книги из ГПНТБ / Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие
.pdf
bud |
|
|
|
Т а б л и ц а |
3. 1 |
6 |
|
Buâ процесса |
|
||
Ьхойного |
|
статической |
<■ |
|
|
сигнала |
|
Б астатической |
|
||
№ |
И Г - |
системе |
системе |
|
|
*1«1 |
иа\ |
/ѵ* _ |
|
||
|
|
^**>4 |
|
|
|
ас8х^ b^cm-Conkt
|
|
3 C R x W |
|
|
Астатическая |
t |
|||
|
J-i n |
|
|
||||||
Vt |
t |
сиспі«ма |
И» порядка |
||||||
y'tycm |
^00 |
|
äC^ |
|
/ C m |
- 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
-t |
|
|
|
|
|
|
Астатическая |
|
|||
|
|
|
|
euerпема |
|
|
й порядка |
||
|
|
|
|
|
fXM |
|
|
ocfattb, |
|
|
|
|
|
C U C I |
^ * % ^ ° ° -t |
||||
ѵЧ г |
y T ^ |
t |
|
Астатическая |
|
||||
|
пема |
I й порядкаі |
|||||||
|
£яет-*°° |
|
|
____ t |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Астатическая |
|
|||
|
|
|
|
сисп>емо |
2 |
й порядка |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70
рассматриваться не только по отношению к выходной координате системы, но и к ее производным. Графическое представление точ ности работы статической и астатической системы дано в табли це 3 .1 .
Материалы для проверки усвоения содержания параграфа
1 . Как определить установившееся значение ошибки по управ ляющему воздействию?
2 . Как определить установившееся значение выходной коор динаты при воздействии возмущения?
3 . Сформулируйте структурный признак астатизма по управ ляющему воздействию и по возмущению.
4 . Определите порядок астатизма для систем, передаточные функции ошибок которых соответственно равны:
ла ( р ) = |
2 р + I |
Зр* + 5 р * + г р * 0,5 ’’ |
|
Фег(Р) |
(2 р + О р г |
5р* + 5р г+ 2р + 0,5 |
?І
Г л а в а ІУ
ЧАСТОТНЫЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
§ 4 .1 . ВИДЫ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ
Методические указания
Для понимания содержания параграфа необходимо вспомнить из курса математики формы записи и действия над комплексными числами. Изучив параграф, слушатели должны знать определения всех (пяти) частотных характеристик системы, запомнить связь между АФХ и передаточной функцией системы и освоить порядок по строения годографа АФХ.
Содержание
В теории автоматического управления полуедда широкое приме нение частотные методы для анализа и синтеза систем автомати ческого управления. При использовании частотных методов предпо лагается, что на вход системы управления (звена) подается гар монический (синусоидальный) сигнал (рис, 4 .1 ) .
где |
А і х |
- |
Х вх (*) = А вх sin |
cot , |
(4 .1 Л ) |
со |
амплитуда входного |
сигнала; |
|
||
|
|
- |
круговая частота. |
окончания переходного |
цроцесса |
|
В линейной системе после |
||||
на выходе системы установится также гармонический сигнал, кото
рый от входного может отличаться амплитудой и фазой, |
т .е . |
*e(t) - а і |
(4. 1.2) |
где A ( - амплитуда выходного сигнала;
?- угол сдвига фазы выходного сигнала по отношению к входному сигналу.
Изменяя частоту входного сигнала, можно проследить зависи мость амплитуды A s выходного сигнала от частоты со и раз
72
ность фаз £ между установившимся выходным колебанием и вход ным колебанием.
