книги из ГПНТБ / Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа

klel

+ k2e2

+

. . . + knen = 0,

что

противоречит

линейной

независимости

векторов

е2,

еп.

Таким

образом,

векторы

(7)

образуют

базис.

Р а з ­

л а г а я

по

ним

вектор

Ь,

можем .записать

или

Ъ = sxae{

+ s2ae2

+ . . . - } - snaen

b =

a (s,e,

+ s2e2

+

. . . '

- f

s„e„).

Отсюда

видно, что элемент

х =

S]e,

+

s2e2

+ . . .

+ s„e„

является решением уравнения (6).

Это

решение

един­

ственно:

если

х'

— другое

решение,

то

вычитая

из

ра­

венства

ах =

Ь равенство ах'

—

Ъ, получим

а [х-

х') =

0,

откуда

следует х — х'

=

0, т. е. х —

х'.

Аналогично доказывается существование и единст­

венность

решения

уравнения

ха

=

Ъ.

6°. Координаты вектора в данном базисе. Последний

вопрос,

которого

мы

хотим

коснуться

в

этом

парагра ­

ф е , — это

вопрос

о

координатах

вектора

в

данном

ба­

зисе

пространства

А„.

Пусть

a i> о2,

. . . ,

ап

•—какой-нибудь

базис пространства

А„

и

p — kial

+ k2a2

+ , . . + / г „ о „

— разложение

произвольного

вектора

р е А п

по

этому

базису. Тогда

числа

klt

k2,

кп

называются

коорди­

натами

вектора

р

в

данном

базисе.

Р аве н с т во

( М , + ••• +

knan) + (/,а, + . . . + / „ о „ ) =

=

(/г,+

. . . +

(А„ + /„)а„,

вытекающее

из свойств

сложения

векторов

и умноже ­

векторов складываются их соответствующие

координаты

(первая — с первой,

вторая — со

второй

и

т. д . ) . Ана­

логично,' равенство

k (&,а, -{- &2а2 + . . . +

knan) = kkxax

+ kk2a2

+

• • •

+ kkna

показывает, что при

умножении

вектора

р

на

число k

образом,

в произвольном

базисе

alt а2, . . . , а п

правила

слооюения

векторов

и

умножения

вектора на

число

остаются

теми же,

что и в первоначальном

базисе

*ь

*2>

• • •. 'п-

§

10.

Подпространства

Остановимся коротко

на вопросе

о

подпространствах

пространства

А„. Так называются множества

векторов,

обладающие

некоторыми

специфическими

свойствами;

благодаря этим свойствам к а ж д о е

из

таких

множеств

можно рассматривать как самостоятельное

пространство

А р , где р < п.

1°.

Определение подпространства.

Пусть

Р — некото­

множество подпространством

пространства

А„, если оно

обладает

следующими

свойствами:

1)

из

а е Р

и

J e P

следует а + Ь е Р;

2)

из

Й Ё

Р следует

й о . е Р , где k — любое

действие

тельное число.

Иначе

говоря,

подпространство — это

такое

множе­

рами а,

Ь,

с, ...

содержит и все их линейные

комбинации

ka

+ lb

+

sc + ...

Тривиальным

примером

подпространства

является

множество, состоящее из одного лишь нулевого

вектора.

Это — так

называемое нулевое

подпространство.

Другой

тривиальный пример — все пространство

А п .

Однако,

кроме

этих двух крайних случаев,

могут

быть

и

другие

подпространства.

В следующем

пункте

мы

у к а ж е м , как устроено любое подпространство

простран­

ства

А„.

2°.

Подпространство

как

самостоятельное

векторное

пространство. Предположим, что подпространство

Р —

ненулевое. П о к а ж е м , что тогда

в

Р

можно

выбрать

си­

стему векторов, аналогичную базису. '

Возьмем какой-нибудь вектор

щ <= Р,

отличный

от

нуля. Если все векторы из Р разлагаются

no

fl|, то

на

этом

остановимся.

Если

ж е

в

Р

имеются

векторы,

не

разлагающиеся по

alt

то

выберем

один

из них

я 2 и

при­

соединим

его к ах.

Если

все

векторы

из Р

разлагаются

по я ь

я2 ,

то на этом остановимся. Если

ж е

в Р

имеются

векторы,

не разложимые

по

аи

я2 , то

выберем

один

из

них а 3 и

присоединим

его к

я ь

а2

и

т. д.

П р о д о л ж а я

я,,

я 2 ,

. . . , я р

( р < г е ) ,

(1)

принадлежащих

подпространству

Р

и

таких,

что:

1) любой вектор из Р

допускает

разложение по

ним;

2)

это

разложение

единственно: В самом деле,

если

бы существовали два различных разложения для

век­

тора я, то, вычитая их друг из

друга,

мы

получили бы,

что некоторая

линейная

комбинация

Sjfl] +

s2a2

+ . . .

. . . - j ^ Spflp

равна

нулю,

причем хотя бы один из

коэф­

фициентов

S\,

s 2 ,

s p

отличен от нуля; это означало

бы линейную

зависимость

системы

(1).

