книги из ГПНТБ / Корнейчук В.И. Арифметические устройства ЭЦВМ учеб. пособие

3 .2 .

СПОСОБЫ ПОВі.ііІК!ІИЯ ПКЯРОДИЗВТИЫ ШОКОВ УМНОЖЕ­

НИЯ

/ І . В . І І /

в зависимости

от того, какой величине / п

или /7г /

про­

порционально дополнительное оборудование„различают

аппаратные методы первого и второго порядков. При

ком­

бинированном

способе используются как аппаратурные,

так и логические средства.

В качестве примера рассмотрим логический метод

уско­

рения умножения за счет исключения тактов

суммирования

t y = ~ k r}t i. +

-h

t c

где tj .

и

t c

-

длительности тактов

суммирования и

сдвига. Здесь

и далее предполагается,что 0 и I

встреча­

ются в любом разряде одинаково

часто. Исключение тактов

суммирования с 0 во второй и четвертой схемах

при t c — t +

не приводит к ускорению умножения. Однако.если совме­

щать два

и более

сдвига с одним суммированием /т .е .

t t * 2 t c

/

,то

это

приводит

к повышению быстродействия

на 1,25

и более раз. Действительно,пусть t+ — 2 t c .

Обозначим вероятности появления двух очередных

цифр

множителя

00,01,10

и II в

L

-ом

такте через

к/0 ( і ) ,

W ,(i},W jc)u ti3 (L)U K

определенности

предположим, что умно­

жение производится с младших разрядов. При появлении

цифр 0 0

в

с -ом такте производится

сдвиг на

один раз­

ряд, при появлении

цифр 0 1 производится суммирование и

два сдвига во время суммирования,при

10 - сдвиг,при I I -

суммирование и сдвиг. Составим зависимости,связывающие

вероятности k / j f О

для

і

-го

такта

с вероят­

ностью^-

f і + 1 )

для і + 1 -го

такта. В

1+1 такте

комбинация цифр 0 0

может появиться,если: а /

в

/-о м

такте была комбинация цифр 0 0 и после сдвига вновь

появившейся цифрой оказался 0 ;

б /

в

і -ом

такте была

комбинация цифр 01 и после двух сдвигов,которые произ­

водятся в данном случае,появились цифры 00.

Вероятность

события а /

равна -fr к/0 ( і )

,а

б /

-У-- У щ

f t )

Так как

событие а /

и б / несовместимы,то их

сумма равна

вероятности появления цифр 0 0 в

6-+1

такте,т.е.

Ч А*

<hік(t)+L>V ,

ft).

W ,f( + i ) ~

-£г h// f t ) + %

( і ) - ф ^ з ( О f

Wz (t-f-i) = -jr

n/DГО* -f

h/f (t'J ,

H/3 ( L+ I) = 4?

Щ (i)+ ■£■

(i)+

К этим уравнениям следует

добавить начальные условия

Кроме

того,

М

=

Щ

[ ')

= •* .

+ ь/г + b/j

=> /

для любого такта.

At/ j ( i J

Оказывается,что

вероятности

измеішются от

такта к такту только при малых

с

. При больших ( uSj

быстро

стремится к пределу

и в дальнейшем

практически

не изменяются. Это

с е о й с т в о

позволяет свести

полученные

ниям, так как €ст

W ;ft+/)= fcro

k /ff{ ) = k /i

т .е.

,

j t—л>

У

' i-*oa

J

J >

V0 = fh /0+VH/f

f

*/f + J.K/z + £ h /3

W2s £

k/0+ h / f

,

H/3 =-£ <*/, + ■£■*/, + -£■ hA

Отсюда получаем ^

^ ж

^

^

^ _

( К + " z jtr + fc

+

а среднее

число' сдвигов

за один такт будет

і-ГИ/3 = -§-.

Отсюда время умножения будет равно ,

Задачи. I .

Разработать

блоки умножения.реализующих вто­

торое

содержит наименьшее

количество

значащих цифр.т.е.

I и Г

. Для этого группу

из

т & 2

единиц, Oft... to

преобразуют в группу

1 0 0 ...ГО.

