книги из ГПНТБ / Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие

где к

- коэффициент передачи звена;

Г - постоянная времени звена.

Примером форсирующего

звена первого порядка монет служить

контур

RC (

рис.

2 .1 0 ) . Для

этого контура справедливы зависимос­

ти

ut Ct) -

i( t ) ß is

u 9f (t) = ugx(t)-utctji

i U ) = l e(t) + l'( t) i

lc<t)= C duJ ;f- ) ;

Откуда получаем

= к [и вх(і)

(2 .4 .2 0 )

где

Tt йй it) ч- u,(t)

+ TüâJ t j ]

,

R i

T = RC )

Tt - * 7 .

R + R i '

реального форсирую­

щего

Выражение (2 .4 .2 0 )

называют уравнением

звена первогоТ, порядкаüt (t)

. Если выполнить

т о ,

пренебрегая членом

Т u6(t),

,

получим

^ # (0 ~

Л / ивж(?)

•+ 7 Wfla. ( t ) j .

зве­

Из формулы (2 .4 .1 9 )

следует,

что

особенностью форсирующего

на первого порядка является такое

преобразование

входного

сигна­

л а ,

в результате которого

выходной сигнал имеет

составляющую,

(2 .4 .1 9 )

запишем выражения для

переходной

характеристики и

функции

веса

форсирующего звена

первого порядка;

a it)

= к[і(1) + T t(t)J j

(2 .4 .2 1 )

w(t) ~к[&(1) ч-Т

'

(2 .4 .2 2 )

. 6 . Колебательное звено. Дифференциальное уравнение связи

для колебательного звена имеет вид

(2 .4 .2 3 )

T%(t) +2 TS±t(t) ч- x t (i)=KxSa.(t),

где

кТ

-

постоянная

времени звена;

5

-

коэффициент

передачи;

-

коэффициент

затухания.

колебательным.

Чтобы звено

было колебательным, необходимо коэф­

фициент

затухания

£

иметь

меньше единицы.

Если ^ » / ,

то про­

цесс на

выходе

будет

апериодическим второго

порядка (в

отличие

где

ifr

-

угол отклонения маятника от вертикали;

7

J

i/r(t)--

момент

инерции

маятника;

инерционный момент;

Мпф(1)-

момент, характеризующий трение о воздух и трение в

Mtpwß)-

точке

подвеса;

MajMy

-

момент от силы тяжести маятника;

М I

коэффициенты моментов;

на маятник.

-

другие

моменты, действующие

Разделив обе части

уравнения на

Му

и обозначив

!V

' /

=

Mq

Г

К

' Т

Ми

■ *

ly

1 * 7 т ж

? т e ' f T

* a c c c o s ? ) J ( г л . 24)

4 0 = T fT - 'W е

5ІП т ~ ^

^

'

(2 .4 .2 5 )

digit) і- ^ X g i t j ~K3ctxCt)

(2 .4 .2 6 )

a(t) = /r(7

- cos<s t) .

(2 .4 .2 7 )

функция веса звена определяется выражением

w i t ) =■

к®

sin sst.

(2 .4 .2 8 )

8 . Запаздывающее звено. Уравнение связи для запаздывающего

звена имеет вид

=

к х ІХ (I - г )

,

(2 .4 .2 9 )

где

*

x s (t)

- коэффициент

передачи звена;

г

- время запаздывания звена.

Процесс на выходе запаздывающего звена является повторени­

ем входного процесса, но с запаздыванием по времени

на

величину

Г

и с

одновременным изменением масштаба процесса

в к

р аз. Пе­

реходная характеристика

а(і)а

функция

веса

wit)

звена

имеют выра­

жения:

<x(t)

= * i ( t

-

Т ) }

(2 .4 .3 0 )

9 .

w(t)

= к S ( t

- V ) .

уравнении

(2 .4 .3 1 )

Неустойчивые

звенья.

Если в

( 2 .4 .1 )

хотя бы

x,(t) = к [хІХЦ)

-

Тx tx it) / ;

(2 .4 .3 2 )

ТA,it)

- X fit)

-

к Xfx (t)

;

(2 .4 .3 3 )

T*Xgit)

* 2 Г $ *,(і

)

- x ,( i) -- K X t r (t

(2 .4 .3 4 )

) .

бражением и обозначают

заглавными

буквами. Символическое приме­

нение к функции времени оператора

Лапласа

будем обозначать сле­

дующим образом:

или

X (р)

-4— ж (() .

Х(р) = L {x ( t ) J

нение вида ( 2 .1 Л )

заменяется алгебраическим.

Найдем изображе­

ния некоторых часто встречающихся функций:

а)

изображение

единичной ступенчатой функции

(3 .1 .2 )

L

У(і)} = J e ' pt i(t)dl =J e ~pt dt

;

б)

Lизображение(h i(t

неединичнойJ h l(t -Т ) е ~ptdtсмещенной= Jh e ~ptdtступенчатой функции

в)

- 1)} =О

Ч-

-

(3 .1 .3 )

изображение S -функции. На основании

фильтрующего

свойства импульса

( 1 .4 .7 )

имеем

(3 .1 .4 )

Ш } =p i t ) e~ptdt

= е ° = i ;

В

L {ff(t - V }

= J H t -t)e ~ptctt =

e ~pT.

(3 .1 .5 )

выражениях

( 3 .1 .3 ) ,

(3 .1 .5 )

запаздывание функции времени

на Г

отображается

в область аргумента

р

появлением множителя

е ~рТ.

