книги из ГПНТБ / Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа
.pdfс таблицей умножения
|
|
|
Мр |
— Pap, I + |
Рар. 24 + |
• • • |
~Г"Рар,н'/г |
|
|
|
|||||
|
|
|
(а, |
р — любые |
номера |
от 2 до л ) ; |
|
|
|
||||||
эту |
гиперкомплексную |
систему |
будем |
|
рассматривать |
||||||||||
как |
соответствующую |
алгебре s&. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пользуясь таблицей умножения, можно найти про |
||||||||||||||
изведение |
любых двух элементов |
данной |
алгебры: |
||||||||||||
(a1il |
+ а42 |
+ . . . + anin) (bxi{ + b2i2 |
+ . . . + bjn) |
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
= c,£, + c2i2 |
+ . . . + cnin. |
||||||||
Если теперь в написанном равенстве «убрать» |
i u |
то по |
|||||||||||||
лучится |
соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(a, - f a2i2 |
+ |
• • • - f anin) |
(6, + b2i2 |
+ . . . |
+ |
bnin) |
= |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
c, + |
c2i2 |
+ |
••• |
+ cnin, |
|||
которое ввиду |
(6) будет |
в ы р а ж а т ь |
закон |
умножения в |
|||||||||||
соответствующей гиперкомплексной |
системе. |
|
|
|
|||||||||||
|
Таким |
|
образом, л ю б а я алгебра |
с условием (6) «вы |
|||||||||||
черкиванием» |
символа |
«1 из записи |
всех |
элементов пре |
|||||||||||
вращается |
в гиперкомплексную |
систему |
той ж е |
размер |
|||||||||||
ности. |
|
|
|
|
|
|
Рар,у |
|
|
|
|
1, Р > 1 |
|||
|
Более |
|
того, поскольку |
числа |
Для а > |
||||||||||
в предыдущем рассуждении произвольны, то указанным
путем может быть получена любая |
гиперкомплексиая |
|||||||||
система. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д л я |
иллюстрации |
рассмотрим |
|
пример. Пусть за |
||||||
дана |
двумерная |
алгебра |
si- с такой |
таблицей |
умноже |
|||||
ния: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенства (6) здесь, |
очевидно, выполняются. Закон ум |
|||||||||
ножения |
в s& выглядит |
следующим |
образом: |
|
||||||
(а^! + a2i2) (bii\ + b2i2) = |
(albl — a2b2) |
i, -f- {axb2 + a2b{) i2. |
||||||||
Если |
«вычеркнуть» |
i i , то |
таблица |
|
умножения |
превра^ |
||||
тится |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hh |
== — 1. |
|
|
|
|
а закон |
умножения |
примет вид |
, |
|
|
|||||
(й, + |
a2i2) [by + |
b2i2) |
= |
{afii — a2b2) |
- f (afa + а2 й,) i2, |
|||||
50
откуда сразу ж е становится ясным, что рассматривае мая алгебра совпадает, по существу, с системой ком
плексных чисел. |
|
|
4°. Коммутативные, |
ассоциативные алгебры, |
алгебры |
с делением..В § 5 мы |
ввели ряд терминов д л я |
обозначе |
ния некоторых свойств гиперкомплексных систем. Эта терминология без всяких изменений переносится на ал
гебры. |
А |
именно, |
если |
д л я |
любых |
|
двух элементов |
а |
||||||||||||||||
и Ъ алгебры |
бФ справедливо |
равенство |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ab |
= |
Ьа, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то алгебра |
называется |
коммутативной; |
|
если |
д л я |
|
любых |
|||||||||||||||||
трех' элементов а, |
Ь |
и |
с |
справедливо |
|
равенство |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ab) |
с = |
а |
(be), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
то |
алгебра |
|
называется |
ассоциативной*). |
|
Д а л е е , |
если |
|||||||||||||||||
к а ж д о е |
из |
|
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ах = |
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уа = |
|
Ь, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
а |
и Ь — произвольные |
элементы |
алгебры |
|
причем |
||||||||||||||||||
а ф |
О, имеет |
единственное |
решение, |
|
то |
говорят, |
|
что |
|
|||||||||||||||
есть |
|
алгебра |
|
с |
делением; |
|
элемент |
х, |
определяемый |
из |
||||||||||||||
уравнения |
|
(7), |
называется |
в |
этом |
случае |
