книги из ГПНТБ / Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа

О п р е д е л е н и е

3.

Сложение

n-мерных

векторов

производится

по правилу

(а& +•

. . .

+ aaln) + (ft,*,

+

. . . + bnin)

=

=

(a, + 6 , ) ' i +

••• +

k

+

U v

а умножение n-мерного вектора на действительное

чис­

ло — по правилу

k ( a , * , +

a 2

i 2 +

• • • +

aJn)

= ? / г а 1* 1 +

б & г ' з +

• • •

+

И это

определение,

разумеется,

навеяно

аналогией

с геометрическими векторами.

Д л я

сокращенного

обозначения

n-мерных

векторов

вами:

а, Ь, с и т. д. Равенство

векторов

а

и Ь

записы­

вается

обычным

образом:

а =

6.

Легко видеть, что определенное выше сложение

век­

торов

обладает

свойствами

а + Ь — Ь +

с

(коммутативность),

(а +

6) + с =

а +

(Ь +

с)

(ассоциативность),

а для

умножения

вектора

на

число справедливы

сле­

дующие соотношения:

k(la)

=

{kt)a,

(k

I) a =

ka + /a.

Совокупность всех n-мерных векторов будем

назы­

вать

n-мерным

векторным

пространством

и

обозна­

чать А„.

Вектор

вида

0/, +

0i2 +

. . .

+0in

называется нулевым

вектором

и обозначается

0.

Оче­

видно,

а + 0 =

а

и

0а = 0

.для любого вектора а. В дальнейшем

нулевой

вектор

мы будем называть просто нулем.

2°. Понятие линейной зависимости. Обычно при изу­

чении

какого-либо

вопроса

приходится

иметь

дело не

С] = — j + 3 i 2 + 5 i 3 -f- Зг4>

a2

= —

*i + i2 + 4 t 3

+ 3 i 4 ,

(3)

a3

=

ij + 0<2 + 3 t 3

— 2*4

A,,

k2,

. . •,

km

и

составим вектор

a =

klal

+

^ 2

« 2 +

• • •

+

k^a-m-

Любой вектор а такого вида называется, линейной

ком­

бинацией

данных

векторов

аи

а2,

ат, а

числа

ku

k2,

km

— коэффициентами

этой

линейной комби­

нации.

П р и м е р .

Найти линейную

комбинацию

с, — З а 2 +

2 а 3

векторов

аи

а2,

аъ

из

приведенной

выше

системы

(3).

Складывая векторы

Щ = — 5*i

+

Зг2 +

&»з +

Зг4 ,

— З а 2 =

3ij—3i2—12г3

— 9i 4 ,

2 а 3 =

2i, +

0i2 +

6 i 3

— 4£4 )

получаем

,

a, — 3a2 +

2a3

=

0^

- f 0l2

— h"3

—

10i4 ,

Если

вектор

а я в л я е т с я

линейной

комбинацией

век­

торов аи

а2, . . . ,

От, то

говорят,

что

ш

линейно

выраэшется^через

а ь

а2,

ат»,

«в

разлагается

по

а1г

а2,

ат».

•

Введем еще одно важное определение.

О п р е д е л е н и е

4.

Система

векторов

аи

а2,

ар

(4)

называется линейно

зависимой,

если некоторая

линей­

Si^i + s 2 a 2 +

. . . - f s p a p = 0,

(5)

причем хотя бы один из

коэффициентов slt. s2,

sp

ществует

линейной

комбинации

такого

рода)

система

(4)

называется

линейно

независимой.

Из определения непосредственно вытекает, что си­

стема, состоящая из одного вектора, линейно

зависима

только в том случае, когда этот

вектор — нулевой

(дей­

ствительно,

из

s ^ i

=

0

и

S\

0

следует

а\

=

0 ) .

В случае системы из двух векторов линейная

зави­

симость

означает,

что

найдутся

числа

sx

и

s2, из кото­

рых

хотя

бы

одно

отлично от нуля,

такие,

что

Sja,

+ s2a2 = 0.

Пусть,

например,

S\ ф 0.