В правомерности таких

преобразований легко

убедиться.

Например,число

ГЧ=ШО= f-2 3+ 1-2г +1 2.'+

0

-2 °=

если

очередная цифра множителя равна І,и вычитание,если

- Т

. Преобразование множителя производится одновре­

та Ъ-'tииа3 .3 .}_____

TccS/rcLLfa jк3 .2

trn-,P X

ІГп РХ

к

S

К н 1Т„., РХ

1Тп Рх

к

5 %'ъ

о

о

о

ІО

о

0

0

1

flJ

о

о

1

о

о

0

1

1 і-о 1

1

о

о PO о

1

о

/ -у

/

/

1

о

-JL

1

1

1

/

+0

/

_

Если очередные

цифры множителя, зафиксированные

на

двух последних триггерах 1n. f

и 1п регистра РХ,равны 00,

01 или 10,то умножение происходит обычным способом. Ес­

ли же очередные цифры множителя будут

II,т о

вместо сло­

жения производится вычитание и вырабатывается признак

у

=1,говорящий

о том,что первая I

данной группы

преоб­

разована в ./ ,

все

остальные

I

группы

преобразуйся

в 0,

а первый 0 ,следующий за

данной группой

единиц,должен

бь/ть преобразован

в

I . При признаке

у

=1 умножение

производится так,как будто эта I просуммировалась с

цифрой в

Т^РХ

/таблица

3 .3 .2 /. Признак у =0 вырабатыва­

ется только в том случае,если две очередные

цифры равны

0.

Составим ідА умножения

{/iffi/)=fH0)(rCC)P(S=+O)t'(BXP2)(S=+i/)r{öOKpyXPn)(f7/cP2)

(S=-y)fY(öKP}/)(pxP2) t '(псрх)(лср?)(+ /сс)[сс = т /) Г3f t о)?

'г$е(5=+о)=(отпР Х )у

V (1 ГпР х )у і 9

(S = іу )фТ„-,РХ)(/ГпРХ) f - фт„_, РХ)(ОТ„рх)у>(-=уог„_,рг)(&Щ

(s= ~y)=fs-+ о)V(J= + y) =ffr/j/ p x)(s7 7 b j

Так как в

t

-ом такте

вырабатывается

признак

Аля

і + 1

-го

такта, то

.туш

его запоминания

необходим

триггер,функции возбуждения

и

у

/

которого бу­

дут

иметь вид

у'о

~ ( 3 = + у ) ,

y / =

f j = - y )

Схема,реализующая данный (.ІАУ,Показана на рис„3.3-І,где

КС-комбинационная схема,реализующая функции

(+!/), ( - У ) ,

(+ о)

fу '

и у/

C=f3cL,

■ f<zs-*2a.s)n+{3a., / 2аг+2

7‘- а -s- + б'о-б + I f а -? * З в -в )* а 9 [£°$г. (n + t)3 .

Для оцешси быстродействия необходимо знать

вероятность

появления значащей цифры в

/7 -і-о м

разряде преоб­

разованного множителя

/1=- 0 ,1 ,,. ѵ л -У /.

Рассмотрим

две соседних

цифры "а"

и "в"

преобразованного множителя.

Цифра "а” может быть значащей только при условии,если

в=0. С другой

стороны

цифра

"а"

может быть значащей, а

условия равна /

I —

/ , а второго

- ~ .

Следователь-

при начальных условиях

L =0,

и/0 -

.Н е

составляет

труда найти решение полученного рекуррентного уравнения.

Однако проще определить

нредел

№

вероятности й/'

W = /

/> -

w )

или h/= j-

Отсвда получаем

Коэффициент эффективности данного БУ даже при

выше чем у БУ на рис.3 .2 -1 . Высокая

эффективность рассмот­

предположить, что

одно

суммирование совмещается: а / с од­

ним, б/ с двумя,

в / с

тремя

сдвигами.

