Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа

.pdf

Скачиваний:

121

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>


П р е ж д е всего			установим, что справедливы следую
щие два свойства, дополняющие 3) и 4):
30	(kx, y) = k(x, у);
40	(х+.у,	г) =	(х, *) +		{у, г).
Свойство		30	вытекает		из цепочки	равенств
	(kx,	у) = (у,		kx) = k (у, ж) =		/г (ж, у),
в к а ж д о м из которых				использовано одно из свойств ска

лярного произведения. Аналогично доказывается свой ство 40 :

(х + у, г) = (г, ж + у) = (г, ж) + (г, у) = (ж, г) + (у, г).

Комбинируя свойства 3) и 30 , получим 3") (kx, ly) = kl(x, у).

Д а л е е , из 4) и 4') сразу ж е следует, что

(ж, + ж2 +

.. . + жр, у, + у2 +

.. . + Уд) = S (Xi,

yi),

т. е. скалярное умножение

суммы

на сумму

подчиняется

обычному правилу: к а ж д о е

слагаемое

первой

суммы

надо

у м н о ж и т ь на к а ж д о е

слагаемое второй

резуль

таты

сложить. Отсюда, а

т а к ж е

из свойства

3") полу

чается и правило

умножения

одной линейной

комбина

ции

на другую:

(k{xx

+ k2x2 + . . . + kpxp, lxyx - f l2y2

+ . . . + lqyq) =

= 2 ktl,

(ж,-, у/).

(4)

И з этой формулы мы сейчас

получим

выражение

скалярного

произведения

(х, у)

через координаты

век

торов ж и у. Пусть в пространстве А„ выбран

некото

рый

базис

а ь а2, . . . , ап.

(5)

Рассмотрим

два произвольных

вектора

ж и у. Р а з л а г а я '

их по базису (5), получим

ж =

л^а, + ж2 а2 +

• • • + ж„а„,

0 =

#i<*i + у2а2

. . .

4 - у „ е „ .

Теперь	д л я	подсчета	скалярного				произведения	(х, у)
можно	воспользоваться		формулой (4):
		(*> У) =		2			dj).
Величины
		gij		=	{ah	dj)
— это	постоянные числа,			зависящие			только от выбран
ного базиса. Таким образом, если							фиксирован	опреде
ленный базис, то д л я скалярного							произведения	полу
чается	выражение
		(х,	у)	=	2	enXiUf			(6)
					i. I
Это — весьма		полезный		результат;			с его помощью		мы
сейчас д о к а ж е м ряд в а ж н ы х предложений.
6°. Существование			вектора,			ортогонального		к	дан

ным р векторам, р < п. Допустим, что вектор у мы за


фиксировали, а	вектор	х хотим		выбрать	так,	чтобы		он
был ортогонален	у, т.	е. чтобы		было (х,	у) =	0.	Тогда
для определения Х\,х2,		хп — координат неизвестного
вектора х — получается		в силу	(6) уравнение
	2		==0.
Поскольку gij и	yj — заданные		постоянные		числа,		то	ле

вая часть уравнения после приведения подобных членов

принимает вид ахХ\			+	а2х2 +		... + апхп;		следовательно,
полученное уравнение — линейное и							однородное		относи
тельно неизвестных			хи	х2,	...,	хп. .
Если нужно, чтобы вектор х был ортогонален										не
одному вектору у,		а нескольким векторам
			Уь		У2,	Ур,
то д л я определения			его		координат		получается		у ж е	не
одно	уравнение,	а	система из р уравнений. По лемме
§ 11	т а к а я система		заведомо			имеет	ненулевое		решение,

если число уравнений меньше числа неизвестных. От сюда вытекает следующая теорема.

Т е о р е м а . Если в	пространстве А„ даны	векторы
Уи	Уъ •• •> УР,

причем

число

этих

векторов

меньше

п,

то

обязательно

существует

ненулевой

вектор

х,

ортогональный

каждому

из данных

векторов*).

Эта теорема имеет многочисленные следствия. Мы

рассмотрим

здесь

только

одно

из

них;

дальнейшем

оно

сыграет

в а ж н у ю

роль.

