книги из ГПНТБ / Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа

данного определения; начиная

со следующего

пункта,

мы пер.еходим к подробному изучению этих

свойств.

3°. Таблица умножения в системе октав. Итак, со­

гласно

определению,

октавы — это в ы р а ж е н и я

вида

Я\ + да,

где <7ь q2—

произвольные

кватернионы,

причем

закон

умножения

имеет следующий вид:

( ? 1 +

да)(г,

+ г2 е) =

( ? 1 г 1 — r2q2)

+ {r2q{

+

q2rx)e.

(7)

П р е ж д е

всего

посмотрим,

как

увязывается

такое

определение

октав

с

представлением

октав

в

форме

а0

+

+ a2 t2

+

а3*з +

« А +

<*sh + а б'е +

a7i7,

(8)

точнее,

составим

таблицу

умножения

дл я мнимых

еди­

ниц ц,

...,

i7.

q\

q2,

Кватернионы

и

отвечающие

записи

(8),

суть

Я\ = а0 + a}i + a2j + a3k,

q2 = a 4 + abi + a6j + a7k.

Договоримся

дл я

большего

единообразия

вместо

(8)

писать

a +

bi + cj +

dk+AE

+

BI+CI

+ DK,

где а~Ь,

с,

d,

А,

В,

С,

D — это прежние аа,

аи

а7,

a i,

j , k,

Е,

I-, J,

К — новые обозначения д л я «мнимых

единиц»

»[, и,

. . . ,

i7.

q{

и q2

В

таких

обозначениях

кватернионы

будут

•qx = a + bi+_ci

+ dk,

? 2

=

Л + Bi +

С / + DA.

Исходя

из

(7), можно,

как уж е

отмечалось,

соста­

вить

таблицу

у м н о ж е н и я дл я

единиц

i, /, k, Е, I , / , К.

Например,

полагая в формуле (7) q2

= г2

— 0,

получим

(«/, + О е ) ( г Г + 0 е ) =

<7,г1

+ 0е;

'таким

образом, октавы qi

и гх

перемножаются

как

ква­

тернионы. Отсюда

следует, что дл я

единиц

i,

/,

k

таб­

лица

умножения

в точности

т а к а я

же,

как

в

случае

кватернионов:

*а

1, Р = т-1,

k°-=-l,

ij = k,

ji =

—

k,

j k ^ i ,

kj=

— i,

ki —

j ,

Ik =

— /.

Н а п и с а н н ые равенства дают в ы р а ж е н и я

только

для 9

произведений из общего числа 49 (в

нашем

случае

имеется 7 единиц и, следовательно, 7-7 =

49 попарных

зании

следующих семи

троек:

1

Е

I

i

] k

i

Е

J

k

Е

К

Запомнить

эти

тройки нетрудно: к а ж д а я тройка

в

пунк­

тирной р а

м к е

получается из тройки символов

i,

/, k,

волы; к а ж д а я

из троек в сплошной рамке

содержит Е

и

два одноименных символа.

а,

Чтобы

объяснить

таблицу умножения,

обозначим

р, y любую из указанных

семи троек (порядок симво­

лов в тройке существен). Тогда

aP =

Y,

р а =

— у,

PY =

a,

Y p =

— а ,

уа =

р,

ау =

— р,

и

а 2 = - 1 ,

р2 : = - 1 ,

У2

- 1 ,

Любопытно,.что единицы i, /, ft, Е, I, J, К

могут

быть расстав­

лены на этом

чертеже многими

способами.

Достаточно

взять

i,

/, ft лежащими на одной «прямой» (любой из семи),

какую-нибудь

из

оставшихся

точек обозначить Е и затем проставить

/, /,

К на

прямых iE, jE,

kE; в результате

мы придем

снова

к

правильной

картине.

будем называть

сопряженной

к и.

Если

вместо

(9)

воспользоваться

более

короткой

записью

где

q l = = a

+ bi + cj + dk, q2

= А + Bi + Cj +

Dk,

то дл я сопряженной

октавы

получится

в ы р а ж е н и е

ии = fa, +

q2e) fa, — q2e) = [q{qx

+

q2q2) + (—q2qi+q2qi)

e.

Учитывая,

что дл я кватернионов

qq =

qq =

\ q [2, нахо­

дим отсюда

ии =

ql

+ q2q2 =

\qx

|2 + | q2 f.

