Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа

.pdf

Скачиваний:

109

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

a v2 пропорционален р. Тогда
	qvq~l =qvxq-y	+ qv2q~l		=	<7t',<7~1 + v2.
Отсюда	видно, что составляющая		и,	поворачивается		на угол 2<р
вокруг	р, а составляющая v2 остается				неизменной. В итоге		весь
век гор v поворачивается вокруг оси р на угол 2ср.
Таким образом, мы доказали,			что при повороте			вокруг	оси р
на угол	2ср произвольный	вектор v	переходит в qvq-*, где

q = cos ф + р sin ф.

Учитывая это, мы скажем, что указанный поворот соответствует кватерниону q.

6° Задача о «сложении» поворотов. Еще раньше мы обещали проиллюстрировать применение кватернионов па примере трудной задачи из геометрии. Сделаем это теперь. Задача, о которой будет идти речь, носит название задачи о сложении поворотов (в про странстве).

Пусть производится поворот на угол		2ф\| вокруг некоторой оси,
характеризуемой	единичным вектором р\\	следом	за ним пусть про
изводится другой	поворот—на угол 2ф2	вокруг	оси, характеризуе

мой единичным вектором р*. В итоге получим некоторый новый поворот (результат последовательного выполнения двух данных). Спрашивается, как найти ось и угол результирующего поворота?

При первом повороте произвольный вектор v перейдет, как мы

знаем, в и, = q^qj',		где q\ = cos ф1 + рЛ sin q>i. При втором по
вороте vt	перейдет в
(заметим,	что (<72 д,)~'	равно q~lq2~\ так как (<72<7i) (^Г'^Г') = О"

В итоге последовательного выполнения двух поворотов вектор v перейдет в

	«2 = (<Mi) v (q2q\)~l.
Таким образом, в результате последовательного			выполнения
двух поворотов,	соответствующих кватернионам	qt и q% получается
третий поворот,	соответствующий кватерниону	q2qt.
Вычислить кватернион q2q\ не составляет		труда — ведь прави

ло умножения кватернионов известно. Найдя q2qu представим этот кватернион в виде

	92<7i =	cos -ф Ч- р sin -ф,		(5)
где р — вектор длины	1. Тогда	результирующий	поворот есть	пово
рот вокруг оси р на	угол 2г\|). Как видим, ответ получился			с по
мощью кватернионов весьма просто!
Рассмотрим пример. Пусть		первый поворот	совершается	вокруг

оси х на угол —, а второй — вокруг оси у на тот же угол. Первому

л ,	. . п 1^2 ,, , ..
повороту отвечает кватернион qi = cos— +	/ sin -т —1-^- (1 + О»

1^2"

а второму — кватернион q2 = —g- (1 + /)• В данном случае

Чтобы представить этот кватернион в виде (5), заметим, что дей ствительная часть его равна — =cos-^-. Исходя из этого, запишем

		= cos — +	- r L r (i + } —k)	sin—:
		3 •	Ll^3	3
. таким образом, результирующее вращение				происходит	вокруг
вектора	р —	(г + 1 — к) на угол —.
		у 3	3
§ 5. Гиперкомплексные			числа
1°.	Определение гиперкомплексной			системы	чисел.

Р а с с м о т		р е н н ые нами комплексные, двойные, дуальные
числа	и	кватернионы	охватываются более общим поня
тием	гиперкЬмплексной		(сверхкомплексной)	системы
чисел.	Теперь, когда		мы знаем наиболее простые при

меры таких систем, нам -будет легче понять общее опре

деление гиперкомплексной системы чисел.
Зафиксируем			натуральное число п и рассмотрим вы
р а ж е н и я		вида
		«о +		+ <з2£2 + . . .	+anin,		(1)
где а0,	а ь й2 ,		ап	— произвольные		действительные
,числа, а ц, i2,			i n — некоторые символы (которые мы
будем	иногда называть «мнимыми				единицами») . П р е ж
де всего условимся, что равенство двух таких							выражений:"
а0	+	<Mi +	• • • +	aJn = b0.+	+	. . . +	bnin,
означает,		по определению, что
		а0	— Ь0, а1 = Ьь . . а п = Ьп.

