Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Корнейчук В.И. Арифметические устройства ЭЦВМ учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

где	В =		- f j	,	Ы - параметр			аппроксимации. Тогда
		2< *р	.../г »			_ Л _ 2 ( 2 « q * + t - i )

			M (R K ) -				4ы $ # ' £ * +*)
Величина ос$*-						2	7
а ^	-	[Со?к A /J x ео9 * А/ =						.
Отсюда		.		,		Z'
где -	Л	м(**)~1£к’
		= .^ 0	1	,	-	константа, зависящая от диапазона
представления			чисел в			ЦВМ. Следовательно, среднее числб

сдвигов при выравнивании порядков обратно пропорционально логарифму основания системы счисления. Причем А равно или близко к 3.

Для суммирования мантисс требуется время СѴ

пример

но равное времени получения разности

порядков

t t

,т .е .'

t 0 ~

. Оценил теперь

среднее

время

І/м

»необходимое

,пля первой нормализации. Для этого необходимо знать

среднее

число

М f Qu)

сдвигов

при нормализации. Для

оценки М (Я к )

предположим,что

операции

сложения и вычи

тания, а

также

знаки / +

и / —/

чисел X и У встречаются

одинаково

часто. Не ограничивая общности можно считать,

что

£ у

и,следовательно,после

выравнивания

порядков для мантисс X и У будут справедливы неравенства

< ? < / * / < / ,

/2 .4 .1 /

Среднее число М ( У^сдвигов равно

/if- w fQ ^ і)сй Z

Ш ф к =

)

ixf

wf az f ) ,

{s-f

(=-/

где Ix/fQfi —Ü

- вероятность нарушения нормализации на

L разрядов

вправо.

„

Легко

видеть,что

Если мантиссы X и У статистически независимы и равномерно распределены в области / 2 .4 .1 /,то

- 19 -

тепла	Ф * )= K + i , 4к г- 5	к+ Ъ
	Ух~ * 4(к+ <)(л-if-	ч (к -О
Для опенки tL uи tLZff предположим,что в		каждом разряде
іяола с	равной вероятностью может быть	как 0, так и I .

педовательно,округление приводит к образованию переноса н младший разряд с вероятностью . Поэтому = ту Нарушение нормализации после округления возможно только

•> глучае,когда во				всех	разрядах результата будут I . Ве-
ѵ'іятность		этого события равна-57577 »				0, Следовательно;
4	Ä	О	. Таким		образом,
■?п	t+ = t t + M ( R * ) t t + t c +					4 =

			_ Г f		. f 3 , A-+3	) f
			~ "г Lc * ( f r x * 4(K -t) J иг '
При K=2		и 4	- 4	,	t + a f a + ? ) t c i
г,е . при		сделанных предположениях суммирование кодов с

іпввающей запятой в 4-5 раза является более длительной 'Перацией,чем суммирование с фиксированной запятой, Чапача. Произвести все пропущенные при выводе формул для

и /V ( Q к)	выкладки.
,5, СТШИРУДПИЕ ЕДОКИ	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ДЕЙСТВИЯ / І . 2 І /

Гак же,как и в параллельных блоках,в последовательных ■умчирупцих блоках /СЕ/ операции могут проинводиться в пря- ■ніх и дополнительных кодах. При операциях в прямых кодах лля реализации вычитания в свою очередь могут быть ис пользованы как дополнительные коды,так и обратные. В пер вом случае с некоторой вероятностью результат может по

лучаться в	дополнительном коде. Поэтому	в среднем потре
буется /	I тЧѴ/ тактов суммирования п -	разрядных чисел
/с м .§2.1/*	При использовании обратных кодов для реализа

ции циклического перенося также требуется два такта сум мирования, Вследствие этого реализовать операции в прямых кодах в СБ последовательного типа нецелесообразно. В ка честве примера рассмотрим СБ,работающий с числами,пред ставленными дополнительными кодами. Алгоритм суммирова ния и MAC описаны в 2.2 . Отличие, в данном случае, состоит

- 20 -

в том,что МО выдачи кода с регистра X и У /1ЖРХ/ и /ВКРУ/ сводится к выполнении / П+ 2/ МО правого сдвига /П С /.т.е.