Тогда

из

написанного

равен­

ства

следует

=

ka2

где

k =

— — ) .

Д в а

вектора,

связанные такой зави-

симостью, называются

пропорциональными.

Пусть

теперь

дана

линейно

зависимая

система из

любого числа р векторов. Предположим, д л я

определен­

ности,

что

в

равенстве

(5) отличен от нуля коэффи­

циент

Si. Тогда

из этого

равенства

следует

с, =

k2a2 +

k3a3

+ . . .

+

kp(ip,

'т. е. вектор ах

линейно

в ы р а ж а е т с я

через

остальные

векторы

системы.

Это рассуждение показывает, что линейно

зависимая

система

либо

состоит

из

одного

вектора

{и~ тогда

это 0 ) ,

либо

один

из

векторов

системы

линейно

выражается,

через

остальные

векторы.

3°.

Другое

определение линейной зависимости. В д а л ь ­

лировкой

понятия

линейной зависимости:

система (4)

линейно

зависима,

если какой-либо

из

ее

векторов

можно

выразить

линейно через

предшествующие

ему

векторы

системы

или же если

ах

=

0.

П о к а ж е м , что эта формулировка эквивалентна ис­

ходной.

В самом деле, если at = 0, то система линейно за­

висима,

ибо

в

этом

случае

линейная

комбинация

1 ах +

0а2 +

• • • + 0 я р

равна

нулю,

причем

первый

ко­

стемы

линейно в ы р а ж а е т с я через

предшествующие,

al = klal+

. . . + Аг-.й;-!,

то в этом случае система

т а к ж е линейно

зависима:

ли­

нейная

КОМбИНаЦИЯ

^ 1 ^ 1 + . . . +

^ i - l O j - l

— l«i +

+ 0 a , + i +

. . .

+ 0 а р

равна

нулю,

причем

коэффициент

при йг отличен от нуля.

Обратно,

пусть система

линейно

зависима, т. е. имеет

место

(5),

причем

хотя

бы

один

из

коэффициентов

s b

S2,

. . : ,

sp

не равен

нулю.

Рассмотрим

последний

из

отличных

от • нуля

коэффициентов.

Если это

Si,

то

Sja,

=

0, следовательно,

=

0. Если

ж е

указанный

ко­

эффициент

есть su

i >

1, то,

прибавляя к обеим

частям

равенства вектор —SjOj и

у м н о ж а я

обе

части на ——,

получим равенство

вида

4°. Первоначальный

базис. Вектор

H | + 0 i 2 + . . .

+ 0 i „

естественно

обозначать

коротко • через i\. Таким

обра­

зом, символ

i\, которому ранее

не придавалось

ника­

Of, +

l i 2 +

. . .

+ ( М „

отождествляем с i 2 и т. д., наконец,

вектор

<М, +

(М2 +

. . .

+

Un

+ а2и + . . . + anin.

(6)

0^1 + 02*2+ . . . + - a, l t„ = a , ( U I + 0*2+

+

0 i „ ) +

+ a 2 ( 0 i , + "2 +

••• + 0 i „ ) +

. . . + a „ ( 0 i 1 +

0 i 2 + . . . + li„).

откуда видно,

что вектор а

есть линейная

комбинация

векторов i\, i2,

i n с коэффициентами

aj,

a2 , • •> «п.

вперед,

заметим,

что базисов

существует

бесконечное

множество,

и среди

них базис

ii}

i2,

...,

i n

ничем

осо­

бенным

не выделяется,

§ 9. Базис пространства А„

1* Определение базиса. Базис

пространства А л

— это

система

из конечного

числа

векторов

с,, а2,

. . . ,

ар,

(1)

о б л а д а ю щ а я

двумя свойствами:

1)

любой

вектор

a ' E A „ допускает

разложение по

ним:

а =

£ , я, + k2a2

+ . . .

+kpap;

(2)

2) это разложение единственно; иначе говоря, если

наряду

с (2)

имеет

место

еще

одно

разложение

век­

тора

а:

то

a =

+ 12а2+ . . .

+1рар,

k\=li,

ko =

l2,

kp =

lp.