О - Э С б х , ' < * Ь |
t |
|
Отношение |
Рис. 4 .1 |
|
на выходе си |
|
|
амплитуды установившихся колебаний |
||||
стемы |
А е (со |
J |
к амплитуде входных колебаний А |
lz. |
называется |
|
|
||||
амплитудной частотной характеристикой системы |
(АЧХ). АЧХ разом |
||||||||||||||
кнутой |
системы будем обозначать |
|
символом |
Н(со), |
а замкнутой - |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
-А(со). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, АЧХ разомкнутой системы |
|
(+.1.3) |
|
||||||||||||
|
|
|
при |
О Ä |
со |
° ° |
• |
|
|
|
|||||
Разность фаз установившихся выходных колебаний и входных |
|
||||||||||||||
колебаний называется фазовой |
частотной характеристикой системы |
||||||||||||||
(ФЧХ). |
ФЧХ разомкнутой системы будем обозначать символом |
$(ш) |
, |
||||||||||||
а замкнутой |
- У ( ьі) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, АЧХ характеризует способность системы про |
|
||||||||||||||
пускать сигналы разных частот по амплитуде, по ФЧХ определяют |
|
||||||||||||||
фазовые сдвиги, вносимые на разных частотах. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Полностью частотные свойства системы можно отобразить |
|
||||||||||||||
амплитудно-фазовой частотной характеристикой |
(АФЧ). АФЧ систе |
|
|||||||||||||
мы или комплексной передаточной функцией называется функция |
|
||||||||||||||
частоты |
|
) = Ц(ш)е |
|
Р(ш) |
|
& (со), |
|
|
|
(4 .1 .4 ) |
|
||||
W(J cü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
объединяющая в комплексной форме две |
предыдущие характеристики. |
||||||||||||||
Для обозначения АФЧ разомкнутой. |
|
системы введем символ |
W(jco), |
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
а замкнутой - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В теории автоматического управления используют как показа |
|||||||||||||||
тельную, так и алгебраическую формы записи АФЧ, что отражено в |
|
||||||||||||||
выражении ( 4 .1 .4 ) . |
что |
V/(ju>) |
находится подстановкой в выра |
|
|||||||||||
Можно показать, |
|
|
|
|
|||||||||||
жение для передаточной функции |
|
|
р |
= jo J |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
73
|
W ( J lC>) = W (p )/p J b) |
(4 .1 .5 ) |
АФХ есть комплексная функция, модуль .которой при изменении ы |
||
от 0 до е » |
определяет амплитудную частотную характеристику, |
|
а аргумент - |
фазовую частотную характеристику. |
Следовательно: |
«(«и; = / W(jcü)/ = -^Р*(0)+&г(ш) j |
(4 .1 .6 ) |
|
ІКсо ) = |
a z y W ( jt o ) = a z c t p - j ^ 0 y |
( 4 Л *7) |
Вещественная часть АФХ называется вещественной частотной харак теристикой
Р і и ) = R e V f CjüJ) |
|
H(co)cosUbJ). |
|
Используется такие мнимая |
частотная характеристика й (& ) , ко |
||
= |
|
(4 .1 .8 ) |
|
торая является не всей мнимой частью амплитудной частотной ха рактеристики j й (ой) , а только функцией
QL(cj) = 1т W (ju > ) = h (c o )sL n £ t& ) г |
(4 .1 .9 ) |
|
равной коэффициенту при j |
. |
|
На комплексной плоскости |
Р , j & |
амплитудно-фазовая харак |
|
теристика W ( jc o ) при фиксированном значении частоты и = o jt |
|||
изображается вектором, длина которого |
Н ( ш ,) , а аргумент |
||
i (<u<) (рис. 4 .2 ) . |
При изменении частоты от нуля до бесконеч |
||
ности конец вектора |
W Q c o J |
опишет кривую (годограф), которая |
|
представляет графическое изображение амплитудно-фазовой харак теристики системы. Годограф амплитудно-фазовой характеристики на основании выражения (4 .1 .4 ) можно построить по точкам вы
74
численных значений Н(а>) и %(ы) или Р (а ) и в, (ы) . Положи
тельное значение угла сдвига фаз £ откладывается против часо вой стрелки. Обычно исходной характеристикой системы является передаточная функция, на основании которой, используя зависи
мость (4 .1 |
.5 ), получают W (Jcd) |
в |
показательной или алгебраиче |
ской форме |
записи. |
|
Если система устойчива, то можно получить ее частотные характеристики экспериментальным способом. Он предполагает на личие генератора входных гармонических колебаний, частота которых может изменяться от нуля до величины, превышающей рабо чий диапазон частот системы. Для каждой фиксированной частоты с помощью измерительного устройства определяются (после окон чания переходного процесса) амплитуды входного и выходного сиг налов и фазовый сдвиг.