Итак, рассматриваемое нами подпространство Р со­

стоит

из всевозможных векторов

вида

'

k\ay

+

^2а2

+ . . .

+

йрЯр,

причем представление

любого

вектора

о

ё Р

в

таком

виде

единственно.

Это

позволяет

нам

рассматривать

Число

р

называют размерностью

подпространства

Р .

Оно, как мы видели, не превосходит п; в случае,

когда

оно равняется

п, система

(1) будет

базисом всего

про»

странства

А п

(см. снова

теорему 2

предыдущего

пара ­

графа.)

и, следовательно,

Р совпадает с А„.

Рис.

11.

Рис.

12.

Из сказанного выше вытекает одно очевидное след*

ствие,

которое

мы хотим

подчеркнуть

особо: любое под'

пространство

Р

совпадает

с

множеством

всех

линейных

комбинаций

некоторых

р

век­

торов

аи а2,

...,

ар.

3° . Примеры. Проиллюстри­

руем

понятие

подпространства

в случае трехмерного вектор­

ного

пространства Аз.

Пусть Р — ненулевое

под­

пространство в A3. Базис Р со­

стоит не более чем из трех

векторов, т. е. имеет один из

видов:

а,;

я,,

а2;

а,,

а2,

а3 .

Рис. !3.

В

первом случае

Р

состоит

из всех

векторов вида kait

т. е. из всех

векторов,

пропор­

ство

всех

векторов вида

+ k2a2,

следовательно, Р.

состоит из

всех векторов,

л е ж а щ и х в той ж е

плоскости,

что и яг, а2

(рис. 12). В третьем случае Р есть

множество

всех

векторов вида k\a{ +

k2a2 -f- к\а$,

т. е. всех вообще

векторов пространства А 3

(рис. 13),

§ 1 1 . Л е м м а

об однородной системе уравнений

Цель этого п а р а г р а ф а чисто вспомогательная. Мы

отвлечемся на

короткое время от векторов и обратимся

отношения:

к системам линейных

уравнений.

Собственно

речь будет

идти

только

об

однородных

уравнениях,

а еще точнее — об

одной

лемме, относящейся к систе­

лемму поможет нам

установить

в а ж н ы е

предложения .

К а к

известно, линейное уравнение называется одно­

родным,

если его свободный член

равен нулю. Несколько

отступая

от способа

записи, принятого

в элементар­

a!A", -f- а2х2

+

• • • +

— 0

— Ь е

уравнение

\

/;,А', + & 2 * 2 +

• • • +

Ьпхп = 0

— 2-е уравнение

I / i \

dlxi - f d2x2

+

• • • +

dn.xn — 0 — m-e

уравнение

J

П о л а г а я

Xj — О,

X2 — 0, • * •) xn

—— Of

\

стемы.

Это

решение

называется

нулевым.

Во

многих

случаях

бывает

в а ж н о

знать, имеет ли д а н н а я

однород­

ная система

еще и ненулевое решение. Частичный

ответ

на этот вопрос дает следующая

лемма .

Л е м м а .

Однородная

система,

в которой

число

урав­

нений

меньше

числа

неизвестных,

всегда

имеет

нену­

левое

решение.'

m —

Доказательство

будем вести

индукцией

по

числу, уравнений в системе (1).

Если

in =

1,. то

нам

дано

только

одно

уравнение,

в то

время

как число

неизвестных

больше

единицы.

х2 =

сс2,

#з =

(Х3,

. . . ,

хп

— а„.

Д о б а в л я я

к

нему

значение

Х\,

определяемое

из первого

уравнения'системы

( Г ) :

.

х1 = — -^-{а2а2

+ . . . +

апап),

получим ненулевое решение всей системы

(1'),

а зна­

чит, и

исходной

системы

(1). Л е м м а

доказана .

§

12.

Скалярное

произведение

•

В

основе

всех

понятий,

изучавшихся

в

этой

главе

до

сих пор,

л е ж а т

две операции

над

векторами:

сложе­

ние векторов и умножение вектора

на число. М е ж д у тем,

если иметь в виду обычные

геометрические

в е к т о р ы * ) ,

то

круг

понятий,

связанных

с

ними,

значительно

шире:

например,

к а ж д ы й

вектор

имеет

длину,

суще­

ственно

попытаться

нацти

д л я /г-мерного

случая

разум ­

ный способ

введения таких

понятий, как

длина, перпен­

дикулярность и т. п. Это и будет

сделано ниже.

1°.

Скалярное

произведение

обычных

геометрических

векторов.

*

Пусть

на

плоскости даны

два

векто­

ра х и у, выходящие из

начала

О

прямоугольной

системы

координат.

Координаты

первого

вектора

пусть

будут

а:ь

х2,

второго

уи

у2. Итак,

Рис.

14.

У =

У i*i +

У2к>

где i u

i2

— векторы

длины

1, имеющие направления

ко­

ординатных осей (рис. 14).

Обозначим концы данных векторов соответственно

через

X

и

Y. Точка

X имеет

координаты хи

х2,

точка

Y — координаты уи

у2.

