Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

5.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Изменяя значение коэффициента передачи разомкнутой систе мы, можно перевести разомкнутую систему из устойчивого состоя ния в неустойчивое и наоборот. Значение коэффициента передачи разомкнутой системы, при котором замкнутая система находится на границе устойчивости, называется предельным коэффициентом передачи. Рассмотрим теперь случай, когда разомкнутая система находится на границе устойчивости.

Пусть передаточная функция имеет вид

W ( p ) =	к ( і + Т,р)	.
	(7 + Тр) ( рг+	)
Характеристическое уравнение разомкнутой			системы
0 + Т р ) ( р г ч- я г) = 0
имеет один вецественный отрицательный и			два чисто мнимых i j a
корня.

Комплексная передаточная функция равна

W (jo j)	к и ч- j 'со Т4 )	(5 Л . 2)
	(1 + ja jT ) C S2* - u
		t)

В состав системы входит резонансное эвено с передаточной функ цией К (р )= p i i z z !• Иа частоте co=s? амплитудная характеристика

стремится к бесконечности, а фазовая характеристика совершает скачок от 0 до -180° (рис. 4 .8 ) .

Амплитудно-фазовая характеристика (5 .4 .2 ) разомкнутой сис

темы при двух различных значениях параметров Т и Tj изображена
на рис. 5 .8 и 5 .9 . Для	получения непрерывной кривой амплитуд
но-фазовая характеристика дополняется полуокружностью бесконеч
но большого радиуса с	центром в начале координат по часовой

стрелке,	начиная от ветви, соответствующей меньшей частоте
ы - ( & - ( ) ) .	Эта полуокружность рассматривается как часть характе
ристики,	соответствующая частоте

100

от 0	Угол поворота вектора Найквиста при изменении частоты
от 0	до	для характеристики, изображенной на рис. 5 .8 , равен
нулю.	Таким	образом, на рис. 5 .8 представлена характеристика,

которая соответствует устойчивой замкнутой системе. Угол пово рота вектора Найквиста для характеристики, изображенной на рис. 5 .9 , равен - 2 яг . Характеристика охватывает критическую точку на угол y v = -2 s r , следовательно, замкнутая система неус тойчивая.

АФХ неустойчивой		разомкнутой системы при чгк= і	представле
на рис. 5 .1 0 .	Угол	поэтому соответствующая	данной ха
рактеристике	замкнутая	система устойчива.

Рис. 5.10

2 . Критерий Найквиста для астатических систем

Порядок применения критерия Найквиста для астатических систем изложим на примере системы с астатизмом первого порядка.

7	ІОІ

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Комплексная передаточная функция равна

АфХ , соответствующая выражению				( 5 .4 .3 ) для двух	различных зна
чений коэффициента	передачи		л	приведена на рис.	5 .I I в виде
сплошной кривой ОС.	При	а —0	модуль вектора ^ (^ н еогр ан и чен н о

увеличивается, а сам вектор приближается к чисто мнимой величи

не

K/jco

Для

того чтобы применить в такой системе критерий

Найквиста,

необходимо дополнить АФХ двумя вспомогательными

кри

выми -

кривой

ОД, симметричной АФХ ОС относительно действитель

ной

оси,

и другой СЕД бесконечно большого радиуса,

проходящей в

правой

полуплоскости.

В результате образуется замкнутый контур

ОСЕДО.

Затем

следует обвести

концом вектора

NQu)

вдоль всего

этого контура. Безразлично, откуда начать этот обход; нужно

лишь закончить его в той же точке, откуда

он был

начат.

Угол

поворота

вектора

NQai)

при таком обходе дает ответ на вопрос об

устойчивости

замкнутой

системы. Так как в нашем

случае г к =

о ,

то

равенство

нулю угла у? ѵ означает,

что замкнутая

система

ус

тойчива (рис.

5 .I I , а ) .

На рисчж. 5 .1 1 ,6

угол

поворота

вектораЛ ^)

отличается

от

нуля (он

равен

при обходе

вдоль

замкнутого

контура).

о.)	5)
	Рис. 5 .I I

102

Таким ооразом, соответствующая данной характеристике замк нутая система неустойчива. При исследовании устойчивости можно ограничиться проведением конца вектора N(j&)u.o "половине"

замкнутой кривой, т .е . по пути ОСЕ между точками 0 и Е . форму лировка критерия остается неизменной.

Материалы для проверки усвоения содержания параграфа

1 . Формулировка критерия Найквиста.

2 . Что такое предельный коэффициент передачи разомкнутой системы ?

3 . Порядок исследования устойчивости с помощью критерия Найквиста статических и астатических систем.