(10)

К в а д р а т н ы й корень из в ы р а ж е н и я

|<7iI2 +

I f o l 2

на-

зывается модулем

или нормой

октавы

и и

обозначается

| и | . Заметим, что дл я октавы

и,

заданной

в форме (9),

к в а д р а т ее модуля

равен

a2 + i 2 + c 2 + d 2 + Л 2 + В 2 + С 2 + £>2.

( П )

Таким

образом,

по определению модуля

имеем

ай = |и| 2 ;,

(12)

ии = | и р,

вытекающее

из

того факта, что квадрат модуля

октавы

ы совпадает

с

квадратом модуля сопряженной

октавы

к (и то и другое равно (11)).

ляется то важнейшее

свойство, что модуль

произведе­

ния

любых двух октав равен произведению

модулей

этих

октав:

| и | М

|«иг| =

(13)

или,

что эквивалентно,

\uv?

=

\uf\vf.

(14)

ности

|ыг; | 2

и | ы | 2 | г / | 2 . Так "как

uv =

far, +

q2e)

(г, +

r2e)

=

(?,r, —~r2q2)

+

(r 2 ?,

+

q.,r,) е,

то, применив формулу (10),

получим

| uv

|2

=

for,

- r2q2)

fa,r,

— r2q2)+{r2q{

+

q2Ty)

[r2q{

+

f 2 r , )

или,

учитывая

свойства

сопряжения

д л я кватернионов,

| uv

| 2

=

(<7,r, — r2q2)

(/-,</, — q2r2)+{r2qi

+

q2ri)

[q\r2+r^q2).

С другой стороны,

I " I21 v |2 = [q{q{

+ q2q2) (rtr,

+

r 2 r 2 ) .

Сравнивая

оба

выражения,

находим,

что

они

отли­

чаются

на сумму четырех

слагаемых

S

=

r2qirlq2.-{-

q2rxqs2

— Ц\Гхел-.г—

T2q2r^qv

Поэтому остается показать, что S = 0

для

любых

че­

тырех

кватернионов

qt,

q2,

r u

r2.

Начнем

с очевидного

замечания: 5 =

0, е с л и г 2

— дей­

мнимый

кватернион

(и, следовательно,

г2 =

— г2),

то

S

=

r2 (<7,r,?2 +

q2rrf{)

— (q{rxq2

+

q2rtf{)

r2.

В ы р а ж е н и е

в скобках

представляет

собой

сумму

двух сопряженных

кватернионов

и

поэтому

р а в н о

S = r2c—

сг 2 = 0 .

Теперь

следует учесть

очевидное

свойство

в ы р а ж е н и я

5: если

оно равно 0 при

г2 =

а и г2

= Ь, то

оно равно 0

мого кватерниона, причем в

обоих случаях S — 0, то

тем самым 5 равно нулю тождественно.

6°. Тождество для

восьми

квадратов.

Установленное

в предыдущем пункте

равенство

| ttw

Iя — I u

| 2 | v

(15)

налево)

тождество: «произведение

суммы

восьми

квад­

ратов

на сумму

восьми

квадратов

есть

снова

сумма

восьми

квадратов».

Действительно,

пусть

u =

a +

bi +

cj + dk + AE +

BI

+

CJ +

DK,

• v =

a ' +

b'l+

c'j

+ d'k + А'Е

+

B'l

+ С

J +

D'K,

a

wo = Ф 0 + Ф,£ - f Ф 2 / + Ф 3 £ + Ф 4 £ + Ф 5 / + ф 6 / + ф7К,

тогда равенство

(15) принимает

вид

( а 2 + . . . + £ 2 ) ( а ' 2

+ . . . + 0 ' 2 ) = Ф^ + Ф , + . . . + Ф ? .

Разумеется,

вместо

Фо,

Ф ь

Ф7 сюда

следует

под­

ставить

их

выражения через а,

...,

D, а',

...,

D',

исхо­

кую работу,

придем

к такому

тождеству:

( а 2 + й2 + с 2 + d 2 + Л 2 +• В- + С - + D-) X

X

(а' 2 +

б'2

+

с'г

+

d'2

+

Л ' 2 +

В'2

+

С ' 2 +

D'2) =

=

( а а ' -

W

— ее'

— dd'

— AA'

— В В'

— СС

-

DD')2

+

+

(аЬ''+

Ьа'

+

cd'

-

dc'

—

А'В

+

В'А

+

CD

-D'Cf

+

+

( а с ' +

со! — bd'

+

db'

-

А'С

+

С А -

B'D

+

D'Bf

+

+

(ad'

+

da'

+ bc' — cb' — A'D

+

D'A

+

BrC

-

CB)2

+

+

(A'a

-

B'b

— С с -

D'd

+

Аа'

+

Bb'

+

Cc'

+

Dd'f

+

+

(Л 'b +

B'a

-f- C d

-

D'c

-

Л 6 ' +

В a'

-

C d '

- f Z)c')2

+

+

(А'с

+

C'a

-

B'd

-\-D'b-Ac'

+

Сa'

+

Bd'

-

Db')2

+

+

{A'd

+

D'a

+

5'c

— Cb

— / W ' +

Da'

— Be'

+

C6')2 .

