книги из ГПНТБ / Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие
.pdfПередаточная функция усилительного звена есть коэффициент пере дачи к .
2 . Передаточная функция интегрирующего звена. Имеем уравн
ние |
связи звенаx g (t) |
t |
= y f xtx 4 t)A i. |
||
Взяв |
изображение |
в |
от левой и правой частей равенства, получаем |
Х-в (р) = j р Х 1х (р),
откуда |
К (jp) |
= |
Хе(р) |
і |
( 3 .2 .6 ) |
|
|
Xtx(p) |
Тр |
3 . Передаточная функция дифференцирующего звена. Инеем
Изображение |
x e (t) = |
Т А.e x it) . |
|
|
будет |
|
|
|
|
откуда |
* е ( Р ) = Тр Х1х(р ), |
|
||
|
|
|
(3 -2 - 7) |
|
К С р > - ^ |
Г ' Т р - |
|||
4 . Передаточная функция апериодического звена. |
Имеем |
|||
Т Xg(t) + Xf(t) |
= к x t x (t) |
|
||
Изображение |
будет |
|
= и Xtx (p) , |
|
Тр Х,(р) + Хе (р) |
|
|||
откуда |
Хв(р) |
|
к |
( 3 .2 .8 ) |
К(р) |
= Хіх (р) |
|
Тр + { ‘ |
|
5 . |
Передаточная функция Форсирующего звена |
первого поряд |
||
к а . Имеем |
x e(t)=K [ x 8xCt) * T x ,x (t)]. |
|
||
Изображение |
будет |
|
|
|
|
Х$(р) = |
к [Х 1х (р) + Тр Xex(pjJf |
|
|
50
откуда |
( 3 .2 .9 ) |
6 . Передаточная Функция колебательного звена. На основа нии выражения (2 .4 .2 3 ) будем иметь
и , |
_ I |
U p ) |
|
* |
' |
(3 .2 .1 0 ) |
< |
~ > Я Г )~ |
і - ! П |
р * Г ' р 123 |
|||
Р> |
|
|
||||
7 . Передаточная функция резонансного звена. На основании выражения (2 .4 .2 6 ) имеем
|
К(р) |
= |
U p ) |
|
К |
Т |
• |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
U ( p ) '= |
РГ1 +S2 |
( 3 .2 .I I ) |
||||
8. |
|
|
|
|
7 7 |
|
|
|
Передаточная Функция запаздывающего |
звена. На основа |
|||||||
нии выражений |
( 2 .4 .2 6 ) , ( 3 .I .I 6 ) |
будем иметь |
(3 .2 .1 2 ) |
|||||
а |
д |
|
*tor(p) |
|
|
|
|
|
9 . Передаточная функция неустойчивого форсирующего звена первого порядка. Имеем
х і Ct] = * [ x tJ t ) |
- Тx tx Ш ] , |
|
Изображение будетх 6(р) = к XsJ p ) - K Тр Хвх ( р), |
(3 .2 .1 3 ) |
|
откуда |
|
|
|
|
|
а д |
■ |
|
Материалы для проверки усвоения содержания параграфа
1 . Что такое передаточная функция ?
2 . Какова связь между передаточной функцией и функцией ве
са ?
3 . Напишите передаточные функции типовых звеньев.
51
§ 3 . 3 . ПОСТРОЕНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Методические указания
Изучив параграф, слушатели должны знать порядок построения структурной сявны системы и уметь строить структурную схему по заданным уравнениям системы.
