книги из ГПНТБ / Лепилов Н.С. Теория автоматического управления учеб. пособие

Система автоматического управления называется устойчивой, если ее собственное движение с течением времени затухает, т .е .

быть определено путем решения линейного дифференциального урав­

нием времени будет стремиться к нулю. Характеристическое урав­

Рис. 5 .1

90

чивости.

Рассмотренные случаи характера составляющих собственного (переходного) движения позволяют сформулировать показатель ус­ тойчивости линейной системы. Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения системы располагались в левой половине комплексной

На рис. 5 .5 корни характеристического уравнения третьего порядка изображены в виде векторов на комплексной плоскости. Рисунок 5 .5 ,а отображает устойчивую систему, рис. 5 .5 ,6 - неус­

тойчивую систему и на рис. 5 .5 ,в представлены корни характерис­ тического уравнения системы, которая находится на границе устой­ чивости .

Следует особо отметить, что факт устойчивости или неустой­ чивости целиком зависит только от структуры системы и числен­ ных значений ее параметров и не зависит от внешних воздействий. Это объясняется тем, что характер собственного движения опреде­ ляется только видом левой части дифференциального уравнения (2 .1 Л ) и не зависит от вида правой части этого уравнения.

Устойчивость системы легко обнаружить на практике. Так,

например, показателем устойчивостислужит наблюдаемый в экспе­ рименте возраст системы в нулевое положение после снятия по всем входам внешних воздействий. Показателем устойчивости может также служить затухание весовой функции системы lim w(t)~Q л наблюдаемое в эксперименте после подачи импульсноТо’ воздействия.

92

Поскольку непосредственное решение характеристического уравнения ( 5 .1 .5 ) , если оно высокой степени затруднительно, то в теории автоматического управления используются косвенные при­ знаки устойчивости.

Косвенные признаки устойчивости, опирающиеся на рассмотре­ ние соотношений между коэффициентами характеристического урав­ нения системы или свойств частотных характеристик, называют критериями устойчивости.

Материалы для проверки усвоения содержания параграфа

1 . Сформулируйте определение устойчивости системы.

2 . Признак устойчивости линейной системы.

3 . Чем объясняется, что устойчивость линейной системы за­ висит только от структуры системы и численных значений ее пара­ метров ?

§ 5 .2 . АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Методические указания.

В результате изучения параграфа слушатели должны знать формулировки алгебраических критериев устойчивости и уметь при­ менять их для определения устойчивости системы.

Содержание

Из алгебраических критериев устойчивости рассмотрим крите­ рий Вышнеградского и критерий Гурвица.

Устойчивость системы с помощью алгебраических критериев определяется по характеристическому уравнению системы ( 5 .1 .5 ) . По характеристическому уравнению разомкнутой системы определя­ ем устойчивость разомкнутой системы, а по уравнению замкнутой системы судии об устойчивости замкнутой системы.

Приступая к исследованию устойчивости системы, вначале не­ обходимо убедиться, что выполняется ли необходимое условие ус­ тойчивости. Для устойчивости системы необходимо (но недостаточ­ н о ), чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны. Это означает, что если коэффициенты положительны, система может быть устойчивой, но может быть и неустойчивой.

93

Для систем первого и второго порядка необходимое условие устой­ чивости одновременно является и достаточным.

Критерий Вышнеградского позволяет определить устойчивость системы третьего порядка с характеристическим уравнением

а 3рл + агр ‘ + а3р + ао = 0.

Он формулируется следующим образом. Если система третьего по­ рядка удовлетворяет условию положительности коэффициентов и , кроме того, произведение средних коэффициентов характеристичес­ кого уравнения больше произведения крайних коэффициентов, то такая система устойчива. Условием устойчивости служит выполне­ ние следующего неравенства:

а, аг > а0 а3 .