Д о к а ж е м

одно

свойство

базиса: векторы,

составляю­

щие базис,

линейно

независимы.

s,a,

+

s2a2

+

. . .

+ spap

= 0,

(3)

причем среди чисел

su

s2,

...,

sp

хотя

бы

одно

отлично

от нуля.

С к л а д ы в а я

равенства

(2)

и

(3),

получим

а =

(£,

+ s^di

+

ikz-i-

s2)a2-)r

. . .

+ {kp

+

sp)ap,

т. е. другое

разложение

а

по

векторам

(1). Но

это про­

тиворечит определению

базиса.

2°. Способ получения других базисов. Примером ба->

зиса может

служить

система

i\,

i2,

...,

in,

условия 1) и

2)

д л я нее, очевидно,

выполняются.

Н о

это — отнюдь

не

единственный базис

пространства

Ап-

личное от

нуля.

Так,

у м н о ж а я

первый

из векторов

(1) на

произволь­

ное число k фО,

получим

новую систему

kau

а2,

ар,

( Г )

которая,

очевидно, тоже

является

базисом.

2. Прибавление к одному из базисных векторов дру­

гого базисного вектора.

Например, если к ах

прибавить а2,

то получим

новую

систему

01 + 0 2 .

« 2 ,

« р .

( ! " ) -

которая

т о ж е является

базисом.

Действительно,

пусть

с — произвольный

вектор. Тогда

имеет место

равенство

(2), из Которого следует, что

a==kl(al

+ a2)

+ (k2 — kl)a2-{-k3a3

+ . . . +

крар,

т. е. что

вектор а

разлагается,по

векторам (1")-

Д а л е е ,

текает

единственность р а з л о ж е н и я по (1")- Значит,

(1")

есть тоже

базис пространства А„."

3 И.

Л.

Кантор, А. С. Солодовников

65

виде

процедуры,

позволяющей из какого-либо одного базиса

полу­

чать все остальные. В определенном

смысле

такой

ответ

содер­

жится

в

следующем

предложении,

в

котором

под «элементар­

ными

преобразованиями»

понимаются

определенные

выше дей­

ствия 1 и 2.

От

любого

базиса

к любому

другому

можно

перейти

с по­

мощью

конечного

числа элементарных

преобразований.

В частности, если за исходный базис принять базис, составлен­

ный

из первоначальных

базисных

векторов i\,

и

..

,

in,

и подвер­

гать

его всевозможным

элементарным

преобразованиям

(в

любом

количестве), то

получим

все без

исключения

базисы

простран­

ства А„.

Доказательство сформулированного

выше

предложения

мы не

приводим

(хотя

оно и несложно).

Впрочем, для нас представляет

интерес

не столько само это предложение,

сколько

одно

следствие

из него, а именно:

Любой

базис

пространства An состоит из п

векторов.

Действительно, в первоначальном

базисе

h,

h

in

число

векторов равно п; но тогда из сказанного

выше

следует, что н в

любом другом базисе число векторов также равно п.

Ниже будет дано независимое доказательство этого предло­

жения.

3°. Число

базисных

векторов.

Нашей

ближайшей

целью

является доказательство

следующей

теоремы.

Т е о р е м а

1. Любой

базис

пространства

А„

состоит

из п

векторов.

Поскольку

первоначальный

базис

i\,

i2,

i n

со­

казать,

что любые

два базиса

состоят из одного и

того

же числа

векторов.

Доказательству этого факта предпошлем одно заме ­

чание.

3 а м е ч а н и е. Пусть

система

векторов

а и

а2,

• •.,

ар

такова,

что любой

вектор

а

разлагается

по ней, — усло­

вимся

называть

такую систему

полной.

Присоединив к

полной

системе

в

качестве

первого

вектора

какой-либо

вектор

Ь Ф О, получим новую

систему

Ь, а и

а2, . . . , ар,

которая

будет линейно зависимой

(так

как в

силу

пол­

ноты

имеет

место

равенство

вида

Ъ — / г ^ — k2a2

—...

. . . — kpup — Q).