Содержание
Использование операторного метода исследования систем пред полагает изображение системы в виде структурной схемы. Струк турной схемой в ТАУ называется схема, отражающая все звенья САУ, с точки зрения их передаточных функций и все связи между звень ями. Предполагается, как отмечалось в § 1 .2 , что все звенья об ладают свойством однонаправленности. Структурная схема составля ется по дифференциальным уравнениям всех звеньев системы, т .е . по системе дифференциальных уравнений, описывающих поведение замкнутой системы. Дифференциальные уравнения каждого звена оп ределяются из анализа звена как конкретного технического ус тройства. Составление структурной схемы замкнутой системы целе сообразно вести в следующем порядке:
а) записываем дифференциальные уравнения звеньев так , что бы в левой части была сумма членов, в которые входят выходной
сигнал и его производные, |
а |
в правой |
части - все остальные чле |
|
ны, в том числе и внешние |
возмущения; |
|
|
|
б) записываем дифференциальные уравнения звеньев в области |
||||
изображений Лапласа, считая |
начальные |
условия |
нулевыми; |
|
в) считаем суммы всех |
|
членов правой части |
уравнения вход |
|
ным сигналом в звене. Так как каждое звено может иметь один вход и один выход, то перед звеном ставим сумматор (кружок с крестиком), выход которого будет входным сигналом звена;
г ) чертим столько звеньев (прямоугольников), сколько име ется выходных координат (сигналов);
д) замыкаем схему, подводя к каждому сумматору соответст вующие сигналы с учетом знака. Для получения входных сигналов на сумматорах используют сигналы с выхода звеньев (или внешние возмущения), которые пропускают через дополнительные звенья.
Передаточные функции дополнительных звеньев определяются из вы ражений правых частей уравнений, записанных в области изображе ний;
52
е) по операторным уравнениям определяем передаточные функции всех звеньев и преобразуем схему (если нужно) в соответ ствии с конкретной задачей исследования САУ.
Пример 3 .4 . Построим структурную схему замкнутой САУ, функциональная схема которой изображена на рис. І . І .
Дифференциальные уравнения элементов имеют вид:
агх ( і) + a0x(t) =â0 y(i) *f,U) = 8(t) ;
ug(t) = k9 [xnp(t)-xct)J-K9 AX(t) ; |
> |
( 3 .3 .1 ) |
||||
u(t) = Ky u9 (t ); |
|
|
||||
T$(t) |
+ y ( t) - KU-tt) . |
|
|
второе - |
||
Первое уравнение описывает |
движение объекта управления, |
|||||
- датчика системы, третье - |
вычислительного устройства |
(усилите |
||||
ля) и четвертое - исполнительного устройства. |
|
|
||||
Запишем систему уравнений ( 3 .3 .I ) |
в области изображений |
|||||
Лапласа: |
+ |
а0Х(р)=60У(р) +Fg(p) = & ( p ) ; |
|
|
||
агр 1Х(р) |
|
|
|
|||
U(p) = |
V9(p) j |
|
|
( 3 .3 .2 ) |
||
Tp{/(p) |
■+У(p) - к U(p). |
|
(пока с неизвестными пе |
|||
На рис. |
З . І , а чертим четыре звена |
|||||
редаточными функциями) и отмечаем входные и выходные сигналы. Входные сигналы первого и второго звена на основании уравнений (3 .3 .2 ) формируем с помощью сумматоров. Сумматоры для других звеньев оказались ненужными. Замыкаем схему (рис. 3 .1 ,6 ) , под водя к каждому сумматору и на вход звеньев соответствующие сиг
налы |
с учетом |
знака |
(знак минус отмечаем |
на структурной схеме, |
||||
а плюс подразумевается). Для формирования |
сигнала |
на входе пер |
||||||
вого |
зв е н а |
ь(р) |
ставим дополнительно усилительное |
звено с коэф |
||||
фициентом передачи |
60 |
. Используя систему |
уравнений ( 3 .3 .2 ) , |
|||||
|
||||||||
определяем передаточные функции звеньев:
53
На рис. 3 .1 ,в структурная схема замкнутой системы изобра жена в более наглядной форме, которую при необходимости можно
преобразовать. Способы преобразования структурных схем будут изложены в последующих параграфах.
|
Р ис. 3 .1 |
усвоения |
|
Материалы для проверки |
|
1 . |
содержания параграфа |
|
Сформулируйте определение структурной схемы системы. |
||
2 . |
Порядок построения структурной |
схемы системы по диффе |
ренциальным уравнениям.
§ 3 . 4 . ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ТИПОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ
Методические указания
В данном параграфе слушатели должны понять и запомнить вы вод передаточных функций типовых соединений звеньев.