Это является общим свойством преобразования Лапласа.

Изображения некоторых функций при нулевых начальных услови­

ях приведены в таблице 7 .1 .

Существуют более подробные таблицы.

Лапласа.

Изображение смещенной функции. Если

x(t)~+-X(p),

то

1 .

—

e ~ P r X ( p ) .

х г

(3 .1 .6 )

x {( t) -h Х,(р)

2 . Линейность оператора. Если

и

(1)^-Хі (р)>

то

x(t)

=

х $ )

х г(1)~-t-X (p) =Х,(р)

-I- Хг (р)

(3 .1 .7 )

+a x(t)

—4-

а Х(р)

и

(3 .1 .8 )

при а - const.

x ( t )

-т-

Х(р)

, то

3 .

Изображение производной. Если

± t l ) ~ s - р Х ( р ) - х ( д ) .

( 3 .1 .9 )

При нулевом начальном значении функции

х (і)

изображение произ­

водной равно изображению функции, умноженному н а

р

, т .е .

X (I) —і- р Х(р) .

( З .І .І О )

L { ~ < u « t) ]

= рПХ(Р} '

L ( х (t)J =Х(р)

( З . І . И )

4 . Изображение интеграла. Если

, то

L ff L (t) d t J

•

(3.1.12)

х

иет

оо

= € іт р Х(р).

( З .І .І З )

?

р~о

Выражение ( З .І .І З )

является очень важным, так

как позволя­

ет по изображению функции найти ее установившееся

значение. Оно

широко используется при анализе точности САУ.

ее оператору.

6 . Определение начального значения Функции по

Начальное значение функции определяется выражением

( 3 .I .I 4 )

х ( О ) = e i m x ( t ) = & n j X ( p ) .

7. Изображение свертки двух Функций. Выражение

у С £) -

і

( З . І .І 5 )

/ Х /( Т ) х г Q- ~ ч) Ыт

называют сверткой функций xt(t)yi х г(і).

Изображение функции

определяется зависимостью

(3 .1 .1 6 )

L {> Jx £ C) x ^ t ~‘V af'rJ = Х{(р) Х г (р ).

Уравнение ( 3 .I .I 6 ) можно использовать

для записи связи меж­

ду выходным и входным сигналами в

операторной форме. Действи­

тельно

уравнение

(2 .3 .4 ) является

сверткой

функций

w(t)u Xgjâ,

поэтому

Х с(р)

= W(p)Xlor(p) ,

(3 .1 .1 7 )

X (р) =

а

р * (X

аі Р гХ((р)

*

Xg(p) = д,рХег(р)+1Л,*Ср).

Материалы для проверки усвоения

содержания параграфа

2 .

Как отображается запаздывание функции времени на г в

области

изображения Лапласа ?

3 .

Назовите основные свойства преобразования Лапласа.

4 .

Определите изображение Лапласа функции

x ( t )

= 5 е 2t + ІОе ~s t .

§ 3 .2 .

ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ

Методические указания

Содержание

( 2 .1 .1 ) линейной

систе­

Запишем дифференциальное уравнение

мы в области изображений Лапласа, считая начальные условия ну­

левыми ап(САУр пХпредварительнов(р) + ап_ ,р пЧХне6(рвозбуждена)+ <x0Xi(pJ):

=

Xlr (p)-

^ьх (р) + ^т-іР

<Xsj p ) +-- + b0XtJp ),

(3.2.1)

где

изображение

входного

сигнала

x grpt);

Х6(р)

-

х t Ctj.

изображение

выходного

сигнала

Х 6 (р)

,

Вынесем

за

скобки

в правой части выражения ( 3 .2 .1 )

а в левой части -

Х6я.(р)

Xß(p) [ а « р п-<-

р п~*+■•■+ a0]=X(jpj[6mpn'+öm.,pn’P ' *8llJ ,

откуда

&трт+ бтчр т *+■•• + 8д

X s j p j

~ а „ р я+ а п_ , р я- ' . . . . . * в

Правая

часть

выражения

( 3 .2 .2 ) является

дробно-рациональ­

ной функцией

относительно

р

, которую будем

называть передаточ­

ной функцией.

Передаточную функцию разомкнутой системы

будем

обозначать

через

Щр),

передаточную функцию

замкнутой

системы

- через

Ф(р),

а

передаточную

функцию типового звена -

через

К(р) =

Х в(р)

( 3 .2 .3 )

Х„(р) =К(р)Х1х(р) .

( 3 .2 .4 )

Существует определенное важное соответствие между передаточной

функцией и функцией веса.

(системы)

действует сигнал

в виде им­

Пусть

на

входе

звена

пульса

$ (t).

Тогда

выходной сигнал есть функция веса

звена

w(tx

При этом изображению входного сигнала

Xl x (p) = L

выходного

сигнала

соответствует

изображение

Х ,(р ) =

L {w(t)} = W ( P') .

К(р)

Отношение этих изображений есть передаточная функция звена

Таким образом,

Х$(р)

=

W(p).

Х * ( Р )

Итак, передаточная функция звена (системы) есть изображе­

ние его функции веса .

Рассмотрим передаточные функции типовых звеньев.

I .

Передаточная функция усилительного звена. Имеем уравне­

ние

связи

звена

x g (t)

=

я

х йх. ( t).

Взяв

изображениеXg (р)от= левойл Xgx и(р)правойj

частей равенства,

получаем

откуда

К ( р ) =

Х в Со) к

'

( 3 .2 .5 )

X * (Р) ~

4 Зак. 189

49