сел.

Сейчас

мы

обратим

внимание на одно существен­

ное различие между этими системами: в то время

как

умножение комплексных чисел и кватернионов

обладает

ассоциативным

(сочетательным)

свойством,

для

умно­

жения

октав

ассоциативный

закон

не

выполняется.

На ­

пример,

(ij)E^i(jE),

так

как

{if) E =

kE

=

К,

a

i{jE)

=

U =

— К.

Отсутствие

ассоциативного

закона

д л я

октав

вовсе

не

означает,

что д л я

любых

трех

октав и,

v,

w

будет

{uv) w ф u{vw).

Б о л е е

того,

можно

доказать,

что

спра­

ведливы

следующие

две

формулы:

{uv)v

=

u{vv)

(16)

и

v{vu)

=

{vv)u,

(17)

в которых и и v обозначают любые две октавы.

Формулы

(16)

и

(17)

можно

рассматривать

как не­

кий ослабленный вариант ассоциативности.

Существует

специальное

название

д л я

систем,

в

которых

справед­

ливы

эти формулы;

такие „системы

называются

альтер­

нативными.

О б р а щ а я с ь

к

доказательству

формул

(16)

и

(17),

заметим,

что вместо

них можно

доказывать

{uv)

v

=

и {vv)

(16')

и

_

v{vu)

—

{vv)u,

{17')

так

как,

з а м е н я я

в

этих

равенствах v

на —v

- } - 2а

(где

а — действительная

часть

октавы

v),

легко

получим

(16)

П у сть

и = q{ - f Чгв, v =

rt-\-

г2е. И м е е м

(uv) v =

(fa, +

q2e) (r, +

r2e)) (r, — r2c)

==

=

( ( ^ i

— Г2<72) +

(ггЧГ| + W i ) e) (r, — r2 e)

=

=

(fai'i — r2<72) r,

+

r2 (r2q, + '

flr27,))

+

+

((— r 2 ) (flr,r,

— r2q2)

+

(r2flr,

+

flfgr,)

r, ) e

=

=

( | r , | 2

+ | r 2

R^r. +

d r ,

|2 + | r 2

p)?2 e =

= ( | / - I | 2

+ | r 2 | 2 ) ( < 7 l

+ flr2e) = | t ; | 2 « .

С другой

стороны,

I vv

I — I v I2 , поэтому

u (PZJ)

= |

г» | 2 « .

Отсюда следует (16').

8°. Октавы — система

с делением. Ещ е одно

важное

ными числами и кватернионами, есть возможность

деле--

ния.

Пусть и и v — произвольные октавы,

причем

v Ф 0.

Напомним, что левое

частное

от деления

и на v есть ре­

шение

уравнения

г>* =

и,

(18)

а правое частное — решение

уравнения

xv =

и.

(19)

Решим сначала уравнение (18). Поступая точно так

же, как в_случае кватернионов, умножим

обе части (18)

слева

на v. Получим

v (vx) -— vu

или,

учитывая

(17'),

Отсюда

[ v |2 х = vu.

Непосредственная проверка

(с использованием

опять-

таки

формулы

(17'))

доказывает, что найденное

значе­

ние

х удовлетворяет

уравнению (18). Итак, левое

част­

ное от деления

и на v. равно

_

1 -

при этом

нужно воспользоваться формулой (16х ).

Мы видим, таким образом, что октавы образуют си*

стему с

делением.

U p =

Pop. О +

Рсф, 1*1 +

•••

+ P a p , A

( О

(таблица

умножения

«мнимых

единиц»

i u

i2,

in),

после чего произведение двух гиперкомплексных

чисел

определяется

по

правилу умножения

суммы

на

сумму,

с последующей

записью

слагаемых

(aaia) (6pip)

в

виде

a a 6p(t a ip )

и

заменой

произведений i a i p

по

форму­

л а м (1).

Рассмотрим такой случай, когда все числа

р^р, о

(«свободные

члены»

в

формулах

(1))

равны

нулю.

Тогда произведение любых двух мнимых единиц

ia, i s

есть снова комбинация мнимых единиц.