С л е д с т в и е .

Если

подпространство

простран

ства

Ап

не

совпадает

со

всем

пространством

А„,

то

су

ществует

ненулевой

вектор

l e A , ,

ортогональный

као/с-

дому

вектору

из

(или,

как мы

скажем

короче,

орто

гональный

всему

подпространству

Р ) .

Доказательство почти очевидно. Выбираем

ба

зис

из

векторов

У\> Уъ

• • •> Ур,

поскольку Р не совпадает с

А,г , то р <

п.

По

доказан

ному,

найдется

вектор

х Ф

О,

ортогональный

к а ж д о м у

из векторов г/ь у2,

. . •,

Ур-

Но тогда

х ортогонален

лю

бой линейной комбинации этих векторов:

(*, k{yx

k2y2

.. . + kPyP)

= &,(*>-yi) + k2{x,

у,)-\-

. . .

-\-kp{x,

yp) = 0.

Следовательно,

ортогонален

любому

вектору

из

Р .

7°. Р а з л о ж е н и е

вектора

на д в а составляющих. Мы

закончим

этот

параграф

одним

утверждением,

кото

рое

в двумерном и

трехмерном случаях

в ы р а ж а е т

гео

метрически очевидный факт; здесь оно

будет доказано для пространства лю

бой размерности

п.

Пусть

i — какой-либо

вектор,

от

личный

• от

нулевого.

Тогда

любой

вектор

можно

разложить

на

два

слагаемых,

из

которых

одно

пропор

ционально

а другое

ортогонально

Рис.

15.

(рис. 15): •

а =

и,

где

X i.

Чтобы доказать это утверждение, необходимо про верить, что существует число k, для которого вектор а—ki ортогонален i; тогда, обозначив этот вектор

*) Слово «ненулевой» в формулировке теоремы существенно, поскольку нулевой вектор ортогонален любому другому вектору у. Это следует из равенств

(О, у) = (0у, У) = 0(у, у) = 0.

через ы, получим требуемое	разложение д л я а. Итак,
необходимо, чтобы	,
(а — ki,	i) = О
или, что то же,

, (a, i) = k (i, i).

Отсюда сразу находим искомое число k:

(i,

(следует

учесть,

что

( М )

так

как

вектор i — нену

левой) .

§ 13. Ортонормированный базис.

Ортогональное

преобразование

1°. Определение'ортонормированного

базиса. Мы уже

знаем, что в пространстве А„

существует бесчисленное

множество

базисов.

Д о

введения

А п

скалярного

произведения

нас

не

было

причин

выделять

какие-

либо из них особо. Однако с того

момента,

как

возникает

скалярное

произведение,

некоторые

базисы

начинают

играть

привилегирован

ную

роль.

Это — так

называемые

ортонормированные

базисы.

Базис

а„

а2

ап

Рис 16.

называется

ортонормированный,

если любые два базис

ных

вектора ортогональны

друг

другу:

(а,,

а,)

(/,

/ = 1

п;

(1)

и длина каждого базисного вектора равна 1:

(ah	а , ) = 1	( / = 1 ,	л).	(2)
В обычном трехмерном пространстве ортонормиро
ванный базис — это л ю б а я тройка			попарно перпендику
лярных единичных векторов (рис. 16).				-
Заметим, что	слово	«ортонормированный»		происхо

дит от соединения слов «ортогональный» и «нормиро

ванный».	Вектор	а называется	нормированным	или
единичным,	если	его длина равна	1.

О р т о н о р м и р о в а н н ый базис замечателен тем, что в нем получается особенно простое выражени е дл я ска

лярного произведения.	Воспользуемся	формулой
(*> у)	= 2 XiHi {ah	at),

доказанной в предыдущем параграфе . Если учесть, что

базис — ортонормированный, т.			е. что	справедливы	ра
венства (1) и (2),	то	получается	сразу
(X, у)	=	Х1у1 +Х2У2+	. . .	-\-Xnlfn,	(3)

таким образом в ортонормированием базисе скалярное

произведение

равно

сумме произведений

одноименных

координат

(первой — н а

первую,

второй — на

вторую

и т. д . ) .