Материалы для проверки усвоения содержания параграфа
1 . Сфорцулируйте определения амплитудной и фазовой частот ных характеристик системы.
2 . Сформулируйте определения амплитудно-фазовой частотной характеристики системы.
3 . Покажите связь между АФХ и передаточной функцией систе
мы.
4 . Как построить годограф АФХ системы?
§ 4 .2 . ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ
Методические указания
В данном параграфе слушатели должны разобраться в сущности построения логарифмических частотных характеристик звена и си стемы.
Содержание
В теории автоматического управления нашли широкое приме нение логарифмические амплитудные и фазовые частотные характе ристики. Использование логарифмических частотных характеристик (ЛЧХ) позволяет значительно упростить вычисления для получения частотных характеристик разомкнутой системы по характеристикам отдельных звеньев.
75
Пусть имеем структурную схему разомкнутой системы, состоя щую из п последовательно включенных звеньев (рис. 3 .2 ) . Пере
даточная функция системы определяется выражением
W ( p ) = Ki (p)K 2 ( p ) - - K n ( p ) .
Согласно формуле (4.1.5) запишем выражение для амплитудно-фазо |
|
вой характеристики системы |
|
W (ja ) |
= K l ( jc ü ) K i ( j a ) ■ -- К п ( jc o ) , |
где К I ( j a ) - |
амплитудно-фазовые характеристики звеньев. |
В свою очередь, АФХ можно записать в показательной форме: |
|
У (jco) = fi( c ü ) e ^ c“ J ; |
|
K tC ju J -H fM e 'W }
K tCJa) =Пг( а ) е ^ і
. . . . |
♦ |
* • • * * } |
|
|
|
Kn(jco) = |
НпС < о ) е № . |
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
W(ja)=H(a)e ^ (a>J= |
|
|
|
||
=Н,(со)Ні(ш) ■■■Hn(a)e |
+ Ы Ф - |
|
|||
откуда получаем: |
|
|
] |
|
|
Н(со) |
= /і/(со)Нг(со)-- •//„(Со)} |
(4.2.1) |
|||
}(*> ) |
- b t ( * > ) + t t ( c o ) + ' " |
+ è „ ( c o ) .\ |
|||
Амплитудная частотная характеристика Н(со) разомкнутой системы
равна произведению амплитудных характеристик составляющих звень ев.
Фазовая частотная характеристика è (c o ) равна сумме фазовых
характеристик составляющих звеньев. При графических построениях фазовую характеристику р ( о ) легко получить суммированием фазовых
характеристик отдельных звеньев. Для получения характеристики Н(<о) необходимо перемножать амплитудные характеристики отдельных
звеньев, что неудобно, кроме того, теряется наглядность представ ления о влиянии амплитудных характеристик отдельных звеньев на свойства всей системы. Во избежание этого для Н (со) применяют логарифмический масштаб. Вместо И (со) на графиках откладывают 20 логарифмов Н ( а ) и измеряют эту функцию в децибелах
76
нсш)аш =гоедН(и>).
Один децибел есть 20 логарифмов числа 1,12, т .е . 20£д І,і2 = 1 ьб .
Значение логарифмической частотной характеристики отклады вают по оси ординат (рис. 4 .3 ), а по оси абсцисс - частоту ы
такие в логарифмическом масштабе (хотя оцифровку производят в единицах измерения частоты). За единицу измерения по оси частот принимают декаду. Декадами измеряется десятичный логарифм отно шения двух частот. Декада соответствует десятикратному измене нию частоты
Например, диапазон изменения частоты от 0,1 до I с“ * составляет одну декаду.
Для фазовых частотных характеристик шкала частот остается логарифмической, а шкала углов натуральная, т .е . £(ш) принято
откладывать в градусах. Использование логарифмического масштаба частоты позволяет просматривать характеристики Н(а)АІ и р (со)
в большом диапазоне частот на ограниченном листе бумаги и , кро ме того, упрощает построение кривых, так как в логарифмическом масштабе кривые очень близки к своим асимптотам.