Д л я сокращенной записи выражений (1) будем поль зоваться полужирными латинскими буквами а, Ь, с, и,

31-


v, до, . . . , делая		исключение только для			выражений	вида
		а „ + 0 « 1 + ( И 2 + . . .		+01п,
которые	иногда	будут	обозначаться	просто а0.
Н а д	выражениями		(1) мы будем		производить	дей

ствия сложения, вычитания и умножения . Сложение и

вычитание определяются				формулами
( в о + « 1 * 1 +	••• + anQ		+	(b0 + b^i + . . .	+£„*„)		=
	=	( а о + >,,) + ( а , + &,),+ . . . +				( a „ + £„)*„,
(a0 +- a,£! +•	. . . +anin)		— (b0 + 6 ^ , + . . .		+6„<„)		=
	=	(ao —6o) +		(oj — bi) t, + . . .	+	(a„ — 6„) i„,
а умножение		вводится	следующим образом .
З а д а е т с я	«таблица		умножения», т.		е.	указывается,
чему равны всевозможные произведения

*а'р>

где а и р — любые номера от 1 до п (всего таких про изведений имеется, очевидно, и X п = я 2 ) • К а ж д о е про изведение 1^3 должно представлять собой снова выра жение вида (1), т. е.

	М р =	Ро + Pih +	Рлк + ••• + Pain,		(2)
где ро,	Р\,	рп — некоторые		действительные	числа.
Л ю б о й	комбинации номеров а, р отвечает, конечно, свой
набор	коэффициентов р0,		Ри	• ••> Рп', чтобы	подчерк

нуть зависимость этих коэффициентов от a, Р, мы за

пишем	pa (}, i вместо ри тогда				(2) заменится, быть				может,
более громоздким, но зато				охватывающим			сразу все слу
чаи равенством
	tatр =	Pap, 0 +	Pap, 1*1 +	Pap, 2*2		+ • • •	+	Pap, Jn-	(3)
Набор чисел pa p,V и задает собой таблицу								умножения
(всего	этих	чисел	д о л ж н о		быть	гс2(гс+1)		— по	f i + 1
числу дл я каждой комбинации a, Р).
Например, в случае комплексных чисел таблица ум
ножения состоит из единственного						равенства
			i . i =	— 1 + О*.
за

Вслучае кватернионов таблица содержит девять ра

венств и может быть записана следующим образом:

					i	3	ft
				- 1		ft	—/
			/	—ft-		—i	i
			ft		i	—i	- 1
Понятно, что		к а ж д а я		клетка		заменяет		одно	из	равенств
(3) таблицы умножения: например,
		t'.;	= fe =		0 +	0j +	0 / +	Ik.
После того		как	з а д а н а		таблица		умножения,			мы	опре
деляем	произведение
(а0	+ а,*,	+ . . .		+ anin)		(b0 +	Ь{ц + . . .		+ bnin)
по обычному правилу умножения суммы на									сумму		( к а ж
дое слагаемое		первой,		суммы		у м н о ж а е м		на	к а ж д о е		ела?

гаемое второй и результаты суммируем), причем про

изведения	вида ' (aaia)	• (b$i$)	переписываем	к а к
a a6p('ajfl) и	заменяем	по формуле (3); затем		при

водим подобные члены. В итоге получается снова не


которое выражение			вида	(1).
Множество всех в ы р а ж е н и й вида					(1), в	котором опе
рации сложения и умножения введены						как	указано
выше,	'называется		гиперкомплексной		системой		размер
ности	п -\- 1, а	сами выражения (1)			называются		гипер
комплексными		^шелами.		К а к следует из		приведенного
выше	описания, гиперкомплексная система					д а н н о е раз

мерности полностью определяется своей таблицей умно жения .


	Отметим некоторые свойства операции умножения,
справедливые		в любой		гиперкомплексной	системе.
	1) Умножение действительного числа а, рассматри
ваемого к а к		гиперкомплексное число a +			Oij +	• • • + O'n,
на	произвольное		число	Ь0 -\- Ь\Ц J ^ . . . - j - bnin		сводится
2	И. Л. Кантор, А.		С. Солодовников			33

к умножению

всех

коэффициентов

Ь0, Ьи

Ьп на а\

(а +

0г,+ . . .