2°. Существование ортонормированных базисов. Хотя

мы

установили

важное

свойство

ортонормированного

базиса,

но

не

знаем

ещё главного: существует

ли

хотя

бы

один ортонормированный базис?

Сейчас м ы

дока -

жем, что такой

базис

существует.

Начнем с такого замечания . Пусть вектор а не яв

ляется

нормированным

(однако а Ф

0).

Тогда

из

него

можно получить нормированный вектор а' по формуле

Действительно,
(«'. а ' ) = т 7 \| г ( а > <*) = !•
Переход от а к а' называют нормированием	вектора а.
Существование ортонормированного	базиса легко

следует из теоремы, доказанной в предыдущем -пара графе. Мы берем любой отличный от нуля вектор fej;


нормируя его, получаем единичный вектор							ах. Д а л е е
берем любой отличный от нуля				вектор		Ь2,	ортогональ
ный а{; нормируя его, получаем				а2. Д а л е е		выбираем		век
тор 63 Ф 0, ортогональный ах			и	а2\ нормируя его, полу
чаем вектор а3	и т. д., пока		не	дойдем		до	вектора	ап,
ортогонального	ранее	построенным,			векторам аи а2,			. . ,
а п _ \| . Полученная		таким	путем		система

будет базисом в силу теоремы 2 § 9. Действительно, число векторов в системе равно п и, кроме того, эта

система линейно независима: в противном случае, если бы один из векторов системы разлагалс я по предшест

вующим,		например,
			а3	=	ая, -\- ра2>
то,	умножив обе		части	равенства		скалярио	на вектор
«з,	мы получили		бы
			(«з.		«з) = О,
что невозможно, ибо (а3,а3)					= I .
	Заметим, что,		доказа в		существование ортонормиро-
ванного		базиса,	мы тем		самым	выполнили	обещание,

данное в предыдущем параграфе : мы показали, что

существует		по крайней	мере один	базис, в	котором	ска
лярное	произведение		выражается	формулой	(3).
3°.	Способ	получения	всех ортонормированных		базисов.	При

изучении ортонормированных базисов возникает ряд интересных

вопросов. Вот один		из	них: как получаются	ортонормироваиныё
базисы	друг из друга? В § 9 мы говорили о том, что любые два
базиса	пространства	А п	получаются одни из	другого цепочкой

элементарных преобразований. Конечно, это предложение спра

ведливо, в частности, и для ортонормированных	базисов, но для
них оно не представляет особенного интереса:	ведь, применив

к ортонормированному базису элементарное преобразование, мы получаем, вообще говоря, уже не ортонормированный базис (хотя после нескольких элементарных преобразований может получиться снова ортонормированный базис). Нам хотелось бы, естественно, связать любые два ортонормированных базиса цепочкой таких пре образований, чтобы после каждого из них получался снова орто нормированный базис. Оказывается, это можно сделать следую щим образом.

Пусть ах, Дг ап —ортонормированный базис. Назовем эле ментарным ортопреобразованием над базисом любое из следующих действий.

1. Умножение любого из базисных векторов на —1. Ясно, что в результате такого преобразования получается снова ортонормиро ванный базис.

2. Замена каких-либо двух векторов a,-, aj (i ф j) данного ба зиса новыми векторами а\, a'j по формулам

ai = cosa 0[ — sma a;-, a'j = sina at + cosa a^,

где a — любое действительное число.

Роль элементарных ортопреобразований вскрывает следующая

теорема, которую мы приводим здесь			без доказательства.
Т е о р е м а . От любого		ортонормированного		базиса	к	любому
другому	ортонормированному	базису	можно	перейти	с	помощью
конечного	числа элементарных	ортопреобразований.

4°. Ортогональные	преобразования .	С понятием пре
образования читатель,	вероятно, у ж е	знаком (некото

рые виды преобразований изучаются, например, в- школьном курсе геометрии). В данном случае речь будет идти о преобразованиях я-мерного векторного про

странства

А„.

