книги из ГПНТБ / Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие

д х [п т ]= х [ і п *І)Т] - х [ п т/ .

(7.2.1)

& *х[п т]=ь*ч х [ п +І)Т]-&*чх [ п т]=

х[(п+к-уТ]р-2'2 )

І Г xH J = È *[(n-m)T]

m *О

m

играет по отношению к решетчатой функции ту же роль, что и

интеграл в непрерывном анализе.

Решетчатые

функции, их разности и суммы являются предме­

шетчатой функцией

у[пТ]

и ее разностями различных порядков

д ^ у/

п Т ]

(

J ul

= 1 ,2 , . . . ,

L

)

определяет уравнение в конечных

разностях или разностное

уравнение.

где

х [п Т ]

-

известная заданная функция;

у[пТ]

-

искомая функция, представляющая собой решение

п Т ]

При

х [

разностного уравнения.

уравнение,

х[пт] ф о=, 0 имеем однородное разностное

а если

то разностное

уравнение является неодно­

родным.

у [ п т]

Если в уравнении (7 .2 .3 ) заменить разности решетчатой

функции

их значениями из ( 7 .2 .2 ) ,

то получим иную фор­

му, которая часто более удобна

(7 .2 .4 )

а (

+ £)Т]+а(./у[сп + £-/)Т]+---+аду[пТ]= х [ п Т ] .

Уравнение

у [ 0 ]

и [ Т ]

у[(£-І)ТІ

(7 .2 .4 ) иногда называют рекуррентным,

оно позволя­

ет при заданных

значениях у [(п + в,)Т]

при

...............

,2 ................Это

последовательно

вычислять

/г = 0 ,1

обстоятельство

отличает разностные уравнения от дифференциаль­

ных. Разностное уравнение,

содержащее

у[п_Т]

и

у[(_п+£)Т]

,

называют разностным уравнением

I

-г о

порядка.

Начальные,

или

в общем случае граничные,

условия для разностного уравнения

£ -го порядка

задаются

в

виде

значений решетчатой функции

у М

= 0 ,1 ,2 . . .

(

€ - і

) ,

если

оно имеет форму

( 7 .2 .4 ) . при л

Операции с разностными уравнениями существенно упрощают­

ся при использовании так называемого

х

-преобразования,

пред­

ставляющего собой одну из разновидностей дискретного

преобра­

зования Лапласа. Дискретный сигнал

х [ п Т ]

на выходе ключа мо­

жет быть представлен

в

виде последовательности &импульсов,

сле­

дующих с периодом Т ,

т .е .

последовательности

-функций.

Пло­

щадь каждой такой функции численно равна дискретному

значению

входной функции в момент прерывания

х ( п Т ) .

Аргумент

кванто­

ла имеет

вид

r

x C n T J & C i ~ п Т ) }

(7 .2 .5 )

х [ п Т ] =

п' f=0

$

где

B tt .- n .T j-

смещенная

-функция,

для которой смещение

V

-

п Т

Возьмем преобразование Лапласа от левой и правой частей

выражения (7 .2 .5 )

(7 .2 .6 )

Х *(р )

=

Т і * ( п Т ) е - пТе.

£1*0

Соотношением (7 .2 .6 )

представлена одна из форм записи дискрет­

ного преобразования Лапласа,

которое xявляется функциональным

преобразованием решетчатой функции

[n .T j

. При написании

формулы

(7 .2 .6 ) мы учли, что

изображение Лапласа смещенной

В

-функции

В ( t

-

z

)

равно

е ~Vf>.

Введем обозначение

(7 .2 .7 )

тогда

е Тр= Х і

X (я-)

= Х * ( т і п z )

£ x ( n

T) x ~ n .

(7 .2 .8 )

= /х*0

Z

-преобразованием функции

п. ТJ ,

представляющей со­

х

х [I

бой дискретные значения функции

(

) , называется функция

Х

( Z

) комплексного

аргумента

z

,

определяемая выражением

( 7 .2 .8 )

. Операцию г -преобразования,

определяемую формулой

( 7 .2 .8 )

, будем обозначать так:

(7 ,2 .9 )

Х ( х )

= Z [x fn T ]J .

Z ja o c f(l) ■+Ö X g C ü J ^<xXt (z) + 6Хг (а) .

(7 .2 .1 0 )

* / : ,*0

х , [ ( ” - к ) Т ] х г (кГ)1 = Х ,( а ) Х 2(а) .

(7 .2 .1 4 )

>

Материалы .тупя ' ппоперки усвоения

операторная передаточная функция иди

а.-ОШ

Отличие х -О Ш от

часть которой описывается известной функцией веса

w ( і

)

(рис. 7 .7 ) . На вход непрерывной части

будем подавать дискретную

последовательность импульсов

х [п. Т].

Выходная івеличина систе­

мы представляет непрерывную функцию времени

у

(

) . Для получе­

ния импульсной выходной величины

у [ п

Tj

к выходу подключается

фиктивный ключ, синхронизированный с

входным ключом.

ности х ( 0 ) w(t),

хП(.

Т) w(i -Т)}

;

x ( x T ) w ( t -к Т ).