левым |
|
част |
|||||||||||||||
ным, |
|
а |
элемент |
у, |
определяемый |
из |
(8), — правым |
|
част |
|||||||||||||||
ным |
|
от деления |
Ь |
на |
а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Нетрудно видеть, что в алгебрах с делением |
спра |
|||||||||||||||||||||||
ведливо |
такое |
свойство: |
|
если |
произведение |
ab |
|
равно |
||||||||||||||||
нулю, |
то хотя бы |
один |
из |
сомножителей |
а |
или |
b |
равен |
||||||||||||||||
нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, если а Ф О, |
то |
6 = |
0, |
ибо единствен |
||||||||||||||||||||
ным |
|
решением |
уравнения |
ах — 0 |
является |
х = |
|
0. |
|
|
||||||||||||||
Позднее мы д о к а ж е м |
|
(см. § |
9), |
|
что |
с п р а в е д л и в о , и |
||||||||||||||||||
обратное |
предложение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из ра |
||||||||||
если |
алгебра |
s4- |
обладает |
тем |
свойством, |
что |
||||||||||||||||||
венства |
нулю |
произведения |
|
ab |
следует |
равенство |
|
|
нулю |
|||||||||||||||
хотя |
|
бы |
одного |
из |
сомножителей |
|
а |
|
или |
Ь, то |
s4- |
есть |
||||||||||||
алгебра |
с |
делением. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. . |
|
||||||
*) На первоначальном этапе развития теории алгебр условие ас социативности представлялось настолько естественным, что . его включали в определение алгебры; под термином «алгебра» пони малась «ассоциативная алгебра».
61
|
Если в |
алгебре |
зФ существует |
такой элемент |
е, что |
|||||
|
|
|
|
ае = а |
и еа = |
а |
|
|
||
д л я |
любого |
а <= |
то этот элемент называется |
едини |
||||||
цей |
алгебры |
si>; в |
этом случае |
т а к ж е говорят, |
что |
|||||
есть алгебра |
с |
единицей. |
Л ю б а я |
|
гиперкомплексная |
си |
||||
стема |
является, |
как уж е |
отмечалось, алгеброй |
с |
еди |
|||||
ницей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Простейшим примером алгебры с единицей .является |
|||||||||
одномерная |
алгебра |
с таблицей |
умножения |
|
|
|||||
Закон |
умножения в этой алгебре |
имеет вид |
|
|
||||||
|
|
|
|
(aii[)(bli1) |
= |
aibiiu |
|
|
||
т. |
е. |
сводится |
к |
умножению |
действительных |
чисел. |
||||
В соответствии с этим указанную алгебру будем назы
вать |
алгеброй |
действительных |
чисел. |
|
5°. |
Примеры. Рассмотрим некоторые примеры алгебр, |
|||
не являющихся гиперкомплексными системами. |
|
|||
П р и м е р |
1. Нулевая алгебра |
произвольной |
размер |
|
ности п. Таблица умножения в этой алгебре имеет пре
дельно |
простой вид: |
|
|
|
|
|
|
|||
М р = |
^ |
( Д л я в с е х |
номеров а, |
р от |
1 до п). |
|
||||
Отсюда |
сразу |
следует, |
что |
произведение |
любых |
двух |
||||
. элементов |
т а к ж е |
равно |
нулю. |
|
|
|
|
|||
П р и м е р |
2. |
Рассмотрим |
двумерную |
алгебру с |
таб |
|||||
лицей |
умножения |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
M i = : |
'i> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• М2 = = |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
'2г1 = |
~'2> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*2*2 = |
<!• |
|
|
|
|
|
Тогда закон умножения будет • |
|
|
|
|
||||||
(cji, + |
a2i2) (&,£, + b2i2) = < a 1 u I |
+ a2b2) |
h + |
(a,&2 — a2b{) |
i2. |
|||||
Хотя в этой алгебре умножение напоминает умно жение комплексных чисел, однако она не совпадает с алгеброй комплексных чисел. П р е д л а г а е м читателю про верить самостоятельно,.что ъ этой алгебре нет единицы (тем самым она не может являться гиперкомплексной системой). Более сложным упражнением является про-
52
верка того интересного факта^ что рассматриваемая |
ал |
|||||||||||
гебра есть алгебра с делением. |
|
|
|
|
||||||||
П р и м е р |
3. |
Алгебра |
трехмерных |
векторов |
с |
опе |
||||||
рацией |
векторного |
произведения. |
Эта |
алгебра |
состоит |
