Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 174 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Функция веса п о е с т ь				производная	от переходной характеристики
a it ) .	Зная	<x(t)	по формуле ( 2 .2		.1 ) , можно найти	ir(â)t	и наобо
рот:
				t			(2.2.2)
			a ( t )	= J w ( t ) o t t .

Переходная характеристика а(і)я функция весаи ^полностью харак теризуют переходный процесс, и поэтому по ним можно судить о ка честве управления системы. Переходная характеристика (ее часто называют переходной функцией) и функция веса позволяют оценить свойства системы. Определяя характеристики a(tj и и'СОдля различ ных систем управления, можно сравнивать их и делать заключение о практической пригодности той или иной системы.

Материалы для проверки усвоения содержания параграфа

1 . Дайте определение переходной функции и функции веса . 2 . Какова связь между переходной и весовой функциями ?

§ 2 .3 . УРАВНЕНИЕ СВЯЗИ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ

Методические указания

В данном параграфе слушатели должны понять вывод уравнения связи в интегральной форме и запомнить уравнение.

Содержание

т .е .

зная w(t), можно

Зная реакцию системы на д -функцию,

определить сигнал на

выходе

системы при любых других входных

воздействиях

( t )

Выведем зависимость

между сигналом на вы

x s (t)ii .

ходе системы

входным сигналом

x 6j l ) .

Пусть входной

сиг

нал является

некоторой функцией времени (рис.

2 .4 )

и известна

функция веса

системы

w(tj.

Разобьем

xSt<{)№

серию импульсов.

На

рис. 2 .4 заштрихован

один импульс-

вл момент времени

t ~ T .

Вы

сота импульса

равна

ширина

и ,

следовательно, пло

щадь импульса

= я вхсс )А г .

( 2 .3 .1 )

Согласно определению функции

в е са ,

если на входе системы дейст

вует единичный импульс

$(і),

то на

выходе

системы -

сигнал

w(t)

(рис. 2 .5 ) . При подаче на вход системы единичного смещенно го импульса ^ - г ^ н а выходе системы появляется сигнал w(t - t j , график которого получается путем смещения графика w(t) на вели чину V вправо.

На основании выражения ( 2 .1 .4 ) реакция системы на заштрихо ванный импульс площади Si равна

= Si w C i - t J .

(2 .3 .2 )

Суммарная реакция на все импульсы равна

	x e w =			=		•	(2*3 ,5 )
Если		Ш	то	І =1		заполняют	весь интер
	устремить п — о о ,			приt Г- 0 импульсы
вал,	образуя непрерывное			воздействие,	а сумма в пределе обратит
ся в интеграл							(2 .3 .4 )
		t	( l - r ) x lx(t:)otT.
		J w
		х 6 (tj = о	Г
	Если отсчитывать			не от начала tкоординат к заштрихованно
му импульсу, а от момента				неблюдения	до	заштрихованного им
пульса, то		получим следующее выражение			для	выходного	сигнала:
Зависимости		x 9 ctj = j w ( t ) x he( t - v e l t .				уравнения	(2.3.5)
		( 2 .3 .4 ) и	(,2 .3 .5 ) представляют				связи меж

ду выходным и входным сигналами в интегральной форме. Таким об

разом, если известна функция веса			системы, то с помощью соотно
шения	(2 .3 .4 )	можно найти реакцию	системы на любое заданное
входное воздействие. Уравнение (2 .3 .4 )				иногда называют уравне
нием	свертки	входа и функции в еса .	Это	название происходит от
того ,	что для	вычисления интеграла	аргументы сомножителей подын-

тегрального выражения надо изменять во взаимно противоположных направлениях - "свертывать".

Материалы для проверки усвоения содержания параграфа

1 . Какое свойство линейных систем используется при выводе уравнения связи в интегральной форме ?

2 . Напишите уравнение связи между выходным и входным сигна

лами.