0i„)

(b0 + Ь{ц

+ . . .

+bnin)

= abQ

+ ab^i +

... +

abjn

(&0 +

6,£,+ . . .

&„i„)(a +

0i1

+ . . .

+0i„)

частности,

а 6 0

аб^, +

• • •

+-abnin.

1 . d = г»

• \

=v,

где г; — любое

гиперкомплексное

число.

Если и

м v — гиперкомплексные числа, то

(аи) (bv)

= (ab)

(uv),

где а и b — произвольные

действительные

числа.

' 3 )

Справедливы

оба варианта

(левый и правый)

рас

пределительного

закона:

= UV +

и (v + w)

UW,

(v -f- w) и =

wu.

Свойства 1), 2), 3) очевидным образом следуют из

самой процедуры умножения . Е щ е

раз подчеркнем,

что

они

справедливы

любой,

гиперкомплексной

системе.

2°. Коммутативные, ассоциативные системы,

системы

с делением. В

противоположность указанным выше свой

ствам другие «хорошие» свойства операции умножения, такие, как

uv — vu	(переместительный закон)
и
(иг») w — u (vw)	(сочетательный закон)

выполняются далеко не в к а ж д о й пшеркомплексной си стеме. Если д л я любых двух чисел и и о, принадлежа щих данной гиперкомплексной системе, справедливо ра венство

	uv	=	vu,
то т а к а я система называется				коммутативной.
В этом месте необходимо сделать замечание по по
воду дальнейшей терминологии.				Д е л о	в том, что в со
временной	математике	вместо		слов	«переместитель
ность» и	«сочетательность»		приняты		имеющие соответ-
34

ственно тот ж е смысл термины «коммутативность» и «ассоциативность». Начиная с этого параграфа, мы бу дем пользоваться только ими.

Рассмотренные ранее системы комплексных чисел, двойных и дуальных являются коммутативными; напро тив, система кватернионов не коммутативна.

Нетрудно сообразить, что должно означать условие коммута тивности в терминах таблицы умножения (3). Поскольку в случае коммутативной системы должно быть

ia ip = ipia		(a, Р — любые номера от 1 до п),
то
Pap. о + Pap.l'l +	••• +	Pap, nin = Ppa-.o +	Ppa, i«i + •••	+Ppa,n«n
и, следовательно,
Pap,o =	Ppa,o.	Pap.l = Ppa,I. • • ч	Pag, n — Ppa, n	(4)

(a, P — любые номера от 1 до п).

Обратно, если выполнены эти равенства, то данная система, оче видно, является коммутативной. Таким образом, наличие соотноше ний (4) между числами pap.v задающими таблицу умножения, есть необходимое и достаточное условие коммутативности.

В случае, когда дл я любых трех чисел и, v, w из данной гиперкомплексной системы выполняется равен ство


		(uv)		w = u (vw),
система	называется		ассоциативной*).
Условие ассоциативности тоже, разумеется, означает наличие
определенных		соотношений	между числами Рар,^ каких именно —
предоставляем		выяснить читателю.
К а к	мы знаем, системы комплексных, двойных, ду
альных	чисел, а т а к ж е			кватернионов являются ассо

циативными. Простой пример неассоциативной системы

дают числа вида a-\-bi-\-cj		с таблицей умножения
j 2 = o ,	/ 2 = о, j i = o, ; / = / .
В этом случае (ii) j	Ф i (ij).

Согласно определению гиперкомплексных чисел, над ними можно производить действия сложения, вычитания и умножения . Что касается деления, то оно возможно для очень немногих гиперкомплексиых систем,. Впрочем,

*) Заметим здесь, что, определяя гиперкомплексную систему, мы отступили от. исторической традиции. Обычно условие ассоциа тивности включается в определение гиперкомплексной системы.