	* ( В К Р	х ) - ( н о ) і ‘( п с р х }(+ іс с )(с с =п + г) f ( x o ) t
где /СС=/7-/-2/		- логическое условие "состояние счетчика
сдвигов	= /7 /2 " .
Аналогично реализуются МО /ВКРУ/			и /ВОКРУ/. Схема СВ по
казана	на рис. 2	.5 -1 . ВМУ видает	/п+ 2/сигнала ПС,после

чего вырабатывается сигнал КО и,в случае необходимости, сигнал переполнения Q . Следовательно:

,	t + - ( t z + t c ) ( п + г ) ,				р
где £•£-	-время прохождения сигнала через £				,
длительность такта сдвига. Следует отметить,что если
подсчет	сигналов		ПС вести	в точке І,то потребуется СС с
/ 7 / /	,а	не с	/ 7 / 2	состояниями,что	несколько
упростит	его	схему.
,Нля построения			данного	СВ требуется

с-(2 а , + 2а6) п + а э [£одг (п + г)] //3af /а ^ а 6 //S0p +3as}

урловных единиц аппаратуры. Сравнивая полученную величи ну С с аппаратурными затратами,необходимыми для реали зации СБ параллельного типа,можно сделать вывод,что аппа

ратурные	затраты уменьшаются всего лишь примерно в 2
раза,в то	время,как производительность падает более,чем
в п раз.
Задачи. I .	Нарисовать временную диаграмму работы СЬ,по
казанного	на рис. 2 .5-1.

2. Разработать СЬ.работающий с числами,представленными

в обратном коде. Оценить аппаратурные	затраты и быстро
действие полученного СБ.	.

Рас. 2 5 -1

3 . ЕДОКИ ДЛЯ УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ
3 .1 . ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕАЛИЗАЦИИ УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ		В ПРЯ
МЫХ КОЛАХ	/1 .7 / _
При умножении чисел в прямых кодах знаковые		разряды

и разряды мантисс обрабатываются раздельно. Для определе ния знака результата производится суммирование цифр.запи санных в знаковых разрядах операндов. Умножение мантисс можно производить с младших разрядов множителя либо со старших. При этом можно сдвигать сумму частичных произ ведении либо множимое. Вариации указанных возможностей дают четыре основных метода умножения. Рассмотрим каж дый из них в отдельности.

Пусть	=О,	г г ..} Х п = Е х г 2	І^	ггуогуа
Z	=у х =	у ( Х , 2~'+ Хг 2~г+. ..	+	х п г ~п)=

=г ~'fу х , *«?-'(у х г +2 ' '(уХ 3 + .. + 2 -/( fX ,„_f+2 ~'(ухп +0)..)

Отсюда следует,что умножение можно производить по следу

ющийрекуррентнымформулам		По ~ 0 у П{ =(п0 +у x nj . 2~'
пгФ ,+ У * п -,)2 ~ '> - • •;	Пс+, ~(Г7{ +у х п -і )2 .. .
І= П „ = (Л „ -, + у х ,) 2 ч ,
т .е . умножение сводится к		п -кратному повторению цикла
Л(+1 =(П( + У п- і)%		Оf і = 0 . •
при начальных условиях	П0 -

-Такой способ принято называть умножением с младших раз рядов множителя и сдеигом суммы частичных произведений.

Для реализации умножения по этому способу необходи мо иметь РУ с цепями выдачи кода /ВК/>ДДя реализации

умножения на X/?-t	, сумматор Z	для реализации сложе
ния П і- і с УХ п - і	> регистр	РіГ с 2п разрядами

ицепями сдвига вправо для реализации умножения на

ихранения П/ _ / и сдвиговый регистр РХ для хранения и просмотра множителя X. Составим микроалгоритм реализа ции операция умножения /МАУ/ на указанных узлах

(M 9)={//0)(rCC)f(e*Py)(örPZ){0r„ РХ)f ,(ПКР2}І'(/ГТСр ф ісс) f ЛСРХ)(СС = n ) f Z(fcO),

где OT/,PX - выход 0 триггера 1П младшего разряда РХ,

- 22 -

СС - счетчик сдвигов.
Схема,реализующая МАУ,показана на р и с .З .І-І. Так как
сдвиги в РХ и Р^осуществляются в	одну и ту же сторону,и
РХ но мере сдвигов освобождается,	а РіГ'заполняется, то
функции РХ и Рг'могут быть совмещены в		одном регистре РХ
/см . пунктир на р и с .З .І -І/. Вследствие		этого минимальные
аппаратурные затраты на реализацию данного МАУ будут:
с, —(За., +ZcLzf dg- +2cig)п +	nJ+fa-' +a.], + а ч + a r +