Критерий Гурвица пригоден для определения устойчивости ли­ нейной системы любого порядка. Критерий Гурвица формулируется следующим образом. Система является устойчивой, если все коэф­ фициенты характеристического уравнения (5 .1 .5 ) положительны, а

Выполнение условия положительности коэффициентов позволя­ ет не вычислять определитель Ап для системы любого порядка, так как он находится через определитель Д„_/ следующим образом:

94

Для уравнений, порядок которых п?~5 , пользоваться критерием Гурвица, как правило, не целесообразно из-за громоздкости вы­ числений. Но главным недостатком этого простого с математичес­ кой точки зрения критерия является трудность определения влия­ ния на устойчивость того или иного параметра системы автомати­ ческого управления. Поэтому для исследования системы чаще при­ меняют частотные критерии устойчивости.

Пример 5,1 Исследуем устойчивость системы, характеристи­ ческое уравнение которой имеет вид

2р^ ■+ к р і + Ь рг+ р + 3 = 0 .

Система неустойчива, так как

Материалы для проверки усвоения

содержания параграфа

1 . Критерий устойчивости Вышнеградского.

2 . Критерий устойчивости Гурвица.

§ 5 .3 . ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА

Методические указания

Изучив параграф, слушатели должны знать формулировку кри­ терия и уметь определять устойчивость системы по виду годогра­ фа Михайлова.

Содержание

Советский ученый А .В . Михайлов в 1936 г . предложил ввести оценку устойчивости системы по углу поворота характеристическо­ го вектора, который называется вектором Михайлова. Используя критерий Михайлова, можно определить устойчивость как разомкну­ той, так и замкнутой систем. Имеем характеристическое уравне­ ние замкнутой системы

ап р п + ап „{р п' {+ ■ • • + а,р + а0 = О.

95

Левую часть этого уравнения обозначим М(р) и будем называть характеристическим многочленом замкнутой системы или многочле­ ном Михайлова

Если задана передаточная функция системы в виде отношения двух полиномов от p t то знаменатель передаточной функции есть многочлен Михайлова. Согласно формуле (3 .7 .1 0 ) многочлен Михай­ лова разомкнутой системы М(р)=Ѵ(р)> Многочлен Михайлова замкну­ той системы выражается через полиномы числителя и знаменателя разомкнутой системы следующей формулой:

лексной плоскости опишет кривую, которая называется годографом Михайлова.

Формулировка критерия устойчивости Михайлова следующая: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы вектор

Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечности повер­ нулся в положительном направлении (против часовой стрелки) на число квадратов, равное порядку характеристического уравнения

(5 .3 .4 )

На рис. 5 .6 ,а изображен годограф Михайлова для устойчивой системы четвертого порядка, а на рис. 5 .6 ,6 - для неустойчивой системы. Суммарный угол поворота вектора Михайлова при измене­

ся в начале координат (рис. 5 .6 ,в) или проходит через начало

координат (рис. 5 .6 ,г ) , то система находится на границе устой­ чивости .

96

мы W(jo)J. Позднее советский ученый Я .З . Цыпкин распространил критерий Найквиста на астатические системы любого порядка.

Так как частотные характеристики разомкнутой системы дос­ таточно просто строятся по характеристикам отдельных звеньев, поэтому критерий Найквиста является весьма удобным и получил широкое распространение.

Критерий Найквиста формулируется следующим образом. Если

тойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточ­ но, чтобы годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкну­ той системы охватывал точку ( - J , j 0 ) на угол ?ѵ *" • Точка с координатами - i , J 0 называется критической точкой.

Чтобы использовать критерий Найквиста, необходимо пояснить

понятие "охватывание". Для статических и астатических систем это понятие имеет свои особенности. Рассмотрим отдельно устой­

Характеристическое уравнение разомкнутой системы

(T,p*i)(Tt p * 0 ( h p * 0 ~ o

имеет три вещественных отрицательных корня.

98

Комплексная передаточная функция равна

который назовем вектором Найквиста. Проследим концом вектора

фазовая характеристика не охватывает критическую точку. Если результирующий угол отличен от нуля, то характеристика охваты­ вает критическую точку на угол У>ы . Угол поворота вектора Най­

квиста для характеристики, изображенной сплошной линиёй, ра­ вен 0 , т .е . соответствующая данной характеристике замкнутая система устойчива. Характеристика, изображенная штрих-пунктир­ ной линией, соответствует неустойчивой замкнутой системе. Ха­ рактеристика, которая проходит через критическую точку (изобра­ жена пунктиром), соответствует замкнутой системе, находящейся на границе устойчивости.

99