книги из ГПНТБ / Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие

ние с постоянной амплитудой и частотой. В системе устойчивое движение "в большом" и неустойчивое "в малом".

Материалы для проверки усвоения содержания параграфа

§ 6 .5 . МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО БАЛАНСА

Методические указания

В результате изучения параграфа слушатели должны знать, для какого класса систем может применяться метод, сущность гар­ монической линеаризации нелинейного звена и один из способов (графический или графо-аналитический) определения параметров автоколебаний.

Содержание

Метод гармонического баланса (иногда называется гармони­ ческой линеаризацией) применяется для приближенного исследования процессов в замкнутых нелинейных системах, описываемых диффе­ ренциальными уравнениями любого порядка. В этом параграфе ме­ тод рассмотрим только применительно к расчету автоколебаний. Нелинейная система состоит из линейной и нелинейной частей (ри с. 6 .2 ) . При исследовании автоколебаний входные воздействия

принимаются равными нулю, т .е . х еа. = 0 . Пусть заданы уравнения линейной части (в области изображений Лапласа; и нелинейного

звена:

130

F ( x ) - некоторая нелинейная функция переменной х , симметричная относительно начала координат.

Рассмотрим случай, когда в замкнутой системе установились автоколеоания и на вход нелинейного звена поступает гармони­ ческий сигнал

содержать спектр гармоник, который можно представить в виде ря­ да Фурье

где

о

о

'X) COSK&ji olcüt .

Для нелинейных характеристик, симметричных относительно начала координат, постоянная составляющая в выражении ( 6 .5 .4 ) отсут­ ствует, т .е . у 0 = 0 .

Косинусная составляющая появляется только для неоднознач­ ных характеристик, например, для характеристик, изображенных на рис. 6 .3 ,в ,г .

Амплитуды гармоник АК,В І< зависят от типа нелинейных функ­ ций, а после взятия определенных интегралов в наиболее распро­ страненных случаях являются функциями только амплитуды входно­ го сигнала А , т .е .

А к = А к ( а ) і В„ = В к (а ) . (6 .5 .5 )

Если линейная часть системы хорошо пропускает сигналы низких частот и подавляет сигналы высоких частот, т .е . является фильт­ ром низкой частоты, то в выражении ( 6 .5 .4 ) в первом приближе­ нии можно отбросить все высшие гармоники:

ІЗІ

Следует отметить особо то, что метод гармонического баланса и з ­ меним только для систем, линейная часть которых пропускает сиг­ налы первой гармоники, а сигналы второй и высших гармоник сущест­ венно ослабляет.

Введем понятие эквивалентного комплексного коэффициента передачи нелинейного звена. Запишем уравнения (6 .5 .3 ) и (6 .5 .6 )

в области изображения Лапласа. Согласно таблице 7 .1 имеем:

Эквивалентный операторный коэффициент передачи нелинейного звена определим как отношение изображения первой гармоники вы­ ходного сигнала нелинейного звена к изоОражению входного синусо­ идального сигнала

При заменe p = jc o получаем выражение для эквивалентного комплекс­ ного коэффициента передачи нелинейного звена

УСА ) (А) + р ( А ) . ( 6 .5 .8 )

J ( A ) является комплексной функцией, которая зависит от ампли­ туды гармонического входного сигнала А и не зависит от частоты

лексной передаточной функции разомкнутой линеаризованной систе­

WACjW)

ЭСЯ)

Р и с. 6.15

132

Hau необходимо исследовать наличие автоколебании. Автоколебания соответствуют наличию устойчивого предельно­

го цикла в системе. Предельный цикл в реальной системе соответ­ ствует нахождению линеаризованной системы на границе устойчи­ вости. При этом годограф АФХ линеаризованной разомкнутой систе­

лансом или условием существования автоколебаний (отсюда и назва­ ние метода - метод гармонического баланса). От амплитудно-фазо­ вого баланса можно перейти к балансу вещественных и мнимых х а -

В настоящее время метод гармонического баланса применяется в

параметры автоколебаний. Решение в ряде случаев удобно проводить графо-аналитически (отсюда и название метода). Автоколебания (предельный цикл) могут быть устойчивыми и неустойчивыми. Устойчивость предельного цикла можно проверить, например, ис­