§ Z A . ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ СИСТЕМ И ИХ ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Методические указания

В результате изучения параграфа слущатели должны запомнить дифференциальные уравнения связи типовых звеньев, приведенных

в таблице 2 .1 , и графики их временных характеристик без вывода

аналитических выражений. Из	приведенных примеров	достаточно за
помнить схемы, изображенные	на рис. 2 .6 ,а ; 2 .7 ,а	и 2 .1 0 , также
без вывода дифференциальных	уравнений.

Содержание

Всякую систему автоматического управления можно представить состоящей из элементарных (типовых) звеньев.

Математическое описание характера связи между входом и вы ходом какого-либо звена системы называется уравнением связи это го звена. Как правило, такая связь устанавливается при помощи дифференциальных уравнений. Практика показала, что независимо от физической природы управляющего воздействия, а также от конст

рукции звеньев САУ уравнения связи во многих случаях оказывают ся однотипными. Этим подтверждается справедливость глубокого по

ложения, высказанного В .И . Лениным в работе "Материализм и эм пириокритицизм" и для области теории и техники автоматического управления: "Единство природы обнаруживается в паразительной аналогичности дифференциальных уравнений, относящихся к различ ным областям явлений". Впервые классифицировать элементы САУ именно по типам уравнений связи предложил в 1938 г . советский

ученый А .В . Михайлов. Он же наметил ряд типовых уравнений, от неся их к типовым элементарным звеньям.

Т а б л и ц а 2. 1

Наименование		Урабнение	График		а а д
зБена		с.&я*и ъбена	Ф ункцииа«)
Усилительно?
з&ено		х ь= к х 6х	К
11ите2рирую-		Х б ' ф - J x ^ d i	t	l*
14.ee	з&ено
		t	•Иа «-)
Д иф ф еренци		о		т	t
		э с ь = Т І и	2
рующее ъЬено			,a f t
Апериодическое		Т І і + Х ь= К Х Ьх			,-к
ьбено			Г
Форсирующее			La ft)
звено	V s по	X f c - K C t t a + T i j	v S*kT
рядка			кнlK
ное	абено	T a V 2 T \| i 6+ocg=	к< ■	p	*
Колебатель			IV.

Резонансное

абено

Запаздыбаю-

щее зЬено

x 6 + a ‘ o cs =
- К ЗСЬ х	aft)
X ^ - K O C ^ T )	t x , -t

Г р а ф и к функции W (t)

W f t )

ItS*K

. wc-t)

З Е й л wft)

импулЬс ice порядка

W ft)

Сумма импулЬ-

соб первого

и второго порядка

A W ft)

3 Зак. 189

Будем считать звено типовым по Михайлову, если связь меж ду выходным и входным сигналами звена описывается дифференци альным уравнением не выше второго порядка. Дифференциальные уравнения связи типовых звеньев можно получить из укороченного уравнения ( 2 . I . I ;


	* «te + а0« = 4 * # * +			*8 х •	( 2 .4 .1 )
Дифференциальные		уравнения	типовых	звеньев следует	записывать
в	стандартной форме. Будем записывать так , чтобы коэффициент
при сигнале		был равен	единице.	Такая форма является удоб
ной при структурном и частотном анализе САУ.					временными
	Динамические свойства		звеньев	определяются их	временными

и частотными характеристиками. В данном параграфе приведем вре менные характеристики (переходные характеристики и функции ве са) звеньев. Частотные характеристики будут изложены в главе ІУ . Рассмотрим звенья, которые наиболее часто встречаются в

инженерной практике.

I . Усилительное звено. Таким звеном называется звено, ура нение движения которого имеет вид

где		-	X g (t)	=кзсвя.( і)		,		( 2 .4 .2 )
	к					,		( 2 .4 .2 )
			коэффициент передачи звена.				хвж		к
		Если размерности		сигналов	xt	и	хвж	одинаковы, то величину	к
называют			коэффициентом усиления.
		Приведем примеры некоторых усилительных звеньев.
		Делитель напряжения (рис. 2 .6 ,а ; ,						для которого х = д—%-•
			R1	— 4
			Х ^ Ч Ііх R i
			4-

Рис. 2 .6

Потенциометрический датчик угла (ри с. 2 .6 ,6 ; . Напряжение, снимаемое с датчика, определяется выражением

и9 =К9 <Х >

где ос - угод перемещения движка;

Kg - коэффициент передачи, В/рад.