§5 .5 . ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАМКНУ1ЫХ СИСТЕМ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

РАЗОМКНУТЫХ СИСТЕМ

Методические указания

В результате изучения параграфа слушатели должны уметь определять устойчивость системы в замкнутом состоянии по лога рифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы.

Содержание

Устойчивость замкнутой системы иногда можно определить по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы

Н(ь	р(а	) . На рис. 5 .1 2	,6 приведены логарифмические частот
>)А6и
ные характеристики, которые			соответствуют устойчивой (сплошная

л?ния) и неустойчивой (штрих-пунктирная линия) замкнутым систе мам. На рис. 5 .1 2 ,а приведены годографы амплитудно-фазовых ха рактеристик этих систем. Системы статические и характеристичес кие уравнения не имеют корней в правой полуплоскости.

Устойчивость замкнутых систем определим на основании крите рия Найквиста. Для характеристики, которая изображена отлошной линией, % - О , а для характеристики, которая показана штр.’.х-пунк- тирной линией,УѴ = 2 яг . іак как zY= 0 , поэтому сплошная линия соответствует устойчивой замкнутой системе.

Если возникает задача построения годографа АФХ по логариф мическим частотным характеристикам, то обычно поступают следу.с- 103

щкм образом. Для фиксированных значений частоты по логарифми ческим характеристикам определяют значения амплитудных и фа

зовых характеристик. После перехода от логарифмического масш таба амплитудной характеристики к натуральному (можно использо вать, например, номограмму, приведенную на рис. 4 .4 ) по величи не модуля и фазы строят по точкам на комплексной плоскости го дограф АФХ.

Можно строить годограф АФХ в логарифмическом масштабе. Для этого на комплексной плоскости (рис. 5.13) наносят окружности, радиусы которых изменяют на постоянную величину. Оцифровку окружностей производят в децибелах. Окружность Олв соответству

ет окружности единичного радиуса в натуральном масштабе. Какую из совокупности окружностей обозначают через окружность 0А , »

определяют исходя из диапазона изменения логарифмической ам плитудной характеристики. Отсчет положительных углов вектора И^/<у)ведется против часовой стрелки, а отрицательных - по ча совой стрелке от вещественной положительной полуоси. Критичес


кая точка А	получается при пересечении		окружности	0Аб вещест
венной отрицательной		полуоси.
Обратимся вновь		к рис. 5 .12. При пересечении годографом
вещественной	отрицательной полуоси фаза		- - sr .	В устой

чивой системе при фазе, равной - я- , модуль К^^меныне единицы. Следовательно-, замкнутая система устойчива, если амплитудная логарифмическая характеристика перейдет через нуль при частоте,

меньшей частоты, при которой фазовая характеристика принимает

104

значение - я~ . Частоту, при которой Н(а)Аб = 0 , а IW(ja)f=l, на зывают частотной среза сое . Частоту, при которой фазовая харак теристика равна - $г , обозначим через со^. .

904-270*)

270°(- 90е)

Ри с .‘ 5.13

вкритическом случае, когда годограф АФХ проходит через точку ( - l , J 0 ) , система оказывается на границе устойчивости

(<% = сос ) и в		замкнутой системе возникают гармонические ко
лебания.	Чем дальше годограф проходит от критической точки
( - / , J 0 )	в случае	устойчивости системы, тем меньше вероятность

перехода системы в неустойчивое состояние при отклонении пара метров системы от номинальных, а также тем вероятнее, что пере ходные процессы будут затухать быстрее.

Параметры, характеризующие удаление годографа от критичес кой точки, получили название запасов устойчивости. Различают

запас по фазе^а = 5Г-/(й^и запас по амплитуде Ніа п Аі шН(&х)Аі ’ Запасом устойчивости по фазе ?іап называют угол между направлени

ем вещественной отрицательной полуоси и вектором АФХ разомкну

той системы W (jüjc) ,	модуль которого равен единице ( 0і б ) . За
пасом устойчивости	по амплитуде t1ianназывают модуль вектора Най

квиста N(jbjx ) = t + WCjOüx ) i у которого направление совпадает с

направлением вещественной отрицательной полуоси.

Оба запаса показаны на рис. 5 .12 . По величине запасов можно коовѳнно оценить качество управления. Практика показала, что для систем управления, порядок которых выше второго, запас

по фазе	должен быть в пределах 30 - 4 5°, а запас по амплитуде
10 - 20	дБ, причем оба эти условия должны удовлетворяться одно

временно.

105

Годограф АФХ, изображенный на рис. 5 .1 2 , только один раз пересекает вещественную отрицательную полуось. Может оказаться, что в устойчивой САУ годограф АФХ несколько раз пересекает вещественную отрицательную полуось. Так, на рис. 5.14 пересечение годографа происходит на частотахй),,сиг^ .