|||||||
из элементов |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Ы + с/ + |
dk, |
|
|
|
|||
перемножаемых |
в соответствии с таблицей |
|
|
|||||||||
|
|
|
i 2 = 0, |
|
/ 2 = 0, |
k2 = 0, |
|
|
||||
|
|
|
|
ij |
— k, |
ji |
= |
— k, |
|
|
|
|
|
|
|
|
jk |
= |
i, |
kj |
= |
— i, |
|
|
|
|
|
|
|
ki |
= |
/, |
ih= |
— j . |
|
|
|
|
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(bi + cj |
+ |
dk) |
(b'i |
+ c'j |
+ |
d'k) |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
(cd' - |
dc') i + |
(db' |
- |
bd') j + |
(be' - cb') |
k. |
(9) |
|||
Если ввести в обычном пространстве прямоугольную систему координат н под i, /, k понимать векторы длины 1, имеющие на правления координатных осей (рис.9), то выражение
t
q = Ы + cj + dk
будет |
представлять |
собой |
(при |
|
||||
обычном |
геометрическом |
понимании |
|
|||||
суммы векторов |
и |
произведения век |
|
|||||
тора |
на |
число) |
некоторый |
вектор |
х |
|||
в пространстве. |
Операция |
(9) |
носит |
|||||
название |
векторного |
произведения |
|
|||||
(ее |
геометрический |
смысл |
см. в § 4); |
|
||||
она |
играет важную |
|
роль |
в |
геомет |
|
||
рии и физике.
6°. Важный пример: алгеб |
Рис. 9, |
|
ра квадратных матриц л-го |
||
|
||
порядка. Размерность этой алгебры равна п2. Соот |
||
ветствующие мнимые единицы можно было бы обозна
чить |
г ь |
i2, |
..., |
|
i n \ |
но более удобным является другой |
|||||||||
принцип нумерации: вместо номера а, |
пробегающего |
||||||||||||||
значения от |
1 |
до |
/г2 , удобнее пользоваться |
«номером», |
|||||||||||
состоящим из |
двух |
чисел |
а, |
р\ |
к а ж д о е |
из |
которых про |
||||||||
бегает |
значения |
от |
1 до |
л |
(очевидно, |
число |
различных |
||||||||
пар |
ос, р будет |
|
в точности |
/г2 ). Таким |
образом, д л я мни |
||||||||||
мых |
единиц |
мы |
вводим |
обозначение |
*a g. П о р я д о к |
следо |
|||||||||
вания |
мнимых |
|
единиц |
можно |
установить |
как |
угодно; |
||||||||
63
д л я определенности будем располагать их в такой по следовательности:
' l l> 'l2 i • • • > ' l n j ' 2 l > *22> |
' 2 n i ' 3 I > |
l32> |
• • • |
|
• • • , |
' з л ; |
• • • ! 'rtli 'л2> • • • i ' л л - |
Итак, элементами нашей алгебры являются выра |
|||||||||
жения следующего |
вида: |
|
|
|
|
|
|
||
А = anin-\- |
|
al2ii2 + . . . + a 1 n t l n |
+ |
|
|||||
+ |
«21*21 |
+ |
«22*22 + |
• • • + |
« 2 л ' 2 л |
+ |
|
||
+ |
« л 1 ' л ! + |
« л 2 ' л 2 |
+ |
• • • |
+ |
« л л ' л л - |
(Ю) |
||
В такой записи |
становится |
особенно |
ясным |
тот факт, |
|||||
что произвольный элемент А нашей алгебры опреде
ляется таблицей |
|
|
|
аи |
а12 |
. . . |
а1п |
«21 |
« 2 2 |
• • • |
«2/1 |
« л ! |
« л 2 • • • « г |
||
состоящей из |
п2 |
чисел. Такие |
таблицы носят |
название |
||||||||
матриц, |
точнее, |
квадратных |
матриц |
порядка |
п |
(поряд |
||||||
ком называется'число |
строк |
или столбцов |
в |
квадратной |
||||||||
т а б л и ц е ) . В дальнейшем |
вместо (10) |
мы позволим себе |
||||||||||
писать |
кратко: |
|
'ап |
a l |
|
• - . ащ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
А = |
«21 |
« 2 2 |
• • • « 2 л |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. «Л1 |
« л 2 |
|
|
|
|
|
|
и |
считать, что элементы |
нашей |
алгебры |
суть |
матрицы. |
|||||||
|
Определим |
теперь |
таблицу |
умножения |
единиц *.ян; |
|||||||
в |
ней и заключено все своеобразие |
алгебры |
матриц. |
|||||||||
|
П о л о ж и м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'al'lp = |
|
'ap> 'a2*2p = ' a p > |
• • • > 'ал'лр = |
<ар ' |
0 0 |
|||||
или короче, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
'а/Ар — 'ар |
|
(а > Р. |
|
любые номера |
от |
1 до п); |
|||||
все остальные произведения мнимых единиц по опреде лению равны нулю. Этим таблица умножения з а д а н а полностью.