4-3di+ ¥<х7 +-а-е)=А,п+а.9 [еодг п]+ & ,,

а быстродействие

,	/	* y = n ( ^ c *	);
где Гуі и	-	длительность	тактов соответственно сложе

ния и сдвига. Коэффициент эффективности при								этом будет^
				.	/			.
	*	“	n ft+ + t c X J , n + a s			Cfoffz nJ+ R t •
В качестве			примера рассмотрим цифровую диаграмму ра
боты данного			блока умножения.		В =			П~ 4.
Пусть Х = ^			и У=	.Т о гд а			.
Регистр X		ІТЛРХ		Регистр У	Регистр?		Регистр^ Сч.сдв.
,1011 — —		I		1100	00000		0000	000
		НО У			о ііо о
0101-		I	Сдв.		о о ііо		0000	001
0010			У		І00І0
		0 Сдв.			0І00І		0000	010
0001			0	.01001				о н
	.	I	Сдв.		00100		1000
0000			У		10000
		0 Сдв.			01000		0100	100
0000		0 КО			01000		0100	100
При втором методе умножения Z						представляется в виде

Z = 2 ~ n( y 2 ”- ,3Cf 4 - у 2 п ~гх г Л . .+ 9 2 'х п -, + У 2 °Х п ) =

-2 ~ п(Уп-г X , -h Уп-г 'X z+...-h yf x „ - r -f- У о х „ )

где у - - у . 2 1 =Уі_г 2 .

Следовательно,умножение по этому способу сводится к кратному выполнению цикла

+■ У і - ^ ы . X = ? ѵ 2 -

- 23 - ■

- 24 -

при начальных условиях і - 0, \jQ = У, U0= 0. Такой спо соб принято называть умножением с младших разрядов множи теля и сдвигом множимого. Составим ЫАУ по такому способу

(мяу) =(но)(ГСС)і2(дЛРУ)(зхРг)(отпрх)/ '(пкрг)і 'fjcpy)

(псрх)(+ісс)(£с^п) і г(ко).

Схема.реализующая данный МАУ,показана на рис.З.І-Х . Осо


бенностью схемы является наличие			2 игразрядов в		регистрах
РУ, Р / и Е	сумматоре. Регистр		Р.? должен	быть	сдвиго
вым,так как	только в	сдвиговом регистре возможно осу
ществить выдачу кода		и прием через £7		этого	же кода.

Преимуществом схемы является неподвижность суммы частич ных произведений, вследствие чего, определять конец опера

ции /КО/ можно	по 0 регистра РХ /см.пунктир	на	рис.
3 .1 - 2 /,т .е . отпадает необходимость в счетчике		СС	и,кро
ме того, можно	совмещать операцию сдвига с операцией

суммирования. Как первое,так и второе повышает быстро


действие и		упрощает		ЕіѴУ.
Если	>	t c	,что		обычно	имеет	место,то отгадает
необходимость в ЛЗ				t 3	,а	сдвиговые		импульсы совме
щают с	сигналами		Н0£"		/см .	пунктир	на	рис.3 .1 -2 /. Оце

ним повышение быстродействия от того,что КО вырабатыва

ется	по 0 РХ. Пусть С			и I		в	любом разряде встречаются
с равной вероятностью. Тогда вероятность наличия і
нулей в старших разрядах РХ равна									. Отсюда среднее
число	0 равно „		,			«>		/
	£	/	' ^ '	-		Е	L — . M .
п						**	-	2 “'
	Г=Ѵ	-	2*-"		< =/

Следовательно,в среднем операция умножения будет длиться п-Я? такта. В силу сказанного

Сг =(Уа/ ^ 4 а г +2 а ѵ +2*0.^-h3asj n + 2 а 6 /■ ?га 7 -J?2 n+ Ö z ,

	<?	M2n -f-âz ‘
Ври третьем способе умножения Z представляется в виде
г =2 '	.{{ух., г " - %	у х г 2 п -2)+ .

Вынося за скобки 2 в максимально возможной степени полу

том, что умножение			сводится к		п -кратному выполнению
цикла	/г .	=	/7.	2 + иэг ■
	" і + і		V	^	+ і

- 25 -

при начальных условиях / = О,	= 0. Такой	способ по
лучил название умножения со	старших разрядов множителя
и сдвигом суммы частичных произведений. МАУ		по данному
способу будет иметь вид		.