преобразование

простран

Мы

говорим,

что

задано

ства

Ап,

если

указано

правило,

по

которому

любому

вектору

й е А „

отвечает

другой

вектор

а ' е А » .

Наличие

такого

правила

можно

отразить

следую

щей

записью:

а'

—

(а),

где символ

F служит

д л я

обозначения

того

способа,

ко

торым а' получается из о.

Преобразование

называется

линейным,

если

оно

удовлетворяет

следующим

двум

условиям:

F(x

F(x)

F(y);

F{kx)

kF(x),

где х

и у — любые два

вектора,

а /г — любое

число. Обо

значив

векторы F(x)

F(y)

через

х'

и у',

можно

пере

фразировать эти

условия

так:

тройку

векторов

х,

у,

х-\-у

преобразование

переводит в

х',

у',

х'-\-у',

пару

х,

— в

пару

х',

kx'.

Иначе

говоря,

преобразова

ние линейно, если оно «не разрушает» ни суммы векто ров; ни произведения вектора на число.- Разумеется, от

сюда	следует,	что	линейное преобразование не разру
шает	и линейных		комбинаций:
^ ( & l * l	+ &2*2 +	• • •	+ kpxp)	=
			= klF(xl)	+ k2F(xa) + . . .	+kpF(xp)-

Допустим, что в пространстве А„ введено скалярное произведение. Тогда среди всех линейных преобразова ний особый интерес приобретают такие, которые «со храняют» это скалярное произведение, т. е. обладают свойством

	(F	(ж), F (у))		= (ж, у)		д л я любых ж, у			€= А„.
Такие	преобразования				называются			ортогональными.
Ясно,		что	ортогональное				преобразование		сохраняет
и длину		любого		вектора	ж,	т.	е.
				\Р(х)\		=	)х\.
Это	следует		из	того,	что		длина	в ы р а ж а е т с я через
86				'

с к а л я р н ое произведение:

Сохранение длины любого вектора можно принять за

определение ортогонального преобразования . Это

вид

но из того, что скалярное произведение,

свою

оче

редь,

в ы р а ж а е т с я

через

длины.

самом

деле,

из

оче

видного

равенства

(х

+ у, х + у)

(х,

х)

+ (у,

у)

(ж, у)

{у,

х)

вытекает

2 (х,

у)

(х + у, х +

у) — (ж, х) — (у,

у)

= \х +

у ? - \ х ? - \ у ?

Ортогональные

преобразования

обладают

рядом'

в а ж н ы х свойств. Укажем одно из них.

Пусть

flj,

а2 ,

ап

— ортонормированный

базис.

Тогда

векторы

= F{a{),

a'2 =

F(a2),

a'n

F{an)

т а к ж е образуют ортонормированный базис.

Иначе

говоря,

ортогональное

преобразование

пере

водит

любой

ортонормированный

базис

снова

орто

нормированный

базис.

В самом деле, поскольку преобразование F ортого

нально,

то

(ар

а^

— (аг.,

a'D

(i,

—

любые' номера

от

1 до

п),

следовательно,

векторы

а',

а£,

а'п,

подобно

а{, 1

0 2 ,

0 « , удовлетворяют

соотношениям

« ,

< ) = 1 ,

(а'.,

а',) =

(при i

/);

отсюда

вытекает, что они

образуют

ортонормированный

б а з и с -

( с м . рассуждение

конце

2 ° ) ;

5°.

Преобразование,

обратное

ортогональному.

П р е ж д е

всего установим

такой

факт.

Д л я

ортогонального

преобразования

уравнение,

F(x)

(4)

при

любом

б е

А„

имеет

единственное

решение.

Это

можно

доказать

следующим

образом.

Пусть

аи

а2,

ап

— ортонормированный

базис.

Тогда,

как

мы

знаем,

в е к т о р ы a \ = F(a^,

ar0

F[a^,

0 „ =

- F (0„)

тоже образуют ортонормированный

базис.. Р а з л о ж и м по

нему вектор Ь:

b = k1a'l

+ k2a'2-{-

. . .