Обозначим через М- множество всех гиперкомплекс­

ных чисел

вида

a = a l i, + a 2 * 2 + • • • + anin

( 2 ) .

ма двух таких чисел есть

снова

число

вида

(2). И з

того,

что

сказано выше

относительно

произведений

i a i p ,

следует, что и умножение двух

чисел

вида

(2) дает

снова число вида (2). Таким образом,

множество

обладает

тем свойством, что обе операции — сложение

и умножение — не выводят

за пределы этого множества.

Наличие

такого свойства

позволяет рассматривать зФ

какой

мы

придаем

этому

слову

(о

тех случаях,

когда

систему

si

все ж е можно

рассматривать

как

гиперкомп­

лексную, мы с к а ж е м чуть

п о з ж е ) .

Главное

отличие

системы

si

от

гиперкомплексной

сводится

к

следующему.

К а ж д а я

гиперкомплексная

си­

стема

обязана содержать

некоторый

особенный

элемент

е такой,

что

е • а —а

• е =

а

д л я любого элемента а из данной системы

(этим

эле­

ментом

е является

1 + Oil - f - . . . - f - 0 i n ) ;

между

тем

в

си­

стеме

si

элемент с таким

свойством,

вообще

говоря,

не

существует. Имеется и еще одно

отличие, тесно

связан­

ное с первым: в гиперкомплексной системе "можно

гово­

элемент а

данной системы (по

определению,

это

есть

произведение

элементов

k = k +

Ot'i +

• • • +

0in

и

a);

в системе

si,

напротив,

произведение ka

не имеет

смыс­

этого достаточно ввести

операцию

умножения

действи­

тельного

числа на

элементы

из

si

по формуле

k {ali[

+

a2i2 +

. . . + aJn) = ka^

+

ka2i2 +

..'.'+

kanin.

Снабженное

такой

операцией,

множество

si

(с

уже

имеющимися

в нем сложением

и умножением)

превра­

щается в объект, носящий специальное

название

алгеб­

ра размерности

п или просто

алгебра*).

2°. Определение

алгебры. Д а д и м теперь

точное

опре­

деление

алгебры.

Алгеброй

размерности

п

называется

множество

вы­

ражений

вида

ai*i + a2*Y+

••• +'anin

(2.)

(где

аи

а2, . . . , ап

— произвольные

действительные

чис­

ла,

a

i2,

i„ — некоторые

символы),

снабженное

следующими

операциями: .

*) Таким образом, слово «алгебра» имеет два смысла: алгебра

как раздел математики и алгебра как математический объект

с оп­

ределенными свойствами.

/

k (a,i,

+ a2i2

+

... +

aJn)

=

kaxi{

+

ka2i2

+ ,..

+ kanin;

(3)

2)

операцией

сложения:

(a,i, +

a2i2 + . . .

H - a«i„) +

( M i +

62 i2 +

• • •

+

W

=

= (a,

+

&,) i, +

(a2

+ b2)

i2

+

. . .

- f

(a„ +

6„) i„;

(4)

3)

операцией

умножения,

з а д а в а е м о й

таблицей

вида

*a*"p =

Pap, 1*L +

Pap.

2*2 +

•••

+

Pap.

гс'л>

(5)

где a,

р — любые номера

от

1 до п

(таблица

используется

для нахождения

произведений

(«1*1 +

«2*2 +

• •

+

anin)

+ b2i2

+ . . .

+ bnin)

в точности

так

же,

как

в

случае

гиперкомплексной

си­

стемы) .

«таблицей умножения»

(5), т. е. некоторым набором

иъ

чисел Pap.v В принципе

эти числа не подчинены

ника­

ким условиям; любой набор их задает некоторую

ал­

гебру.

3°. Гиперкомплексная

система — частный

случай

влекли»

понятие

алгебры из

понятия

гиперкомплексной

системы,

следует

отчетливо

уяснить,

что

понятие

ал­

г е б р ы — более

широкое;

иначе

говоря,

что

любая

ги­

перкомплексная

система

может рассматриваться

как

ал­

гебра той

же

размерности.

Разъясним

это

подробнее.

Пусть

дана_

алгебра

состоящая

из

элементов

«i*i + «2*2 +

• •

+

anin

с таблицей

умножения

*'a*p =

Pap.l'l +

Рар,2*2 +

•••

+

Pap,

Jn

(а, р — любые

номера

от

1 до п),

причем

единица

ix

обладает особым

свойством:

M a =

*а

и

*а*1

== *а

Д л я

в с е Х

а

ОТ

1

ДО П.

(6)