Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Клевенский А.Е. Моделирование геометрических понятий и технология проектирования

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Правило 3. В любой точке н а п р а в л я ю щ е й автономная координатная система образующей р а з м е щ а е т с я так, что ее начало совпадает с точкой на направляющей; ось Ох совпадает с нормалью базового элемента направляющей, причем положительная полуось направлена вправо по нормали, если двигаться в сторону возрастания пара метра Т н а п р а в л я ю щ е й ; ось Oy автономной системы ко ординат образующей совпадает по направлению с осью Oz координатной системы Oxyz.

Такое размещение образующих поверхность линий продиктовано, с одной стороны, некоторыми особенностя ми воспроизведения поверхности, а с другой — возможно стью формально описать ориентацию образующей в про цессе ее движения .

Правило 4. При образовании элемента поверхности взаимное расположение образующих поверхность линий определяется преобразованием автономной системы ко

ординат образующей движением.путем

последовательных

преобразований: вращения

вокруг оси Ох на угол я/2;

вращения

вокруг оси Oz на угол •б', образованный

поло

жительным

направлением

оси Ох

системы

Oxyz,

и на

правлением

нормали н а п р а в л я ю щ е й

в заданной

точке

X(Т),

у(Т),

а т а к ж е

п а р а л л е л ь н ы м

переносом

точку

*(Т),

У(Т).

Формально это правило легко представить

произведе

нием

матриц

D(T)

"1 .

х(Ту

"cosd

- s i n d

у(Т)

sin d

cosd

0 — 1

0 0 1 о

1 0

0 1

0 0

О О О

0 1

0 0

0 1

или

cosd

sind

х ( Г ) -

D(T)

sind

0 - - c o s d

У(Т) .

(20)

Угол •& вычисляется по формуле
•& = я\|)0	— - ^ -	для	базового	элемента	«прямая»;
тЭ- = "ф0	-f- а0Т	для	базового	элемента	«дуга».
Матрица (20)		в ы р а ж а е т собой закон ориентации				ав
тономной	системы координат			образующей . Этим не		ис

черпываются возможности ориентации образующей отно сительно направляющей . Нетрудно видеть, что образую

щ а я	в	своей		автономной				системе		координат			может
переориентироваться						путем преобразования						движения,
причем		компоненты такой					матрицы		движения			т а к ж е мо
гут	быть в ы р а ж е н ы				через		параметр		Т:
						D*		(Т) =
	~ 1	0	0	а(Т)			"соэф(Г)			• sin ф (Т)		0	0 '
	0	1	0	Ь(Т)				sin ср (Т)		с о з ф ( Г )		0	0
	0	0	1	0				0			0	1	0
	0	0	0	1				0			0	0	1
или				• cos	ф	(Т)		- sin ф (Г)		0	а(Т)
				• cos	ф	(Т)		- sin ф (Г)		0	а(Т)
	D* (Т)		=	sin ф		(Т)		cos ф (Т)		0	Ь(Т)		(21)
	D* (Т)		=		0			0		1		0	(21)
					0			0		1		0
					0			0		0		1

Таким образом, более сложный вариант ориентации образующей относительно н а п р а в л я ю щ е й может быть представлен произведением матриц


D**(T) =		D(T)-D*(T).			(22)
Существенным моментом в этом сложном преобразо
вании положения в пространстве образующей				является
то, что те компоненты, которые входят в состав				матрицы
(21) в ы р а ж а ю т с я	графически в		виде нормированных		по
Т функций ф ( Г ) , а(Т),		Ь(Т).
Подведем итог	изложенного		выше материала .		Д л я
представления'элемента		поверхности необходимо		описать

форму графического элемента — н а п р а в л я ю щ е й и графи ческого элемента — образующей .