Согласно

3°

§

8

в

этой системе

най­

которая должна быть

полной.

Н о это

невозможно, так

как, например, вектор

b p + i по

этой системе не

разла ­

гается.

Итак, предположив, что q > р, мы пришли к проти­

воречию. Теорема доказана .

4°. Число векторов,

составляющих

линейно

незави­

В

качестве тривиального следствия

отсюда

получаем,

что

в пространстве А„ существуют

линейно

независи­

ственно поставить вопрос: можно ли

в

пространстве А п

построить линейно

независимую

систему

из

большего,

чем

п, числа векторов?

П о к а ж е м ,

что

этого

сделать

нельзя.

2. Пусть

в пространстве

дана

линейно

Т е о р е м а

А„

независимая

система векторов

й\,

й2,

. . . ]

йр .

Тогда

р ^.п.

Если

р =

п,

то данная

система есть базис

пространства

Ап.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

д л я

краткости

странства А п ,

присоединяя

к системе

5

векторы

из

ка -

кого-либо~базиса

е, е2,

. . . ,

еп.

Рассмотрим вектор et . Если он разлагается по си­

стеме S, то оставим его беа внимания;

если

ж е

не

раз ­

лагается, то добавим его к системе S

(в

качестве

по­

следнего вектора) . В обоих случаях

полученную

си­

стему обозначим 5' (она либо совпадает с S,

либо

получается добавлением к ней вектора

е ^ .

Затем

переходим

к

вектору

е2.

Если

он

разлагается

по системе

S',

то

оставляем

его

без

внимания;

если

не

разлагается,

то добавляем

его

к

S'.

В

обоих

случаях

полученную

систему

обозначаем

5 "

(она

либо

совпадает

с S',

либо

получается

добавлением

к

ней

вектора

е2).

П р о д о л ж а е м

т а к

и

далее . Перебрав

таким

образом

все

векторы

еи

е2,

еп,

получим

систему

S<4

Она обла ­

дает

следующими

свойствами:

1.

Любой

вектор a s A „

разлагается

по

ней.

Д е й ­

ствительно,

вектор

а

разлагается

по

еЛ,

е2,

еп,

а

к а ж д ы й

из

этих

векторов,

в свою

очередь,

разлагается

по векторам системы S(n\

как следует

из

самого

спо­

соба построения этой системы.

2. Ни один из векторов

системы S ( n )

не

разлагается

по предыдущим (это опять-таки"следует

из

способа

по­

строения S(")). Это означает, что система

линейно

независима.

вектора а

3. Р а з л о ж е н и е любого

по

системе

S( i t )

различных

разложения

для а, то, вычитая из одного

другое, мы

получили бы линейную зависимость между

векторами системы S<n>.

Свойства

1 и 3 позволяют сделать заключение, что

система S(n >

есть базис

пространства Ап. По теореме 1

стема

S(">

содержит исходные векторы аи

а2, ...,

ар,

то р ^

я; в

случае р = п исходные векторы

сами

обра­

зуют базис. Теорема доказана .

5°. Одно

следствие из теоремы 2, относящееся к

алгебрам . В § 7 мы обещали доказать такое

предложе­

ние: если алгебра s& обладает

тем

свойством, что из

равенства

нулю произведения

ab

следует

равенство

нулю

хотя

бы одного из сомножителей а или Ь, то <s£

предложение. Д о к а ж е м

его теперь.

Пусть требуется

решить

уравнение

ах

= Ь,

(6)

где а Ф 0. Выберем

в векторном пространстве М- какой-

нибудь базис

в\у е2, • • •, 6п.

У м н о ж а я базисные

векторы слева

на

а, получим

дру­

гие п векторов

аеи

ае2,

аеп.

(7)

П о к а ж е м , что они снова образуют

базис.

Согласно теореме 2, достаточно показать, что век­

торы (7) линейно

независимы. Допустим, что это не так.

Тогда существуют числа ku

k2, ...,

kn,

не равные

одно­

временно нулю и такие, что

kxaex

- f k2ae2

+ . . . + knaen

= 0.