Из

формулы

для

расстояния

между

двумя

точками

имеем

,

XY2 = (yi-xl)2

+

(y2-x2)2,

•OX2 =

x\ +

xl

OY2.=

y\

+

y\,

' откуда

следует

ОХ2 + OY2 — XY2 =

2 (.ад! - f х2у2).

(1) .

Из этого равенства легко

увидеть

(если

учесть

теорему

П и ф а г о р а ) ,

что

необходимым

и достаточным

условием

перпендикулярности

х

и у

является

Х1У1 +

х2у2 =

0.

Заметим,

что

если

это ж е

рассуждение

применить

к векторам

не на, плоскости,

а в

пространстве,

то по­

лучим

условие

перпендикулярности

в

аналогичной

форме:

XiUi

+ х2у2

+ х3у3

= 0.

ч

Формула (1) наводит на мысль связать с каждой

парой

векторов х и у

на плоскости

число

ххУ1

+ х2у2,

(2).

а в пространстве — число

Х1У1 +

х2у2

+ х3у3.

(2')

Это число в геометрии называют

скалярным

произведе­

нием векторов х

и р

обозначают

(х,

у)..

х

Заметим,

что длина

произвольного

вектора

выра­

ж а е т с я через

скалярное

произведение. А именно-, в

случае

плоскости

а в случае

пространства

\х\=У**

+ 4

+

х*,

т а к что в

обоих

случаях справедлива

формула

\x\=VWxJ.

2°.

Общее

определение

скалярного

произведения.

Рассмотренное

выше

скалярное

произведение

векторов

на плоскости и в пространстве обладает

рядом

простых

свойств. Вот некоторые из них:

1)

(х,

х)^0,

причем

(Л:, JC) =

0 только

при

ж = 0;

2)

(ж,

у)

= (у, ж);

3)

(х,

ky)

=

k(x,

у),

где

/г — л ю б о е

действительное

число;

4) (х, у + г)

= {х, у).+

{х,

г).

Первые

три

свойства

непосредственно вытекают из

сложнее.

Приведем

его

д л я

случая

пространства:

(х,

у +

г)

= Х[ (у{

+

2 , )

+

х2 (г/2

- f z2) +

х3 {у3

+

z3 )

==

=

(Х1У1 +

Х2У2 +

ХзУ3)

+

( X , Z , +

X2Z2 +

А ' 3 2 3 )

=

(X,

у) +

{х, «)•

Мы

подходим

теперь

к центральному

месту

в

этом

свойства

1)—4)

сохранили

силу.

Ввиду

этого

примем

следующее

определение.

говорить, что в л-мерном

О п р е д е л е н и е .

Будем

векторном

пространстве

А п

задано

скалярное

произве­

дение,

если

к а ж д ы м

двум векторам х и у

сопоставлено

некоторое действительное

число — обозначим его

(х, у) —

так, что выполнены

свойства

1), 2), 3), 4).

Число

(х, у)

будем называть скалярным

произведе­

нием

вектора

х

на вектор

у.

3°.

Один

способ

введения

скалярного

произведения.

можно ли хотя бы одним способом ввести в

простран­

стве

А п

скалярное

произведение?

Ответ

на

него

подсказывают

выражения (2) и

(2'). А

именно,

выберем

в пространстве

А п какой-нибудь

базис

<Zi,

а2,

. . . ,

ап

и сопоставим

к а ж д ы м

двум

векторам

х

и у

число

(х,

у) = ххуу

+ х2у2+

• • • +

ХпУп\

(3)

здесь

хи

х2,

хп

— это

координаты

вектора

х,

а

У и У%

Уп — координаты

вектора у

в

выбранном

ба­

зисе,' т.

е.

х = хха{

+ х2а2

+ . . . +

хпаП1

У = У\а.\Л- УФг+

•••

Тогда, как нетрудно

показать, все свойства

1)—4) бу­

дут выполнены,

и следовательно,

(л:, у) будет

скалярным

произведением.

Если

выбрать

другой

базис

и сопоставить

векторам х и у число

(*,

»

г

=

^ ;

+ ^ +

. . .

+ л - х

(где

4. •••>

хп

и

#2- •••>

#п

С У Т Ь

координаты

лярных

произведений.

В

дальнейшем будет показано, что указанный

выше

способ

введения

скалярного

произведения

является

об­

щим:

именно,

как

бы ни

выбиралось

в

пространстве

Ап

скалярное

произведение,

обязательно

найдется такой

ба­

зис (и

даже

не

один),

в

котором

имеет

место

фор­

мула

(3).

4°.

Длина

вектора,

ортогональные

векторы. После

того,

как дано

определение

скалярного

произведения,

трехмерным случаями.

А

именно,

длину,

или

норму,

«-мерного

вектора

х мы

определяем

формулой

\x\=V&~xj

(число,

стоящее

под знаком корня, неотрицательно в

силу свойства

1)

скалярного произведения);

перпенди­

кулярными,

или

ортогональными,

называем векторы х

и у,

скалярное

произведение

которых

равно

нулю..

В этом

случае

мы

пишем

Итак,

х±у.

х ± у

означает,

что

(х,

у) =

0.