В этом	случае			Рис.		5.14
		запасом устойчивости по амплитуде называется мень
шая из	величин	Н(ь>і)Ав	(	і	=	1 ,2 ,3 ) . В назем с л у ч а е /Ѵ,впДв=//^)44

На рис. 5.14 сплошной линией показаны частотные характеристики


статической и астатической			систем		п р и ^ -? ^ , устойчивых в разом
кнутом	состоянии. При*' ^	ь)0		годограф		АФХ астатической системы
первого порядка показан пунктиром,					а	статической - штрих-пунк
тиром.	Материалы для проверки усвоения
	содержания параграфа
1 . Как построить годограф АФХ по логарифмическим частот
ным характеристикам системы ?					запаса устойчивости по фазе
2 .	Сформулируйте определение

и амплитуде.

106

§ 5 .6 . ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ

Методические указания

Изучив параграф, слушатели должны знать порядок построения областей устойчивости и уметь их строить, если задан вид пере даточной пункции или характеристического уравнения САУ.

Содержание

При проектировании САУ иногда возникает необходимость ис следовать влияние ее параметров на устойчивость. Эту задачу можно решить построением областей устойчивости, т .е . областей таких значений параметров, при которых система оказывается ус тойчивой. Для построения границ областей устойчивости использу ются условия границ устойчивости системы, вытекающие из алгебра ических и частотных критериев. Области устойчивости могут стро иться в плоскости одного и двух параметров. Рассмотрим построе ние областей устойчивости в плоскости двух параметров на кон

кретном примере.

Пример 5 .2 . С помощью критерия Вышнеградского построим об ласть устойчивости для САУ, передаточная функция в разомкнутом состоянии которой имеет вид

Область устойчивости будем строить в плоскости двух параметров

Т и	T j . Определяем характеристическое					уравнение замкнутой систе
мы	к СЪр + 0	* 0	+ Гр)(Р‘ +		я**) = о
где	а3р 3 + агРг +		<*t p	+ а 0	= О,	аг - /у о3 = Т.
	о.о ~ Ä +	>	ut -	кТ/ + 7я ;

Условием устойчивости согласно критерию Вышнеградского слу жит выполнение следующего неравенства:

а { аг * а 0 а3

или

107

Границе устойчивости соответствует выполнение равенства

а4а г = а 0 а і ,

т .е .

7). <= Т.

На рис. 5.15 построена область устойчивости в плоскости пара метров T j, т .

Р и с. 5.15

Материалы для проверки усвоения содержания параграфа

1 . Назначение областей устойчивости САУ.

2 . Что используется для построения областей устойчивости ?

§ 5 .7 . ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ

Методические указания

Содержание параграфа является дальнейшим углублением све дений о процессе управления, изложенных в § 1 .5 , которій пред лагается повторить. Изучив данный параграф, слушатели должны

знать физическую сущность основных показателей качества управ ления.

Содержание

Для нормальной работы системы автоматического управления необходимо, чтобы она была устойчива и обладала определенным качеством управления. Качество процесса управления принято оце нивать по переходной функции системы. Расчет переходной функции может производиться аналитическими методами на основе обратного преобразования Лапласа или частотными методами с применением

108

таблиц h -функций. В последней случае по АФХ замкнутой системы вычисляют вещественную частотную характеристику замкнутой систе мы, которую аппроксимируют суммой трапеций. С помощью таблиц

h -функций определяют составляющие переходного процесса на каж дую трапецию.Подробно частотный метод изложен ъ [ 7 ] .

Применение вычислительных машин как цифровых, так и анало говых (непрерывных) позволяет сравнительно быстро построить пе реходную функцию даже в системе, движение которой описывается дифференциальным уравнением высокого порядка. Переходная функ ция может быть определена экспериментально на выходе реальной САУ.

На рис. 5.16 приведены переходные функции ( I и 2) двух различных астатических систем; общим для них является только одно свойство: установившаяся ошибка стремится к нулю. Для ста тической системы график переходной функции 3 имеет установившую ся ошибку £уС„ .

Под качеством управления понимается определенная форма пе реходной функции системы, отвечающая критериям качества. Крите риями (показателями) качества системы управления могут быть точ ность управления, быстродействие (время регулирования), перере

гулирование, число колебаний за время регулирования и др.

Не все системы одинаково критичны по отношению к каждому

из названных выше показателей качества. В значительной мере это зависит от характера объекта управления. Одни объекты могут до пускать большое число колебаний, но не терпят начальных выбро со в , другие треоуют малой установившейся ошиоки, у третьих должно быть ограничено время регулирования и т .д .

Точность	системы уже рассмотрена в § 3 .7 , поэтому	остано-
‘ вимся далее иа	основных показателях качества нарвходной	части
процесса управления.		тгя

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