2* 35

здесь следует точно сказать, что подразумевается под

возможностью		деления.
Говорят, что д а н н а я				гиперкомплексная система				есть
-система	с делением		(или что в ней возможно				деление),
если к а ж д о е из уравнений
и				vx = и
				xv = и

имеет	решение, и		притом		единственное, при любых и,
v, где v фО.		Решение		первого уравнения			называется
левым	частным	от деления и на v, решение					второго —
правым	частным.		Вообще		говоря,	левое и правое		част
ные не	совпадают.
Примерами		систем с			делением	являются	комплекс

ные числа и кватернионы. Размерность первой из этих систем равна 2, размерность второй равна 4. Удивитель


ный факт, о котором мы еще" будем						говорить впослед
ствии,	установлен		совсем	недавно:		гиперкомплексные
системы	с делением		могут	иметь	только		размерности 2,
4 и 8. Отсюда		видно, что в общей			массе		гиперкомплекс
ных систем системы с делением встречаются								весьма ред
ко. В частности, гиперкомплексная						система,		состоящая
из чисел вида		а + Ы -f- cj с любой			таблицей			умножения
(размерность		такой	системы равна			3),	является систе

мой без -деления.

§ 6. Процедура удвоения. Октавы

Мы р а с с к а ж е м здесь еще об одной замечательной си стеме гиперкомплексных чисел, называемых октавами.

Так же, как для комплексных чисел и кватернионов, д л я октав определены не только сложение, вычитание и

умножение, но и деление. Кроме			того, рассмотрение ок
тав позволяет сделать еще один			шаг в «задаче	о	сумме
квадратов», поставленной		в конце § 3, и получить			тож
дество	(!) дл я п = 8.
К а к	показывает само	название «октавы»		(восьмер

ные числа), это — выражения, состоящие из восьми чле

нов. Д л я записи		таких выражений необходимо иметь 7
«мнимых	единиц» ц, i2,		h- И т а к ,	октавы — это вы
р а ж е н и я	вида		"
а0 +	<Mi +	a2i2 + a3i3 +	а4 *4 + a5i5	+ ' a 6 t 6 + a7i7,

где а0, аи	а2, а3, а4,	а5, aSt	а7 — произвольные	действи
тельные	числа.
Закон	умножения	октав	довольно сложён,	поэтому -

определять его сразу мы не будем. Вместо этого мы опи шем одну процедуру, которая позволяет весьма есте ственным путем строить октавы, исходя из кватернионов. Мы назовем эту процедуру удвоением *) и определим октавы как «удвоенные» кватернионы. Впрочем, про цедура удвоения имеет отношение не только к о к т а в а м : мы увидим, что и сами кватернионы получаются удвое нием комплексных чисел и, в свою очередь, комплекс ные числа получаются удвоением действительных чисел.

1°. Другой подход к определению кватернионов. Нач нем с некоторого анализа системы кватернионов. Про

извольный кватернион

q — а + Ы +

cj +

можно

представить,

пользуясь

тем,

что Ц =

k, в виде

или

q =

{a +

bi) +

{c +

di)j

q =

2, +

z2j,

где Z\ =

а +

Ы,

с +

di.

Посмотрим,

как

при таком

способе

изображения

ква

тернионов запишется их закон умножения .

Пусть

наряду

q з а д а н

еще один

кватернион

Г = Wi

w2j.

П е р е м н о ж и в

г,

получим

qr = (z,

z,/)

(га;, +

w2j)

zlwi

(w2j)

(z2j)

и», +

(г,/) (w2j)

= z,sy,

z{w2j

z2[wx +

z2jw2j

(1)

(мы убрали скобки в произведениях, так как умножение кватернионов обладает свойством ассоциативности). Заметим теперь, что поскольку ij = —//, то (a-\-bi)j —. = j(a— bi), т. е.

z} = jz.

*) Часто ее называют процедурой Кэли — Диксона, ,по именам математиков А. Кэли — автора системы октав — и Л. Диксона, впервые рассмотревшего эту процедуру.

К р о ме того, легко проверить,	что любые два элемента
z и w вида а + Ы перестановочны:
zw —	wz.

Исходя из этих свойств, можно переписать второе и третье слагаемые в правой части (1) соответственно в виде w2z\j и z2W\j, а вместо четвертого слагаемого на писать z2w2j2, или — w2z2. Следовательно,

ЦТ = {zxWx

— w2z2)

(w2Zi

z2w,)

j .