Если на вход усилительного звена

подать

сигнал /(Ѵ)или

то

на выходе

согласно выражениям ( 2 .4 .2 ) и

( 1 .4 .5 ) получим:

oct

(t)

= act) = к Ш )

;

( 2 .4 .3 )

( 2 .4 .4 )

Таким

образом, переходная

характеристикакусилительного звена

S = k

функцию высоты

а функция веса -

им

представляет ступенчатую.

пульс

площади

a(t

) и

nfit; усилительного звена и других

эле

Графики функций

ментарных звеньев, которые рассматриваются

ниже, представлены

в таблице 2 .1 .

звено.

Таким

звеном называется звено,

2 .

Интегрирующее

уравнение

движения которого имеет

вид

( 2 .4 .5 )

или

* s t t ) = Y

* в х & ) ,

( 2 .4 .6 )

где

постоянная

хй

звена.

времени интегрирующего

Если

размерности і х и

одинаковы,

то

коэффициент Т имеет

размерность времени. Если размерности входного и выходного сиг налов различные, то название постоянная времени теряет смысл. На этом основании величину, обратную Т , иногда называют коэффи циентом передачи интегрирующего звена.

Приведем примеры интегрирующих звеньев.


Интегрирующий контур			R С	(рис. 2 .7 ,а ) ,			для которого	можно
записать	"»<■ ) = u » C t) -L c t)R				= « b r C t ) - C - 4 g fJ-R
или
	Ug(t) + Гâg(t) =	Ugx( t)			,		( 2 .4 .7 )
где T=RC - постоянная		времени			контура.			чтобы
Если	подобрать такую		величину постоянной времени Т ,
член 7 ^	был значительно	больше			ий	, тогда	можно записать

иди	& i(t)		~ -jT
	UgÜ)		it) d.t.
			t J ““			диа
Безынерционный двигатель (ри с. 2 .7 ,6 ) . В определенном
пазоне	изменения	напряжения возбуждения ^ оагугловая скорость
якоря	двигателя	52	пропорциональна	напряжению	ивозе.	.

					а )			5)	С о .
					а )	Р и с.	2 .7
Таким		образом				. Если за выходной сигнал принять
угол	поворота якоря,				то получим уравнение связи
где			<х(Р)					*
где	для общности записи обозначено							Т=-£- a(t.			w(t)
		Определим переходную характеристику							) и функцию веса
интегрирующего звена. На основании формул									( 1 .4 .6 )	и ( 2 .2 .1 )
можно		записать:		= jr f/t ( l) d t						( 2 .4 .8 )
			a ( i)	= jr f/t ( l) d t			= -jr	>
					' о t		= ^ i(t)
			w (t)	= jr fö ( t ) c lt			= ^ i(t)			( 2 .4 .9 )
Следовательно, переходная характеристика									интегрирующего звена -
- линейно			возрастающая функция, а функция						веса -	ступенчатая
функция высоты у - .							звено. Таким звеном называется звено,
		3 .	Дифференцирующее				звено. Таким звеном называется звено,
уравнение движения которого имеет,								вид		(2.4.10)
		Т -	X g ttJ		=	Т ± Sxit)
где		Т -	постоянная		=
где			постоянная		времени звена.

Если размерности входного и выходного сигналов одинаковы, то коэффициент Т имеет размерность времени.