(Я Я У ) = (H 0 X rcc )t2(âKpy){3](PZ){0Tl P x )t (П К Р Ю Н Л С Р І)

(JC P X )(+ JC C )(c c T h ) і г(к о ).

Схема,реализующая данный МАУ,показана на рис.3 .1 - 3 .'Осо бенностью ее является то,что регистр P Z ' выполняется в виде счетчика,так как при суммировании возможно появле

ние I переноса в младший разряд РZ ' . Так как	сдвиги
в РХ и РЕ' осуществляются в одну и ту же сторону,то
функции Р 2 ' может взять на сёбя РХ-,при этом его	длину

надо увеличить на I,чтобы перенос из старшего разряда суммы частичных произведений не попал в младший разряд множителя. Отсюда следует,что

Cj = { 3 а + 2 а .г + а у + а г Р 2 а в + сх9) п + а &[& ?г г>] +

3а 6 + ? а 7 YcZß	t y = n ft+ + t c).
При четвертом способе ?	представляется в виде^
? = * :,• Yf-t-х г уг + ...+ х п . , у „ - г		+ л z„Y» ,
где Y;= y-2 -< =	сводится к	гь - кратному пов
Следовательно,умножение
торению цикла
n r n i . t + X iY i , Yc = Y i - / 2
при начальных условиях	L = I , У0 =У, П,,=0.
Такой способ называется умножение со		старших разрядов

множителя и сдвигом множимого. Умножение сводитоя к реа лизации следующего микроалгоритма:

(м яу)= . (HO){rCC)tz(nCPy)(BPPyXB*PZ)for, РХ) / '

/'(/т к р 2) У ( а с р х ) { + fc c )fc c =Л ) t Zfk o )

Схема,реализующая этот алгоритм,показана на рис.3.1-4.
Так же,как и во втором методе,здесь конец умножения
можно определять по 0РХ,а суммирование совмещать со
сдвигом. Вследств’йѳ	этого t у = f n -	2 ) t у.
Cv ~ (Sat +4a z +2ссу	-t-Bctj. -Р3а#)г?+	2а6 ктга'7 =

=/Jv n + ö y .	/
*	M t,f> + 8 y )(p - 2 )ty

- 26 -

- 27 -

Оценки аппаратурных затрат были произведены для

олучая, когда необходимо вычислить 2-п		цифр произведения г
Однако в ЦВМ часто требуется вычислять		не 2п ,а только
n-fi	цифру произведения и производить	окрутлепие до п
ііифр.	С учетом этого,аппаратурные затраты на построение
ГУ в	некоторых случаях могут быть уменьшены. В первом

и третьем блоке умножение такого упрощения добиться нель


зя,так как ііушсции регистра			РИ* выполняются регистром РХ,
Во второй схеме сократить аппаратурные					затраты	можно
за счет	укорачивания	регистра PZ и £			. При этом указан
ные узлы	будут иметь	длину	п + к	разрядов,где		К опреде

ляется из условия,чтобы погрешность от укорачивания не превосходила половины младшего разряда. Известно,что для этого К должно удовлетворять следующему неравенству

К1 + €о<?2( п - К - 'f) .


і!ля 23 é п *' J9,	К=6.	В этом случае
СгУ 9а, +3аг + 2av	+ J a s) n + i		+	+	.
Наибольшего упрошения можно добиться в четвертой схеме
БУ,так как в этом случае		укороченным может быть			также

и регистр РУ .т.е.

С уф а ,+ 2 а г +а9 +аг +2ag)n * ф а ,+ 2 а г + ач у-оГ -ш ф 2 а с ^ .

Сравнивая аппаратурные затраты,быстродействие и коэффи циенты эф]активности,можно сделать вывод,что схема БУ, построенного по первому способу,является наиболее прос той,а БУ.построенный по четвертому способу,наиболее эф фективный. Вследствие этого первый к четвертый способы построения БУ нашли наибольшее распространение.

При умножении чисел,как правило,возникает задача округления результата до /7 разрядов. Осуществить эту операцию можно путем добавления I в старший отбрасыва емый разряд,для чего требуется время,равное времени суммирования двух чисел. Более удобным методом округле ния является запись I в тот разряд,который после умно жения окажется старшим отбрасываемым разрядом. Например, для первой схемы БУ таким будет первый разряд PZ, а для четвертой схемы— п + і .

Взаключение отметим,что помимо высокого быстродей-

-28 -

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