Критерий устойчивости формулируется следующим образом. В систе­ мах не выше четвертого порядка для устойчивости предельного цикла требуется, во-первых, чтобы выполнялось неравенство

во-вторых, все коэффициенты характеристического уравнения линеа­ ризованной системы должны быть положительны. Индекс п при част­ ных производных означает, что после взятия производных необходи­ мо подставить значения амплитуды и частоты предельного цикла:

н точке пересечения графиков определяются параметры автоколеба­

№

Материалы для проверки усвоения содержания параграфа

1 . Какими свойствами должна обладать линейная часть систе­ мы, чтобы можно было применить метод гармонического баланса ?

2 . Что такое гармоническая линеаризация нелинейного звена? 3 . Сущность графо-аналитического способа определения пара­

метров автоколебаний.

4 . Сущность графического способа определения параметров автоколебаний.

135

СИСТЕМЫ ДИСКРЕТНОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 7 .1 . ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ СХЕМА ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

Методические указания

В результате изучения параграфа слушатели должны знать функциональную схему системы дискретного управления, передаточ­ ную функцию фиксирующего звена и особенности функциональной схемы цифровой системы.

Содержание

Под дискретными системами будем понимать импульсные и цифровые системы. Вариант дискретной системы представлен на рис. 7 .1 . В состав системы входит непрерывная ч асть , ключ, дискретный корректирующий контур и фиксатор.

Непрерывная часть системы включает объект регулирования с органами управления, исполнительный элемент (привод) и датчик. Она может быть линейной и нелинейной. В дальнейшем рассматрива­ ются дискретные системы с линейной непрерывной частью.

136

в непрерывный сигнал управления (рис. 7 .2 ) . Фиксирующее звено

UtnT)

(фиксатор) осуществляет запоминание сигнала, который поступает на его вход в момент времени кТ {к = 0 ,1 ,2 . . . ) на протяжении времени Т . Такое фиксирующее звено называют фиксирующим звеном нулевого порядка. В каждом такте дискретности на вход фиксирую­ щего звена (ФЗ) поступает 6"-функция, а на выходе появляется импульс длительности Т (рис. 7 .3 ) , который является функцией веса звена. Согласно р и с. 7 .4 функция веса фиксирующего звена представляет разность между единичной ступенчатой функцией и единичной смещенной ступенчатой функцией, т .е .

iWft)

Рис. 7 .3

137

Передаточная функция фиксирующего звена на основании выраже­ ния ( 7 .1 .I) имеет вид

разование информации в машине выполняется в цифровом коде, т .е .

дов. Отклонение квантованного по уровню сигнала от квантуемого не может превышать единицу младшего разряда, что составляет до­ ли процента. Поэтому квантование сигнала по уровню в системе с ЦВМ при большом числе разрядов преобразователей А- - К и К - А можно не учитывать. Если не учитывать квантование по уровню, то эквивалентная схема системы управления с ЦВМ имеет вид, при­

138

ключи, которые обозначены символом " — ''— " с указанием перио­ да дискретности Т . Наличие ключа на выходе мятинн объясняется тем, что сигналы управления выдаются в дискретные моменты вре­ мени, а именно в моменты замыкания ключа. Аналогичная эквива­ лентная схема соответствует дискретной системе управления, приведенной на рис. 7 .1 , только вместо ЦВМ необходимо поставить дискретный корректирующий контур.

Материалы для проверки усвоения содержания параграфа

1 . Состав функциональной схемы системы дискретного управ­ ления и назначение ее элементов.

2 . Особенности функциональной схемы цифровой системы.

3 . Передаточная функция фиксирующего звена.

§ 7 .2 . МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ТЕОРИИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

Методические указания

Изучив параграф, слушатели должны знать математический ап­ парат теории импульсных систем. Слушатели должны запомнить вид разностного уравнения системы, определение z -преобразования решетчатой функции и основные свойства х -преобразования.

Содержание

описания процессов в дискретных системах должны использоваться не дифференциальные уравнения, а разностные уравнения (уравне­ ния в конечных разностях). Для получения разностного уравнения

139