О ба эти	описания			допускают		графическую		форму
представления		информации .
Если о б р а з у ю щ а я				ориентируется более сложным					за
коном ориентации, то				необходимо представить			функции
ф ( Г ) , а(Т)	и	Ь(Т).	Эти		функции	т а к ж е допускают			гра
фическую форму			представления			информации.
Наконец,	о б р а з у ю щ а я				может	изменяться	по	форме,
и это изменение, к а к				было показано в предыдущей					гла

ве, может быть представлено графически. Заметим те перь, что компоненты вектора (15) т а к ж е могут быть представлены графически.

Следовательно, пространственное представление эле мента поверхности может быть разложено на несколько плоских графиков:

1)о т о б р а ж а ю щ и й форму направляющей;

2)о т о б р а ж а ю щ и й форму образующей (или совокуп

ность	графиков д л я	вида (15));
3)	ф(Т), а(Т),	Ь(Т);
4)	К(S)-линейного	(K(S)=S)	и нелинейного вида
(см.	преобразование вида ( 8 ) ) .

Напомним, что д л я н а п р а в л я ю щ е й и образующей мо ж е т иметь место ФОТ, это тоже графики однозначных и

нормированных		по Т	функций.
К а ж д ы й из		этих графиков представляет собой эле
менты,	изменяя	которые		конструктор-оператор получает
возможность		управлять		процессом	конструирования
формы	создаваемого		им	образа конструкции. В этом и
состоит	существенная		особенность		объемно-графическо

го языка. Широкие возможности управления							процессом
конструирования	формы	обеспечивают			то	требование
гибкости языка,	которое	было отмечено			вначале .
2. Параметрическая модель элемента
поверхности
Перечисленные	графики		определяют		основной набор
элементов описания, из		которых		строится		пространст
венная модель элемента		поверхности. Д л я подавляюще
го большинства	элементов		поверхностей			их	описание
сводится к паре	векторов		вида	(2) и	(8),	из	которых,

с к а ж е м , первый представляет форму направляющей, а

второй	(вида	( 8 ) ) — ф о р м у образующей . Теперь	необ
ходимо	более	точно определить связь м е ж д у этой	парой

(а в конечном итоге между полным набором элементов описания Э л П ) и параметрической формой записи эле

мента поверхности. Д л я плоских элементов графическо
го описания	эта связь у ж е	была нами установлена. Так,
д л я плоских	графических	элементов описания были

определены два вида параметрического описания базо

вых элементов		(4), (5).
К а к у ж е	отмечалось,		точку базового элемента с	ко
ординатами	х(Т),	у(Т)	при непрерывном изменении	Т

можно считать движущейся по элементу и, следователь но, Т в ы р а ж а е т как бы временной показатель движения точки.

Так как образующих поверхность линий две, то целе

сообразно параметр Т обозначить по-разному для			к а ж
дой из этих	линий. Пусть д л я	н а п р а в л я ю щ е й T = t,	а для
образующей	Г = т .
Вычислим	для произвольно	выбранного значения	пара
метра т £ [ 0 ,	1] координаты х(т), у(х). Очевидно,		что в

координатной системе Oxyz координаты точки образующей

х(т),

у(х)

можно

вычислить

следующим

образом:

x(t)

X(T)-COST>"—1

х(т)

y(t)

D(t)

(23)

Если

сопоставить

первые

две

вычисленные

компонен

ты

вектора

(23)

в ы р а ж е н и я м и

(4)

(5),

подставив

соответственно

значение

•& д л я

прямой

или

дуги, то

станет ясным,

что

х ( т )

можно рассматривать как при

ращение

функции

F(t).

Используя в ы р а ж е н и я

(6)

(7),

по

аналогии м о ж н о

записать

координаты

точки

элемента

поверхности:

x(t,

т) =

[х0,

L 0

, F(t)

х(х)]\

COS 1|)0

y(t,

т)

[</„,

L 0 ,

F(t)

x(x)]

t sin \|)0

(24)

— COS

•

г(х)

у(х)

или

x(t,

т ) =

[*„•

В',

В'}

cos

(со,/) • COS l|)0

—sin (w0t)

sin я|)0

y(t,

т) =

Іу0,В',

B']

COS ((£>0t) Sill TJ30

(25)

—sin (<o0 0(—cos%)

z(x)=y

(T),

где

B'=R0+F(t)

x(T),

Л'(T),

y(t)

вычисляется

по одной

из

формул

(6)

или

(7)

зависимости

от

вида базового

элемента.