54
Впрочем, можно записать всю таблицу умножения в более сжатой форме:
где символ 6x\i, по определению, равен 1, когда X = |л, и равен 0, когда К ф [х.
Посмотрим теперь, как запишется произведение лю бых двух элементов А и В нашей алгебры, т. е. вычис лим
0,,*,,+ |
. . . + a l n |
f I |
r t + \ |
/ |
6 „ f , , + . . . + & ! „ * , „ + N |
|||||
+ a 2 l i 2 l |
+ . . . + a 2 n i 2 n + I f + b 2 l i 2 l + . . . + |
+ |
||||||||
„+ an\ini |
+ • : |
• + anilinn |
/ \ + *щ*щ + |
• • • + |
||||||
В результате |
должен |
получиться некоторый элемент С: |
||||||||
|
|
|
|
С 1 1 * П + |
^12*12 + |
• • • + c l n i l n + |
|
|||
|
|
+ - Й 1 * 2 1 |
+ |
С2 2«22 + |
• • • + |
< W 2 r t |
+ |
|||
|
. ~Ь cn\inl |
~Т~ Сп21П2 |
- ( |
- . . . - ) - |
C n r t |
|
||||
Р а с с м о т р им произвольное слагаемое |
с а р< а р |
в составе С. |
||||||||
К а к показывает таблица умножения |
(11), это слагае |
|||||||||
мое возникает только от умножения |
|
|
||||||||
a a l t a i на 6ip£,p, |
a a 2 i a 2 |
на 62pi2p, - . . . , aa r t ia ,s 'Ha 6 r t p i n 3 , |
||||||||
следовательно, |
оно равняется |
|
|
^ |
||||||
|
(aalbtf |
|
+ aa2b2 [3 + |
• • • + а а , А р ) 'ар- |
||||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
с а р = |
а а 1 6 | | 3 - 1 - а а 2 & 2 р+ |
••• + |
cwAtp- |
||||||
Запомнить |
эту формулу |
совсем |
нетрудно: нужно |
|||||||
взять а-ю строку |
матрицы А: |
|
|
|
||||||
# a l аа2 • • • аап
и р-й столбец матрицы В:
btf
b2fi |
. |
Б5
затем каоюдое |
число |
строки умнооюить |
на |
соответствую' |
|||||||
щее |
число столбца |
и все |
такие |
произведения |
|
сложить; |
|||||
в итоге |
получится число |
са$ |
из |
матрицы |
С. |
|
|
||||
П р а в и л о, которое мы сейчас установили, |
позволяет |
||||||||||
для любых двух матриц А и В построить |
третью мат |
||||||||||
рицу |
С; |
естественно |
называть |
ее |
произведением |
матриц |
|||||
А и |
В. |
Таким |
образом, |
чтобы |
перемножить |
элементы А |
|||||
и В нашей алгебры, нужно найти произведение соот
ветствующих |
матриц А |
и |
В. |
|
|
|
||||
В качестве |
примера |
найдем |
произведение |
матриц |
||||||
|
-А = |
, 1 |
2 \ |
и |
5 |
= |
|
|
||
|
[ 3 |
4 1 |
|
|
||||||
Имеем |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
л р — |
1.6 |
+ 2 - |
(—3) |
1 - ( - |
|
|
||||
\ 3 |
-6 |
+ 4- (—3) |
3 - ( - |
4 ) + 4 - 3 J |
U |
О}' |
||||
|
||||||||||
Возникающее таким путем умножение матриц |
играет |
|||||||||
в математике |
чрезвычайно в а ж н у ю роль. |
Р а м к и на |
||||||||
стоящей книжки не позволяют нам заняться более под робным изучением этой операции. Ограничимся только установлением одного важного свойства умножения мат
риц: покажем, |
что умножение |
матриц |
ассоциативно |
или, |
||||
по-другому, — алгебра |
матриц |
является |
ассоциативной |
|||||
алгеброй. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д л я |
доказательства |
достаточно проверить, что ра |
||||||
венство |
(АВ)С |
= А{ВС) |
справедливо, |
когда |
в |
качестве |
||
А, В и С |
берутся любые три «мнимые единицы» |
алгебры |
||||||
матриц (см. аналогичное рассуждение при доказатель стве ассоциативности умножения кватернионов в § 3). Иначе говоря, нужно проверить, что
('(Л'ц-э) 'VY = |
*аА. (1ц$Ку)- |
Н о левая часть согласно (12) |
равна (6^1^) t V Y или, снова |
в силу (12), равна бЛ ^бр л ,£а у . Аналогично находится пра вая часть: она равна iaK ( б ^ ^ ) или б ^ б ^ г ^ . В обоих случаях получается один и тот ж е результат .