54
Содержание
В структурной схеме возможны три типа соединения звеньев между собой: последовательное, параллельное и с помощью обрат ной связи.
I . Передаточная функция последовательного соединения звень ев . При последовательном соединении звеньев (рис. 3 .2 ) выходной сигнал одного звена подается на вход следующего звена и т .д .
Образуется цепочка последовательно соединенных звеньев. Если обозначить передаточные функции отдельных звеньев:
|
Кг(rrt) |
|
Г |
" ’ Кп( р)=х ^ ) ’ |
||
Н р ) . „ |
|
h ip ) |
„ |
h W |
||
к*сР) = Т й р 1 ’ |
|
Р) я Ш |
|
|
|
|
то всю цепочку можно представить в виде одного эквивалентного звена с передаточной функцией
Хв (Р)
*э(р) =
XSx(P) '
Согласно рис. 3 .2 инеем
XgCp) ~ Xisc ( р) К/ Ср); ХА(р) =ХгСр)Кі(р); - ■^;Kf(p)=Xn(p)Knlp),
откуда
Х е(р) =Кп(р)- ■ ■ Кг(р)КІ (р)ХІЯ(р)
или
Кэ(р) |
- |
Л1=с(р) |
= |
h W h (РУ ■-Хп(р |
( З Л .І ) |
|
|
|
|
) . |
|
||
|
|
V - г«\і |
|
______к*ср>__ |
|
|
|
|
|
о д » |
*вім *„(1 р) |
|
|
Р и с. 3 .2
Передаточная функция последовательно соединенных звеньев рав на произведению передаточных функций этих звеньев.
2 . Передаточная функция параллельного соединения звеньев. При параллельном соединении (рис. 3 .3 ) входные сигналы всех
55
звеньев одинаковые, а все выходные сигналы суммируются со свои ми знаками на сумматоре. Точка разветвления сигнала называется
узлом.
_____ КэСр)_____
Хь*(р)і
|
По условию |
|
|
Р ис. 3 .3 |
|
|
|
|
|
||||
|
соединения(имеем |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Х 6(Р) =Х,(р) + Х г р) + --- +Х„( р) . |
|
, |
то по |
|||||||
Если разделить обе части этого выражения на |
X Sx(p) |
||||||||||||
лучим |
Ы р ) |
= |
Ш |
|
Ы Р ) |
|
|
Хп(Р) |
|
|
|||
или |
|
Xfatpj |
Х«я-(Р) |
Хвзг(р) |
|
|
Х-Іх(р) |
|
|
||||
К 9 (р) |
=Kt ( p ) - - K s (p)+ - - - |
+ Кп(Р)- |
( 3 .4 .2 ) |
||||||||||
Передаточная |
функция параллельно |
соединенных |
з в е н ь ѳ н |
равна |
|||||||||
алгебраической сумме передаточных функций всех звеньев. Если |
|||||||||||||
сигнал |
с выхода |
звена поступает на |
вход сумматора со |
знаком ми |
|||||||||
н ус, |
то |
в |
выражении |
(3 .4 .2 ) перед передаточной функцией данного |
|||||||||
звена также появляется знак минус. |
соединения |
звеньев |
с |
помощью обрат |
|||||||||
ной |
3 . |
|
|
Передаточная функция |
|||||||||
связи. |
При |
таком |
соединении (рис. |
3 .4 ) выходной сигнал по |
|||||||||
дается на |
вход |
звена |
с |
передаточной функцией |
К(р) |
звено об |
|||||||
через |
|||||||||||||
ратной |
связи |
с |
передаточной функцией |
Кое(р). |
Если сигнал обрат |
||||||||
Х іж(р), |
|||||||||||||
ной связи /^(^складывается с сигналом |
|
то имеем положи |
|||||||||||
тельную |
обратную связь. |
Если сигнал / 0^ вы чи тается из |