Рассмотрим примеры дифференцирующих звеньев. Дифференцирующий контур RC (рис. 2 .8 ,а ) , для которого мож

но записать

	ut (i) = L(t)R =С	~Щ
или	Т âg(t) + U6(t) = Т й бх(і)	,	( 2 .4 .и )

где Т = RC

Если выполнить постоянную времени Т такой величины, что членом Tüg по сравнению с ив можно пренебречь, то получим сле дующую приближенную зависимость:

ug(t) ~ Г й вяе(і) .

Устройство, которое точно воспроизводит уравнение (2 .4 .1 0 ), называют идеальным дифференцирующим контуром. Устройство, вос производящее уравнение (2 .4 .1 0 ) приближенно, называют реальным дифференцирующим контуром. В нашем примере контур PC является реальным дифференцирующим контуром, который проявляет свои диф ференцирующие свойства только в низкочастотных системах.

U lx R	U b
і --------- E	s		5 ) u io r f
а )		Р ис. 2 .8
Тахогѳнератор (рис.		2 .8 ,6 ) представляет собой электричес
кую машину, в которой входным сигналом является угол				поворота
ротора тахогенератора,	а	выходным сигналом напряжение		ие	, сни

маемое с щеток коллектора. Возбуждение машины - независимое. Уравнение движения тахогенератора имеет вид

ив (t)	=	k 6l (j L) .
	=

Запишем выражения для переходной характеристики и функции веса

дифференцирующего звена. Согласно формуле ( 2 .4 .1 0 ):	37
3

		a c t) = T			= m t ) ;		(2 .4 .1 2 )
		„ ( О --jL § ^ = T JÉ £ r L '				іг Л Л 5 )
Переходная характеристика дифференцирующего звена есть импульс
площади	Т , а функция веса -				так называемый импульс		второго по
рядка площади Т .							Дифференциально
4 .	Апериодическое иди инерционное звено.
уравнение связи		для	апериодического звена имеет			вид
	T * g ( t )	+	x t (t)	=	K X t x C i J ß	(2 .4 .1 4 )
где КТ -	постоянная				звена;
			времени
-	коэффициент		передачи звена.

Коэффициент Т всегда имеет размерность времени. В качестве примера апериодического звена рассмотрим контур Л*(?(рис. 2 .9 ) .

Согласно	рис.	2 .9 имеем:
ивкСІ)		+Ue(t);	L(i) = Lß{i) + ie(t);
	Um(t)		= C üg(t) •
( t ) - ~p		>	= C üg(t) •
откуда		+ R i fCüg(t) +		ulx U )
или		+ R i fCüg(t) +		ulx U )
или	Tügit ) + иf ( t )		= K u exit),
где	—	В.____. T = .R R ( C
		/?+/?/	R + R1

Определим выракения для переходной характеристики и функ ции веса апериодического звена. Для получения переходной харак

теристики	звена необходимо решить дифференциальное уравнение
(2 .4 .1 4 )	при	условии,	что	х вх = і	,	x t iO )-Q , t	, т .е . решить
уравнение		Г X f i t )	+	xg( t ) = н .			( 2 .4 .1 5 )
							( 2 .4 .1 5 )

Общее решение уравнения (2 .4 .1 5 ) состоит из суммы решения одно родного уравнения и частного решения.

Решение однородного уравнения

частное решение	*в.г.	= * •
Общее решение						(2 .4 .1 6 )
	( t)	= с е			Т + к
					t
Подстановка в уравнение t(2 .4 .1 6 )						нулевого значения координаты
аг/Одля момента	времени		-	О	позволяет определить постоянную

С= .

Таким образом, переходная характеристика звена имеет вид

a c t ) - к ( 1 - е " т) .	(2 .4 .1 7 )

Р ис. 2 .9

Дифференцируя выражение ( 2 .4 .1 7 ) , подучим формулу для функции веса

w ( t ) = ~ е ' Т .

(2 .4 .1 8 )

5 . Форсирующее звено первого порядка. Дифференциальное уравнение связи для форсирующего звена первого порядка имеет вид

х е(Р) = « [ х вк Ш

( 2 .4 .1 9 )

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 174 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