Очевидно и то, что более сложный вариант ориентации

образующей

не влияет на

вид выражений (24),

(25), так

как

* * ( т ) "

*(т)

D*(t)

УМ

x*(t),

у*

(t)

— координаты

точки

образующей

ее

авто

номной координатной

системе, поэтому

их

можно

подста

вить

в формулы (24) или (25) вместо х(т), у (х).

Таким

образом,

одна

и та

ж е

модель работает

как

д л я

плоских

фигур,

так

д л я

пространственного

пред

ставления

элемента

поверхности.

Дерево оценок сложности

представления

элемента

поверхности

Элементы описания, из которых складывается модель представления в машине элемента поверхности, при опре деленной систематизации позволяют оценить некоторые качественные показатели формы Э л П , которые нельзя было выполнить при ручном проектировании.

45.

Элемент поверхности

Hаправ -	прямая
ляющая	дуга
	ФОТ
	формула wtt)
\05разу-	прямая
ющая 1	дуга
	ФОТ
	формула Ш)
Ооразу-	прямая
ющая2	\дуга

хм

Формулами

Ш)

X X X X X X x x X X X X К X X X X X X X X X X X

x x X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X і х . х

хххх

х х х х

хххх

х х х х

хххх

х х х х

хххх ХХХХ х х х х

хххх

х х х х

хххх

х х х х

X X ]

X X ххххі х х х х

х х х х

хххх

XX х х х х

хххх

* х х х

х х х х

ХХХХ

хххх

х х х х

ХХХХ х х х х

х х х х

х х х х х х х х

х х х х

хххх

х х х х

хххх

•хххх

хххх

х х х х

хххх

xxxxJ хххх

XX хххх

хххх

{ХХХХ

ХХХХ

хххх

х х х х

хххх

XXX* Jxx'xx

ХХХХІ

хххх

ХХХХ хххх

хххх

XX хк

х|

хххх

Х> > Х|

хххх

'хххх »xx'xx'

х!

Х>>х|

ххххі

хххх

xx'xx txx'xx

Возрос

:> > x

xxxxl хххх

хххх

ЗлП

хххх

ma HUB

сложности описания

Рис. 1. Д е р е в о оценки сложности описания элемента поверхности

Ч т о бы показать

эту

возможность, введем

некоторый

набор

двоичных

признаков, характеризующих

изменение

формы

образующей:

Р1(0)

— означает,

что

описание

формы

образующей

Рх

задано

видом

(8);

(1) — описание

формы образующей задано

видом (15);

Р2

(0) — означает,

что

разность

(Wh

—1^0 )

[в

формуле

(8)

равна

нулю;

Рй(1)

— напротив,

(Wh

— W0)=£0;^

Р3(0)

— означает,

что

компоненты'вектора

(15) заданы

виде

графиков

на

промежутке

[0,1];

-^зО) — т

ж е

компоненты представлены

аналитической

зависимостью

от

параметра

^ £ [ 0 , 1 ] ;

Р 4

(0) — принимается,

когда

матрица

D*(t)

(см.

(21))

является единичной;

Р 4 ( 1 ) — если

матрица D*(t)

не

является

единичной

Рь(0)

матрицей;

— означает,

что ни на одной из образующих по

верхность

базовых линий

не

з а д а н а

функция

отклонения

точки;

Pß(l)—по

крайней

мере

на

одной

из базовых линий,

образующих поверхность, з а д а н а ФОТ.

Если на основе этих признаков построить канониче

скую

таблицу

(рис.