сигнала |
||||||||||
Хвх(Р) |
• то обратная связь называется отрицательной. Практичес |
||||||||||||
ки все САУ являются системами с отрицательной обратной связью. |
|||||||||||||
Внутри структурной схемы системы могут встречаться как положи |
|||||||||||||
тельные, так и отрицательные обратные связи. |
|
|
|
||||||||||
|
Обратная связь называется жесткой, если в цепи обратной |
||||||||||||
связи содержится только усилительное звено. Обратная связь , |
|||||||||||||
содержащая дифференцирующее звено, |
называется гибкой. |
|
|
||||||||||
56
Выведем передаточную функцию эквивалентного звена. По ус ловию соединения имеем
л |
X (р) = X S x (p) ± |
Х ос (р ), |
(3 .4 .5 ) |
|
откуда |
Х ізс(р) = лХ(р) * Х осСр) . |
(3 .4 .4 ) |
||
В правой |
части уравнения |
(3 .4 .3 ) |
знак плюс соответствует |
|
положительно |
обратной связи, а |
минус - |
отрицательной связи. |
|
К,(Р)
п
^*х(Й| 4^(р) ы р )
|
|
|
ХосСР) |
Х»(Р) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 3 .4 |
|
записать |
|
||
Используя выражение ( 3 .4 .4 ) , можно |
|
||||||||||
|
К |
|
Хе(р) - |
|
Хв (Р) |
|
|
- |
|
||
- |
ЗІР |
° Х йя.(р) |
|
л Х(р) г Хм(р) ‘ |
|
||||||
|
|
X » т |
_________________ |
|
|
К ( Р ) |
' |
||||
|
|
а Х ( р ) |
|
|
|||||||
д X |
ср) |
|
/* |
Кос(р)Кср) |
|
||||||
|
|
хпп(р) |
ХцСР') |
|
|
|
|||||
|
& Х ( р ) |
Х 8(р) а Х ( р) |
|
|
|
|
|||||
|
Таким образом, окончательно имеем: |
|
|||||||||
|
а) положительная обратная связь |
|
|
|
|||||||
|
к гп) |
X ‘ CpJ |
|
- |
|
КСр) |
|
|
|
(3 .4 .5 ) |
|
|
Э Р |
Х йх(р) |
|
і - К к (Р)К(р) ’- |
|||||||
|
б) отрицательная |
обратная связь |
|
(3 .4 .6 ) |
|||||||
|
|
|
Х й(р) |
|
К СР) |
|
|
|
|||
|
|
Хэ(р) = Х (хСр) |
! |
+ Хое(Р)Х(р) |
|||||||
Передаточная функция цепи с отрицательной (положительной) обратной связью равна передаточной функции прямой цепи, делен ной на сумму (разность) единицы и произведения передаточной функции прямой цепи на передаточную функцию цепи обратной связи.
57
|
Материалы для проверки |
усвоения |
|
|
|
|||
1 . |
содержания параграфа |
|
|
и па |
||||
Чему равна передаточная функция последовательного |
||||||||
раллельного соединения |
ввеньев ? |
|
|
|
|
|
||
2 . Назовите виды обратных связей. |
|
соединения |
звеньев |
с |
||||
3 . |
Чену равна передаточная функция |
|
||||||
помощью обратной связи |
? |
|
|
X |
( |
) |
|
|
|
|
Кэ(р) = j |
1 |
для схемы, |
||||
4 . |
Определите передаточную функцию |
|
|
|||||
представленной на рис. |
З А , |
если |
|
|
|
|
|
|
|
^ (Р) ~ Тр -t { > |
|
^ос(р) = кос • |
|
|
|
||
|
§ 3 .5 . ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ |
|
|
|||||
Методические указания
В данном параграфе слушатели должны понять и запомнить правила переноса узла и сумматора через звенья.