(2)

О б р а щ а я с ь

представлению

кватерниона

виде

<7 =

Z\ -\- z2j,

отметим

один

важный

момент.

Поскольку

i2 — — 1 ,

то

все

кватернионы

a -f- bi,

частности,

z2, можно трактовать

как комплексные

числа. Вместе

формулой

(2)

это приводит нас к

такому

заключению.

Кватернионы

можно

определить

как

выражения

вида

Z\-T-Zij,

где

z u

— произвольные

комплексные

числа,

a j — некоторый

символ,

причем

закон

умножения

таких

выражений

задается

формулой

(2).

Это — очень

существенное наблюдение. Оно поможет

нам

понять

процедуру

удвоения

гиперкомплексных

чисел.

2°. Удвоение

гиперкомплексной

системы.

Определе

ние октав. Введем ряд определений. Пусть задана ги

перкомплексная		система 41,		состоящая	из чисел	вида
	и = а0 + axix		+ a2i2	+ . . . + anin
с некоторым	законом умножения.
Условимся называть			элемент
	и = aQ — axix		— a2i2	— . . . — anin
сопряженным	к	и.
Удвоением	системы		%L называется		новая гиперком
плексная система °L№ размерности вдвое большей						(чем

°U,), которая строится следующим образом. Ее элементы

представляют собой	в ы р а ж е н и я вида
	" i	+ и2е,		(3)
где их, и2 — произвольные		элементы	из Я1,	а е — неко
торый символ. Сложение элементов из				произво
дится естественным	образом:
(и, + и2е) + (г», + v2e)		= (и, + vx)	+ («г +	v2) е, (4)

.38


а умножение определяется по формуле
(«! +	и2е) (i>, +		v2e)	= {uxv{ — v2u2)	+ (г>2и, +	a2i>,) е (5)
'(черта обозначает сопряжение в Щ).
Читателю		может		показаться странным,		что, опреде
л я я систему		°U^\	мы отступили, во-первых,			от	обычного
способа	записи		гиперкомплексных		чисел, и,		во-вторых,

от задания умножения с помощью таблицы. Числа из

	должн ы были бы иметь вид
ao +	a i ' i + ••• + anln + a n +		l i n + l +	. . . +	a 2 n + l i 2 n + l ,		(6)
однако		мьг предпочитаем	более	короткую		запись	(3).
Дело	в	том, что каждому	выражению		(6)	можно	со

поставить два элемента исходной гиперкомплексной си стемы:

Щ =		а 0 +	«1*1 +	... +	anin,
и2	=	а п + 1	+ an+2ix	+ . . .	+ #2n+iirt>
а значит, и	выражение (3)			(оно	является как бы «ко

дом» гиперкомплексного числа (6)) ; и обратно, ра зумеется, если задано выражение вида (6), то по нему можно составить ( 3 ) . ' К р а т к а я запись (3) по сравнению

с(6) имеет существенное преимущество: вместо того,

чтобы з а д а в а т ь умножение в °l№ с помощью таблицы, мы можем записать его в обозримой форме (5). Ко нечно, из формулы (5) можно извлечь таблицу умно жения «мнимых единиц» i u i2 hn+i- В общем виде заниматься этой таблицей мы не будем, но для наибо

лее	интересующего нас случая октав приведем ее даль
ше	полностью.

Итак, мы определили процедуру удвоения. Примером может служить переход от комплексных чисел к кватер

нионам: то, что было сделано в начале этого	параграфа,
фактически означает, что система кватернионов		есть
удвоение системы комплексных чисел. Легко	т а к ж е	про

верить (читателю рекомендуется сделать это самостоя

тельно), что	комплексные числа		получаются	удвоением
действительных.
Главной целью		этого п а р а г р а ф а , как уж е		говорилось,
является построение системы октав. Определение					октав
может быть	сформулировано' теперь в нескольких				сло
вах: система	октав	есть удвоение	системы	кватернионов:
Все, свойства	системы октав получаются, естественно, из

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 154 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