1) и при этом придерживаться

пра

вила,

что

все

^г(О)

отклоняют

ветвь

влево,

а все

Рі{1)

— в п р а в о ,

то интересно

проследить

на самом

низ

ком уровне, как и в

какой

последовательности

возраста

ет число элементов

описания

Э л П

при

движении

слева

направо и какие показатели оценки Э л П можно было бы вывести на основе такого анализа .

Последний уровень канонической таблицы опреде ляет конкретные формы элементов поверхности (рис. 2,3).

И з анализа канонической таблицы видно, что те мо дификации форм, которые ч а щ е всего встречаются в проектировании, расположены в таблице слева.

Очевидно, что выбранная модель обеспечивает по крытие довольно большой части всего .многообразия форм элементов поверхностей. По крайней мере установ

ленная область выбора форм			поверхностной перекрывает
то множество Э л П ,		которое	постоянно используется в
проектной	деятельности. Это		дает возможность сделать
некоторые	выводы	об универсальности выбранной моде
л и представления		формы Э л П .

t	0.0 '	<!>"	o.o	1 0.0 t
1	1.1		1.1	1.1
P,(0) PgW) Рц(0)Р5(01
^>-<?^
FjlQlPz4)P4(0)PsW)		1.1	1.1-
FjlQlPz4)P4(0)PsW)		1.1
	0.0	См"	0.0	0.0
				0.0
		0.0

Рис. 2. Некоторые представители ЭлП левой части дерева оценок сложности их описания

1.1

Р,(0)РгШ)Р^01Р5(1)

0.0	ъ	0.0	0.0	ь
4	0.0-
			1.1

Р,Ш) РгШ ßffOl Рд(1)
#	^	^	^	^
#	^ ^ ^ *	г	0.0	0.0
	1.0	10
	1.0
Р,(1) Р3(1) РЦШ Р5(0)
ïN- 0.0	^^r\.o

Рис. 3. Некоторые представители ЭлП сложной конфигурации формы и описания

Д е р е в о, изображенное на рис. 1, позволяет ф о р м а л ь но обусловить р я д качественных оценок формы элемента,

поверхности. Так,	число элементов	описания Э л П	п р и
мерно в этой	последовательности	возрастания,	как

приведено на рисунке, может служить первым в ы р а ж е нием критерия сложности формы. Появляется возмож ность сопоставления форм элементов поверхностей не по>


числу точек совпадения,			а на более абстрактном уровне:
по числу	и виду	элементов		описания. Используя для.
сравнения	приведенные		признаки, процесс		сопоставле
ния структур Э л П		сводится		к элементарным	операциям.

Все это может служить предпосылкой к разработке фор

мальных приемов поиска аналогий или подобий		м е ж д у
элементами	поверхностей.
Очевидными являются и недостатки излагаемого ме
тода представления элемента поверхности. Это		в о з р а
стающий с	увеличением показателя сложности	формы

объем информации, который требует довольно большой: памяти машины, а т а к ж е увеличения времени счета при выполнении внутренних преобразований, связанных с построением каркасной модели формы поверхности и мо дели чертежа . Эти два недостатка резко снижают эффек тивность использования данного метода на машинах с производительностью до 100 тысяч операций в секунду и с м а л ы м объемом памяти. Однако это еще не означа

ет, что предлагаемый принцип моделирования	простран
ственных представлений не имеет смысла р а с	с м а т р и в а т ь

дальше . Производительность и объем памяти машин — проблема временная . Кроме того, универсальность мето да и необходимость его широкого использования могут предопределить потребность в создании специальных процессоров проектирования.

4. Некоторые операции над элементами поверхностей

Рассмотрим схемы некоторых процедур, позволяющих воздействовать на параметры Э л П . Начнем с рассечения элемента поверхности плоскостью Q.

С е к у щ а я плоскость в координатной системе Oxyz, в которой р а з м е щ е н элемент поверхности, может быть за дана различными способами. Отметим некоторые из них.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