Следова­

тельно, получим

(7 .3 .1 )

у ( 0

Ц я' t « V w C t - к Т ) -

Например,

-к = О

, когда

< 2Т

в момент времени t,

tt

, сигнал

на выходе

равен произведению импульса площади

ат(0)

на значе­

ние функции веса в момент времени

t,

плюс произведению импуль­

са площади

X

(Т)

на

значение

функции веса

в момент времени

t { - T

.

Хер),

Хер)

У ср)

wep)

Рис.

7 .9

Предупреждаем читателя от следующей возможной ошибки.

Если

W(р)

=

Wt(p) Wz(p)

то

W(z) = Wt W2(n)

и

W(z)^

Wt,

Символическое

обозначение

Wz (г)

означает,

что

я -преобразо­

(рис. 7 .1 0 ), интегрирующую часть

звена

р

)

объединяют с переда­

точной функцией непрерывной части

W

(

и подучают объединен­

ную передаточную функцию

% ( р ):

W0( p ) ~ WnCP- ■

(7.5.8)

/ - е ~ тР= J -

я - {

(7.5.9)

W(x) =

Z [wo (p)J .

(7 .3 .1 0 )

146

Рис. 7.10

Согласно

выражению (7 .3 .1 0 )

и таблицы

7 .1

получимT*(

-*/)

Wtp)

з3- І V

I/ pкl J )

k

z

■

W ( x ) = Z ± Z

~ 2 ( 3 - 1 ) г

С помощью

3

-преобразования можно описывать только участок си­

стемы, имеющий

ключи на входе и выходе.

схемы замкну­

На рис.

7 .I I представлен вариант

структурной

той импульсной

системы. Для нее справедливы следующие формулы

в области

2

-изображения:

У ( я ) - Wt ( z ) E ( Z ) ;

( 7 .3 .I I )

откуда имеем

Е ( з ) = Х ( л ) - В ( г ) }

I

В ( л ) = И'г ( з ) У ( з ) ,

или

Ф (х) -

У ( з )

= Ф ( з ) Х ( з ) ,

(7 .3 .1 2 )

где

передаточная функция замкнутой системы, которая

определяется

выражением

(7 .3 .1 3 )

W ,(z)

Ф(з) = -/ + Wf ( z ) W t ( г)

Передаточная функция ошибки отработки входного сигнала

(рис. 7 .I I )

равна

Е(я)

/

( 7 .3 . 14)

Фе(2)=-

X(z)

где

W(x) = Щ(х)

/ +

(X)

-

передаточная функция разомкнутой

Х(Х)

системы.

ЧСЛТ]

w,w

b tt)

w ,w j

T

Т а б л и ц а

7. 2

С тр у кту р н ы е схемы

Передаточные

функции

импульсных

систем

XCp)

W,(P)

J é U )

W(Z)= 4(Z).W i(Z)

т

W,(p)

a w

—

^ г С й — "

W(Z)= Wi(z)+We(z)

XCp)' - f c

rEGO

1+V/W

^ 1+W(z)

X(p)

W (P)

ФW" t-ttL^Ф£(г)= *

Е «

У й )

w ,(z)

V

W,(p)

Ф Ю

>cbcz)»— -

XCP)

Wj Cp) — 1

1+W.V

ECZ)

w4Wt(z)= 2{w,(p>Wi(p)}

Н Ш г

Фоо=

4 (z )

У (і)

öm-l

,+ -'-

9о

(7 .3 .1 5 )

ф(х)

Х ( * )

X.'*' + ••• +

Од

Из этого выражения следует

равенство

K ä 'V a n _,

z n - i - + a j У(г)=[дт

, ф (3х (7.SI6)

Применив теорему о смещении аргумента в оригинале

(7 .2 ,1 3 ) и

далее заменив

t

на

к Т

, получим разностное уравнение, описы­

вающее процессы

в узамкнутой импульсной системе:

-

[ск+п-0Т]+-- *а0у[кТ

(7.3.17)

бт х[(к

+т )Т]+б„_,х[(к+т -/)Т]+~

чд0х[кТ].

] =

Следует

отметить, что разностное уравнение (7 .3 .1 7 ) можно р ас­

стемы)

в ( * + л ) - й

момент времени по значениям сигнала

на вхо­

де

и выходе системы в предшествующие моменты времени,

начиная

с к

- г о .

(7 .3 .1 7 )

сигнал на выходе в ( * * « ) - й

момент

Из

выражения

времени

равен

у[(К +п )Т ]=-~ j6m х[( к+т) T]+6„_tx[(K*m-l)T]+ -*В0 x[xTJ~-

-« / ,-/

у к * + * - і ) Т ] --------- а» у [ * т]}

•

(7 .3 .1 8 )

Часто передаточную функцию

(7 .3 .1 5 )

путем деления числителя и

знаменателя

на

(обычно

п * т )

приводят к виду

(7 .3 .1 9 )

ф'~)

№

'

Х ( Ю

ап+ a „ .,z - ' + - -

- + a 0 z " 1

[ал + ая_/ х-'+-~ + а02~л}У(х)~[й„г.~(

я

. (7 .3 .2 0 )

Применив теорему о смещении аргумента

в оригинале

(7 .2 J3 X

полу­

чим другую форму записи разностного

уравнения импульсной

сис­

темы

Од./

y/(n-0tf* —к**yl(K-n)T]-

(7.3.21)

ап у/кТ/+

10

149