+ - * Х

и покажем,

что

вектор

а = kxax

+ k2a2 + . . . + knan

удовлетворяет

уравнению

(4). В самом

деле,

из

линей

ности

преобразования F следует, что

F(a)

kla'l + k2a'2+

. . . +kna'n

Этим

доказана

разрешимость

уравнения

(4). То,

что

решение

единственно,

доказывается совсем просто: если

F{x])

F{x2) = b,

то

F(x\)

F(x2),

значит,

F{x\

—

х2)

Н о

тогда

— х2\ = 0, т. е. xi = х2.

Если

к а ж д о м у вектору

б е

А„

поставить

в соответ

ствие

вектор

х,

являющийся

решением

уравнения

(4),

то

получим

новое

преобразование,

которое называется

обратным

преобразованием

F и

обозначается

F~K

Доказанное . в ы ш е

предложение

может

быть

теперь

сформулировано

по-другому:

для

ортогонального

пре

образования

всегда

существует

обратное.

Естественно

возникает

вопрос:

будет

ли

обратное

преобразование

снова

ортогональным?

Д о к а ж е м ,

что

это так.

Линейность F~l- очевидным образом следует из ли

нейности F: если F переводит

тройку

векторов

х,

у,

х-\-у

в тройку х , у

, х

+ у , то, обратно,

переводит

х ,

у ,

Ату

х,

у,

х + у;

если F переводит

п а р у

х,

в п а р у

х',

, то F'1

переводит х , kx

в ж, kx.

Д а л е е , из

равенства

следует

(ж,

у)

{х',у')

(F-l(x),F-\y'))

(х',у').

Таким

образом,

преобразование

F - 1

линейно

со

храняет скалярное произведение. Следовательно, оно

ортогональное.
Итак, преобразование,		обратное к	ортогональному,
снова является	ортогональным.

6°. «Сколько» существует различных ортогональных преобразо ваний? Возникают естественные вопросы: существуют ли вообще ортогональные преобразования н насколько велико их число? Отве тить на них нам поможет следующее предложение.

Пусть даны два ортонормированных						базиса
	д \| . Ч		ап 1 1		а 1> а 2	а'п-
Тогда	существует,	и притом единственное,				ортогональное преобразо
вание,	переводящее	первый базис во второй.
Искомое преобразование F определяется следующим образом:
каждому вектору
		а — /?] а \| +		й2 а2	+ • • •	+ knan
сопоставляется вектор
	F	(а) =	kxa\ +	k2a2	+ ...	+kna'n.

Покажем, что это преобразование — ортогональное.

Линейность преобразования F очевидна. Остается только прове

рить, что F сохраняет скалярное произведение.

Пусть

х =

ххах +

...

+ хпап

у =

ухах-\-

...

+ yrlan

(5)

— два произвольных вектора из А п . Имеем

F(x) = xla\ +

. . . + хпап,

F(y)

= yla'1+

... +упап.

(6)

Поскольку

базис а ь . . . , ап

— ортонормированный,

то

из

(5)

сле

дует

(х,

у) = ххуЛ

х2у2

... + ХпУп-

Но и базис

а\

а'п — Ортонормированный,

поэтому

из

(6)

сле

дует

(F (х), F {у)) =

*,//, +

х2у2

+ ...

+ хпуп.

Отсюда

(*, s)=(F(x),

Fly)),

т. е. преобразование

F—ортогональное.

То, что не может

быть другого

ортогонального

преобразования,

переводящего первый базис во второй, легко следует из линейности ортогонального преоОразования. Действительно, ввиду линейности искомое преобразование обязано быть таким, как мы его определили.

Йз доказанного нами предложения можно вывести такое заклю чение: между множеством всех ортонормированных базисов и мно жеством всех ортогональных преобразований можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого следует один из орто нормированных базисов — обозначим его 5о — зафиксировать, а лю бому другому ортонормированному базису Б поставить в соответ

ствие то самое ортогональное преобразование, которое переводит £о в Б. Таким образом, ортогональных преобразований «столько же»!

сколько существует различных ортонормированных базисов.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 159 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