На основании выражений (4.2.2) и (4.2.1) будем иметь
го е д п (Си) = говд Ht(и)+ гое# Нг (с*)+ • • • + 20вдН„ (ш)
77
ЕЛИ
ҢС^)л е =ң/(^ле *Н г (ш)АВ * " ‘ң п Сш)&б • |
( 4 .2 .3 ) |
Таким образом, чтобы построить логарифмическую амплитудную частотную характеристику разомкнутой системы, нужно сложить логарифмические характеристики отдельных звеньев.
Н (оі) или А (оо)
На рис. 4 .3 приведены ЛЧХ системы E(a>)&s и » состоя щей из двух последовательно соединенных звеньев. Для перевода натуральных коэффициентов передачи в децибелы и наоборот можно использовать номограмму, приведенную на рис. 4 .4 .
Материалы для проверки усвоения содержания параграфа
1 . Сформулируйте определение децибела и декады.
2 . Как построить логарифмические частотные характеристики системы, состоящей из последовательно включенных звеньев?
§ 4 .3 . ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ
Методические указания
Для понимания вида графиков фазовых характеристик звеньев необходимо вспомнить из курса математики график обратной триго нометрической функции ^ = a zctg x . Изучив параграф, слушатели должны запомнить графики ЛЧХ типовых звеньев.
78
Содержание
1 . Усилительное звено. Используя выражение передаточной функции звена К (р ) = К , получим комплексную передаточную функ
цию звена
К ( jc o ) = к = Р (Со) -f J & (со) = к-сj O .
Амплитудная частотная характеристика:
|
Н ( со) - к і |
Н(си)АБ = г о е д к , |
|
|
|||
Я ^ г -п р я м а я , |
параллельная оси абсцисс на уровне 20 ед к . |
||||||
Если к |
, то H(pj)AB лежит над осью абсцисс, |
если |
/ , то |
||||
Н (<и)АБ |
лежит под осью абсцисс. |
|
|
|
|||
Фазовая частотная характеристика |
|
|
|||||
£(со)= а і с і д - ^ Щ = a z c tg O -- 0 . |
|
|
|||||
2 . |
Дифференцирующее звено |
К ( р ) = Т р . |
Комплексная пере |
||||
даточная функция |
|
|
|
|
|
||
|
K ( j c j ) |
= jcu |
Т -Р ( с о ) +jO |
(со) = O-cjcoT. |
|
|
|
Амплитудная логарифмическая характеристика |
|
||||||
|
И (ш )ЛБ = г о е д \ К ()ы )\ = г о е д си т. |
|
|
||||
Так как частота си |
откладывается в логарифмическом масштабе, |
||||||
то Н(а)А6 - прямая линия. |
Определим наклон этой прямой, для че |
||||||
го изменим частоту в 10 |
раз, т .е . на одну декаду. |
Тогда |
|||||
Н (10си)А8 = г о е д Ю а Г = 2 0 ед )0 + 20едсоТ= |
|
|
|||||
|
- 2 0 а в + Z Q t g u T . |
|
|
|
|||
Таким образом, |
при изменении частоты на декаду, т .е . в |
||||||
10 ^ а з ,Н ( с и ) АБ |
возрастает на 20a b . Следовательно, |
наклон лога |
|||||
рифмической амплитудной характеристики дифференцирующего звена равен + 20де на декаду. Необходимо отметить, что при си = - у -
характеристика H(cu)A f = 0 . Поэтому для построения логарифмичес
кой |
амплитудной частотной характеристики звена нужно через |
|||
точку c j =y |
, в которой |
И(ш)й6= 0 , провести прямую с |
наклоном |
|
+ 20 |
АБ/дек. |
|
|
|
Фазовая характеристика дифференцирующего звена |
||||
р (со) = |
a z c t g |
= a z c t g o o =. + 90°= c o n s t . |
|
|
ЛЧХ дифференцирующего звена представлены на рис. |
4 .5 ,а . |
|||
79