7°. Характеристические свойства умножения в про извольной алгебре'*). Из определения алгебры непо средственно вытекают такие свойства операции
*) Содержание этого пункта |
носит вспомогательный харак |
тер и понадобится нам только в §§ |
16 и 18. |
56
у м н о ж е н и я:
1) (а + 6) с = ас + be, а (b + с) = лЬ + ас, 2) ka-b — k (ab), а • kb = k (ab).
Эти свойства' являются в некотором |
смысле |
|
определяю |
||||||||||||||||
щими |
дл я |
операции |
|
умножения. |
|
Точнее, |
имеет |
место |
|||||||||||
следующее |
предложение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Пусть |
в множестве |
$Ф всех |
выражений |
вида |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а,*, + a2i2 |
+ |
• • • + |
|
anin |
|
|
|
|
|||||
введены: |
операция (3) умноокения |
|
на числа, |
|
операция |
||||||||||||||
(4) |
сложения, |
а |
также |
некоторая |
|
операция*) |
|
а°Ь, |
|||||||||||
обладающая |
|
указанными |
выше |
свойствами |
1) и 2): |
||||||||||||||
(а + 6) о с = а о с + Ь о с, |
|
а° (Ь + с) = а ° й + о. ° с, |
|||||||||||||||||
|
|
ka ° b — k (а ° Ь), |
|
|
|
|
а о kb = k (а о Ь). |
|
|||||||||||
Тогда |
множество |
si- |
есть |
алгебра, |
|
в |
которой |
роль |
опе |
||||||||||
рации |
умноокения |
играет а о Ь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Чтобы |
доказать |
это предложение, мы должны |
про |
|||||||||||||||
верить, что операция |
а ° 6 есть умножение в том смысле, |
||||||||||||||||||
как об этом |
говорится в определении |
алгебры. |
|
|
|||||||||||||||
|
Рассмотрим выражение |
* а ° * р . Это — некоторый эле |
|||||||||||||||||
мент |
множества |
бФ, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
*а°*р = |
Рар,1*1 + Pap,2*2 + |
|
•• • |
+ Pap, Jn- |
|
(13) |
|||||||||||
Из |
свойств |
1) и 2) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
&оЬ = |
(а1Г1-+ . . . |
+ a n * e ) ° ( M i + |
|
••• |
+ * Л ) |
= |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
— S |
[(OoU ° ( V e ) l — 2 |
а |
в М » а ° 'в) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a, р |
|
|
|
|
н н |
а, р |
1 |
' |
р |
||
(в |
равенстве, |
помеченном |
!, |
мы |
воспользовались |
свой |
|||||||||||||
ством |
1), в |
равенстве |
!! использовали 2)) ; после |
этого |
|||||||||||||||
дл я |
вычисления |
а ° 6 остается |
только |
вместо |
i a ° h П ° Д" |
||||||||||||||
ставить соответствующий |
элемент |
(13), умножить |
число |
||||||||||||||||
aa up |
н а . э т о т |
элемент, |
затем |
привести подобные |
члены. |
||||||||||||||
Н о |
это — в |
точности |
та самая |
процедура, |
с |
|
помощью |
||||||||||||
которой. определяется |
умножение |
элементов |
|
в |
произ |
||||||||||||||
вольной |
алгебре s4-. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
*) В этом месте.слова «задана некоторая операция» означают только тот факт, что каждым двум элементам а и Ь ставится в со ответствие третий элемент, обозначаемый а° Ь.
