энергию, которая не может быть снова обращена в механическую

С учетом сказанного выше распространим уравнение Бернулли на поток вязкой жидкости. Наметим в потоке на участках равномер­

Это и есть уравнение Бернулли для потока вязкой (реальной) жидкости — фундаментальное уравнение гидродинамики, выра­ жающее закон сохранения и превращения механической энергии потока жидкости.

Уравнение Бернулли используется при расчете различных гид­ равлических систем и отдельных элементов. Применение уравнения Бернулли ограничено следующими условиями:

1)движение жидкости должно быть установившимся;

2)в окрестности расчетных сечений потока движение должно быть параллельно-струйным (в промежутке между сечениями со­ блюдение этого условия необязательно);

3)плотность и температура жидкости в расчетных сечениях должны иметь постоянные (или близкие к ним) значения.*

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли дана на рис. 8, а. Линия П—П является пьезометрической, а линия Е—Е—

* "Уравнение Бернулли можно распространить и на течение сжимаемой среды с трением при постоянной или переменной температуре, если ввести

в уравнение энтальпию i = q + (q — внутренняя энергия среды), пред­

ставив ее изменение при помощи первого закона термодинамики. Тогда

24

гидродинамической. В отличие от невязкой (идеальной) жидкости, гидродинамическая линия для потока вязкой жидкости имеет ук­

гидродинамики применяется уравнение количества движения (за­ кон импульса), вытекающее из второго закона Ньютона.

Векторная сумма всех внешних сил F, действующих на массу жидкости, равна скорости изменения во времени вектора количества

2) поверхностные силы F n , действующие по нормали к контроль­ ной поверхности и определяемые по нормальным напряжениям или действующие тангенциально к контрольной поверхности и опреде­ ляемые по касательным напряжениям.

Для определения величины — обратимся к контрольному

dt

объему потока жидкости, ограниченному контрольными попереч­ ными сечениями / и 2 и твердой стенкой (рис. 8, б). Выделим в этом объеме элементарную струйку и рассмотрим изменение количества

dK' = pdQ ( u 2 — u j d t .

Чтобы определить величину dK, для контрольного объема по­ тока жидкости, нужно проинтегрировать значение К' по сечениям( потока. Заменяя затем значение полученных интегралов количест­ вами движения, вычисленными по средним скоростям vx и v2, по­ лучим

25

отсюда скорость изменения во времени вектора количества движе­ ния равна

где ct0 — коэффициент количества движения (коэффициент, коррек­ тирующий величину потока импульса, вычисленного по средней

с работой сил трения. Для движения вязкой жидкости получены дифференциальные уравнения (уравнения Навье—Стокса), ко­ торые являются нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных и общего решения которых не имеется. В практике обычно применяют уравнение Бернулли (25), в котором учитываются потери напора, затрачиваемые на пре­ одоление гидравлических сопротивлений.

Гидравлические сопротивления — это сопротивление сил тре­ ния. По характеру их проявления можно различать два вида со­ противлений: сопротивление по длине и местное. В соответствии

сэтим будем различать два вида потерь напора — потери по длине

иместные.

Потери напора по длине имеют место на участках прямолиней­ ного движения жидкости, местные потери — там, где происходит изменение геометрической формы потока (местные сопротивления). В местных сопротивлениях может наблюдаться отрыв потока от стенок и образование зон с обратным течением. Для примера на рис. 9, а показана схема движения жидкости в трубопроводе, на участках которого между сечениями / — 2 и 3—4 имеют место по­ тери напора по длине, а в узлах А и Б — местные потери напора.

При установившемся равномерном движении жидкости в трубо­ проводах потери напора рассчитываются по следующим формулам.

По формуле Вейсбаха—Дарси находится потеря напора по длине /гд в трубе круглого сечения

где I я d — длина и внутренний диаметр трубы;

26

v — средняя скорость в сечении трубы.

Коэффициент гидравлического трения X в общем случае зависит от относительной шероховатости — (д — эквивалентная шерохо-

Рис. 9

ватость стенки трубы) и от числа Рейнольдса Re (безразмерная ве­ личина, см. ниже). Коэффициент местного сопротивления £-зависит от геометрической формы сопротивления и от числа Re. Число Рей­ нольдса характеризует режим движения жидкости.

Режим движения, при котором поток получается слоистым и смежные слои движутся относительно друг друга без макроскопи­ ческого перемешивания поперек слоев, называется л а м и н а р - н ы м. Этот режим течения имеет место в тех случаях, когда каса­ тельные напряжения, обусловленные вязкостью (молекулярным обменом количества движения между слоями), оказывают преобла­ дающее влияние на течение.

Режим движения, при котором поток не имеет слоистой струк­

27

кого трения оказываются второстепенными в сравнении с силами инерции в формировании течения.

Число Рейнольдса выражает отношение сил инерции к силам вязкости. Для потока в круглой трубе число Рейнольдса Re вы­ ражается следующей формулой:

числа Рейнольдса, не превышающие критического значения Re = = 2300. При Re>2300 ламинарное течение становится неустойчи­ вым и переходит в турбулентное. В общем случае может сущест­ вовать и переходный режим, при котором турбулентные возмуще­

трубе постоянного диаметра d, происходящее под действием пере­

На рассматриваемом участке потока выделим элементарный ци­ линдрический объем с радиусом основания г и составим уравнение равновесия внешних сил, действующих на выделенный объем, про­ ектируя силы на ось потока:

Р ] Я г 2 — р 2 п г 2 — т 2 я г / = 0,

откуда

21 • v ;

Из уравнения (32) видно, что касательные напряжения в попереч­

закону Ньютона (7) о величине касательных напряжений при сло­ истом движении жидкости. Поэтому

21 Г ~ V dr'

28

откуда

Щ

Интегрируя последнее выражение, находим

4ц./

Постоянная С определяется из граничного условия на стенке трубы. Реальная жидкость, рассматриваемая как сплошная среда, обладает свойствами «прилипать» к твердой поверхности. Следова­ тельно, относительная скорость ее на стенке равна нулю (и = 0). Тогда

Уравнение (33) показывает, что распределение скоростей в по­ перечном сечении ламинарного потока подчиняется параболиче­

Для этого составим уравнение расхода элементарной струйки с по­

29