з . 4. у с к о р ш л к

з а

с ч е т и с п о д і з о в а н и я і . о п о л -

НИТЕТЬМХ НЕЧБй СШГЛ_______/

I /

Ускорение умножения за счет

использования дополнитель

них цепей сдвига

относятся

к аппаратурным методам пер­

- микрооперация правого

сдвига на I

разрядов.

Схема,реализующая данный микроалгоритм, отличается от

схемы БУ на рис.З .З -І только тем,что

по сигналу в точке

Б в зависимости от условия / /С = I /

осуществляется

ветвление,в результате которого вырабатываются сигналы

/ПСІ/ и /+ІСС/ или /ПС2/ и Д2СС/

/р и с .3 .4 -2 /. Сигна­

лы праього сдвига /ПС/

поступают,как и в предыдущей схеме

на регистры РХ и PJ? ,а

сигнал /+1СС/ —на счетчик сдви­

WHPK ІТпРХ fiS'

R'/

(пс/)(±ІСС)

о :

0

'o:<0 0 2.0

0

0

’ i >y 0 2

1

0

/

: 0 <4 0 2

?.

(+ZCC)

о

/

( *0 t. /.

3

'*•<> ІР І)

і

0

0 <0 0 /'

У

Рис. 34'2

У

0

i ■У i ß-■5

{

і

0 -У 1 2

6

ШРХ

л- =0 ѵч

ш

{

і

1 +0 i 2

7

К П-2П-Іп

S

ѣ,S

Рис. ЗУ-/

/

0 0 0

*0

0 >У

0

я

0 0 1

'У

0

& 0

/ГпРХ

3

0 / 0

>2У0

■У /

СГгнРІ -У

-У

-2У >2У

У.0 і 1

чУ

і

*0 і

<■0

*0

~У

-У

5 { 0..0

<0

0

•У

0

*8И

-ІУ

*У

<-У

6 { 0 •і-' У

0 ■я (

7 ( і 0 ■29 h ■У /

t-У

*У *0 W

& Т Т -У •0г

Пусть Wj (і)

будет вероятностью появления

J

-ой

строки таблицы в

і -ом такте

умножения / у

= 0 ,1 ,..,7 /.

Тогда вероятности

h/y

для

І -го и . і

1 -го

так­

мой рекуррентных соотношений

У >

ч/і(і+і) —тгІМо(і)+к/,(і)-і-

H /jfrj+yf'ь/г(0+ b/gfi)+ h/f f t ) j

,

iS2(tHj=7ffh/0/ ‘J+ irfft) +^ z fü y + ir

**v ft) >

W3(i-n)=ij{n/Fft)+»/б(l)+

ft)} >

Wxtfi-H)--g (и/0 ft)-/- hftft-h k/2 ( i ) } ,

Wr (nt) = i W3 ft)-f--^{h's-ft)-/ ч/gft) *->*/?{()) ,

^ f t ) + fttf‘) h i

ft) >

ftijrft)* H ft) *

W j-ft)},

при начальных условиях M, f t f t

ц/2fo)=f t f t о)= U/gft) - ft и

k/,/b)= b/s ft)= *$-((?)=ti/?ft)= o

Кроме того, для любого такта

,£

д / = /

у -О

J

Перейдя к пределу при

0О

и решая полученную сис­

і -*•00

тему алгебраических уравнений,получим

=

= £

;

Wf = 4/z =h/r =4/6 = £§

,

Следовательно, за один такт

в среднем производится умно­

жение на

fk/j + hft) -f- 2 1

'

д

/

Ц

- ^ v ) =

разрядов.

При этом длительность одного такта

будет

te+

(4/t +u/z t

H/r У-n/g)= tc -h ф t +

условных единиц. Отсюда

ty-■# (*с 'Ф t j *

Пf f

tc * f

t , ) .

Как и следовало ожидать,число

суммировапий от введения

том /т)

уменьшается.

Например,при

m =1 количество

сдвигов равно п

,при

ш =2 -

0,56 п

,

а при

m =3

- 0 ,4 4 п

.

Отсюда

следует,что вряд ли целе­

сообразно

использовать

данный

метод

при

m

з .

Задачи. I .

Построить цифровую диаграмму работы

рассмот­