Содержание
Для удобства исследования свойств САУ требуется сложную структурную схему привести к простой. С этой целью используют
правила преобразования схем о последовательным и параллельным соединением звеньев, а также соединения звеньев с помощью об
ратных связей . Кроме того , требуется переносить |
|
узды и |
суммато |
||||||||
ры через |
звенья. |
|
|
сумматора через |
звенья. |
|
|||||
Рассмотрим перенос узла и |
|
||||||||||
I . |
|
|
Перенос узда через звено. |
Пусть |
требуется перенести |
||||||
узел из |
точки А (ри с. |
3 .5 ,а) в |
точку В , |
т .е . |
через звено с пе |
||||||
редаточной функцией |
Kz(p |
сигнала, не нарушая функциональ |
|||||||||
|
) по ходу |
||||||||||
ной связи между входным и выходным сигналом. Чтобы сохранить |
|||||||||||
сигнал |
У(р) |
на входе звена с передаточной функцией |
Кц(р), |
необходи |
|||||||
мо в параллельную ветвь ввести |
звено с |
передаточной функцией |
|||||||||
|
|
(рис* 5 * 5 ,б ) . |
Проверим |
эквивалентность |
структурных схем, |
||||||
представленных на рис. |
3 .5 ,а и 3 .5 ,6 . |
|
3 .5 ,а |
|
|||||||
Передаточная функция исходной схемы рис. |
|
||||||||||
Кэ,(р)=К, (р)[Кг(Р)К,(р) +К«(р)]=К,(р)Кг(рА (р)*Kt(p)К«(р),
а передаточная функция схемы рис. 3 .5 ,6
Ъ г(рЫ,(рЖі(р) |
[ |
/ к,(р) ^ р) Ш < Ш Ш - |
58
Действительная, исходная и преобразованная структурные схеиы эквивалентны.
При переносе узла через звено с передаточной функцией К,(р) против хода сигнала в параллельную ветвь необходимо ввести зве но с передаточной функцией К ,(р ){щ й . 3 .5 ,в ) . В этом случае пе редаточная функция схемы рис. 3 .5 ,в
кэі(р) =К,(р)К,(р)К3(р) +К,(р)Кч(р)
будет равна передаточной функции исходной схемы.
а ) |
УСр) |
|
|
• ш Т-і-Н кгср) -«-»"fKsCp) |»j ^ Р |
|
5)
|
|
I |— |
|
|
____ Г ~ Ч х * с р ) |
- ^ Ң к . с р ) ^ гСр) |
|
в |
К^Ср) I— И©-*- |
||
у |
|
|
|
|
|
|
|
У(р), |
Пг ХбСр) |
||
— Wicicrtl«*- |
|
||||
* * Р$ > |
г - |
|
|
|
|
|
с |
jK ilP ) М К 'гС Р ) Н ^ С Р ) |
|||
|
---------- ІЛ |
|
--------- '6 -------- |
||
Рис. 3 .5
Приведенные примеры можно обобщить в следующее правило: при переносе узла через звено против хода сигнала прямая цепь останется без изменения, а в параллельную цепь последовательно вводят передаточную функцию звена, через которое перенесен узел ; при переносе узла через звено по ходу сигнала в парал
лельную |
цепь вводят звено с обратной передаточной функцией. |
|
2 . |
Перенос сумматора через звено. Имеем структурную схему, |
|
изображенную на рис. 3 .6 ,а . |
Эквивалентная передаточная функция |
|
исходной |
схемы определяется |
выражением |
к э/ (р) ~/К , (р) Кг (р) |
+ |
Кч(р)]К |
з |
(р) |
= |
Kt(p)K,(p)K3(Р)і Кі Ср)Хч(р). |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У(р) а |
сумматора |
||||||
Требуется перенести точку приложения сигнала |
|
А |
|
||||||||||||||
А |
вС |
точку |
В |
или |
С |
|
, т .е . перенести сумматор |
|
в точку |
в |
|||||||
или |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
. Преобразованные схемы представлены |
|
на рис. |
3 .6 ,6 и |
|
||||||||||||
3 .6 ,в . Все три схемы эквивалентны, так как |
их передаточные |
|
|||||||||||||||
функции одинаковы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
^Э2 с р ) - £ Kt (р) + |
|
] ' * " > |
|
|
(р)* |
|
|
|
|
||||||||
|
Л 'а з |
(р) = |
кі(р) К} Cp) Кі Ср) + Вз (р) Кч(р) = Л |
, , (р). |
|
|
|
||||||||||
59