Глава 2
л - М Е Р Н ЫЕ ВЕКТОРЫ
О б р а т и м ся еще раз к определению алгебры раз мерности п. В этом определении наиболее сложным мо ментом является, бесспорно, наличие операции умно
жения . |
Останется |
ли хоть что-нибудь, если отвлечься |
от этого |
свойства? |
Легко видеть, что останется, хотя и |
не очень много: останется совокупность элементов, од нозначно представимых в виде
а,!, + a2i2 + . . . + anin,
с естественным правилом сложения элементов друг с другом
{alil + a2i2 + |
••• + anin) |
+ {b{ix + |
b2i2 |
+ |
. . . +bjn) |
= |
|
|
= (a1 + bl)il + (a2 + b2)i2 |
+ . . . + (an |
+ bn)in |
||||
и со столь |
ж е |
естественным правилом |
умножения эле |
||||
мента на действительное |
число: |
|
|
|
|
||
k (а,», + a2i2 |
+ |
. . . + ajn) |
= kaxix |
+ |
ka2i2 |
+ . . . + |
kanin. |
Можно ли, базируясь только на этом материале, развить сколько-нибудь содержательную теорию? Ока зывается, что можно. Больше того, существует целый раздел математики, в основе которого л е ж а т только указанные выше операции. Этот раздел называется ли нейной алгеброй; он весьма богат содержанием и ис пользуется часто как в . самой математике, та к и в ее многочисленныхч приложениях. В этой главе мы озна комим читателя с некоторыми сведениями из линейной алгебры. Они составят ту основу, на которой будет про должено изучение теории алгебр в гл. 3.
98
§ 8. n-мерное векторное |
пространство А п |
|
||
1°. |
Основные определения. |
О п р е д е л е н и е |
1. На |
|
зовем |
n-мерным.вектором |
объект вида |
|
|
|
a1i1 + a2i2+ |
+ anin, |
(1) |
|
где ау, |
а2, . . . , ап—произвольные |
действительные |
числа, а |
|
|
t\, |
i2, • • •, |
i n |
|
— просто п различных символов, которым не приписы вается никакого специального смысла.
Поясним, |
почему |
выражение |
(1) названо «векто |
||
ром». Д е л о в |
том, что |
при |
п = |
2 получается выражение |
|
вида |
|
|
|
|
|
|
|
alh |
+ «2*2> |
(2) |
|
и если истолковывать |
i\, i2 |
как |
два |
фиксированных век |
|
тора на обычной плоскости, то написанному выше вы ражению тоже будет соответство вать некоторый вектор на плоско
сти*) |
(рис. |
10); больше |
того, |
если |
|||||
векторы |
«1, «2 |
не |
л е ж а т |
на |
одной |
||||
прямой, |
то |
в |
таком |
виде |
может |
||||
быть |
записан — и притом |
однознач |
|||||||
н о — любой |
вектор |
на |
плоскости. |
||||||
О п р е д е л е н и е |
2. |
Д в а |
/г-мер |
||||||
ных |
вектора |
|
|
|
|
|
|
||
и |
я,£, + a2i2 |
+ |
. . . - f |
ajn |
|
|
|||
bxil + b2i2+ |
... |
|
+bnin |
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
считаются |
|
равными |
тогда |
и |
только тогда, когда |
||||
|
|
|
al |
— bl, a2 |
= b2, |
|
an = bn. |
||
Мотивом к такому определению служит уже упо мянутый выше факт, а именно: однозначность представ ления любого вектора на плоскости в форме (2), если «базисные» векторы i\, i2 выбраны не лежащими на од ной прямой.
*) Мы исходим из обычного геометрического понимания сум мы векторов и произведения вектора на число. Напомним, что сум ма векторов определяется по «правилу параллелограмма», а умно
жение вектора на число |
k — это растяжение его в \k\ раз |
с по |
следующим изменением |
направления на противоположное, |
если |
k < 0. |
|
|