книги из ГПНТБ / Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа

этот

кватернион — чисто

м н и м ы й * ) .

Таким

образом,

кватернионы

Ы + cj +

dk,

и

только

они,

могут

быть

охарактеризованы условием, что их квадраты

представ­

ляют

собой действительные

числа

^ 0 . Учитывая

это,

можно дать другое описание операции сопряжения:

для

произвольного

кватерниона

q

берется

его

единственное

представление

в

виде

а +

q',

где q' —

кватернион,

квад­

рат

которого

есть действительное

число

^ 0 ,

тогда

q —

a — q'. Это

замечание

нам

пригодится

впоследствии

в §

17.

Непосредственная

проверка

показывает,

что опера­

ция

сопряжения

обладает

такими

свойствами:

<7t + Яг =

Я\ +

<7з

( 9 )

(сопряженное

к

сумме

равно

сумме сопряженных)

и

комплексных чисел вместо z2Z\

можно

писать

z\Z2

(ибо

произведение

не зависит

от порядка сомножителей),

в

то время как д л я кватернионов, вообще говоря,

Ц2Ц\

не

равно q~\q2.

Чтобы

убедиться

в

справедливости

равенства

(10),

достаточно

проверить

его

д л я

каждого

из

случаев,

ког­

д а вместо

цх

и q2

берутся

i, j ,

k. Проверка легко осуще­

ствляется

с

помощью

таблицы

(2).

Например,

и =

— 1 =

— 1,

но

и

и =

(— /) (— i) =

i2

=

— 1,

ij =

k —

— k,

но

и

/£ =

(— / ) ( — i) — jl=

—

k

и т.

д.

5°.

Выполнимость

деления

в

системе

кватернионов.

П р е ж д е

всего

обратим

внимание

на

существенное

от­

личие в самой постановке вопросов о

делении

кватер­

нионов

и делении "комплексных

чисел. Д л я

комплексных

*)

Действительно,

для

кватерниона q =

а +

Ы +

с) +

dk

имеем

q* == (а

+

q') (а + q')

= а2 + q'2

+ Чац' =

а2

-

Ь2

-

с 2

-

d2

+

2aq'.

Если

это

выражение

является

действительным

числом

и а ф

0,

то

q' =

0;

но тогда

q =

а

и,

следовательно,

qz

не

может быть ^ 0 .

чисел, как

помнит

читатель,

частным от деления

z\ на

z2 называется решение уравнения z2x

=

z\.

Но

д л я

ква­

тернионов

произведение зависит

от

порядка

сомножи­

телей,, поэтому

вместо

одного

уравнения

нужно

рассмат­

ривать

два:

q2x =

qi

(11)

и

xq2 = q{.

.

(1Г)

Соответственно этому решение первого - уравнения

бу­

дем

называть

левым

частным

от деления

q\ на q2 и

обо­

значать

хл,

а

решение

второго — правым

частным

ха

(в

случае

комплексных

чисел оба частных,

очевидно,

сов­

п а д а ю т ) .

Чтобы

решить уравнения

(11)

и

(11'). применим

тот

ж е

самый

прием, что и в случае

комплексных

чисел.

Умножим

обе

части

уравнения

(11)

слева

сначала

на

q2,

а затем

на

, 1 ,г

.

Получим

Аналогично

находится хп:

_

1

• В качестве примера

найдем левые и правые частные

от деления k

на 1 + i +

k:

* л = | ( 1 - * - £ ) & = у ( £ + / + 1 ) ,

Итак,

мы

установили

два наиболее в а ж н ы х свойства

системы

кватернионов:

6°. Модуль

произведения.

Ещ е

одно в а ж н о е . с в о й ­

ство

кватернионов

состоит

в том, что модуль

произве­

дения

равен произведению

модулей.

Доказательство в

точности такое

же, как и в

случае

комплексных

чисел;

в нем используется

формула q\q% — q~2q\ и свойство со­

четательности

дл я

умножения

кватернионов.

Вот это

доказательство:

kit e

Р =?= (tete) (<7ite) = (tfite) Ш\)

= 7i (tete) <7i =

k i

PI te P-

k . te P = k , PlteP.

(12)

+ {ас' + с о 7 +

db' — bd'f

+ (ad' + da' + be' -

cb'f.

(13)

Напомним,

что в

случае

комплексных чисел

равен­

ство

| z 1 2 2 | 2 =

| г ] | 2 j z 2 | 2

привело

нас

к

аналогичному

тождеству

( а 2 + Ь2) (а'2

+ Ь'2) =

{аа' - bb'f

+

{ab' +

ba'f,

(14)

которому мы д а л и такое истолкование:

произведение

суммы двух квадратов на сумму

двух

квадратов есть

снова сумма двух квадратов . Аналогичное

истолкование

допускает,

очевидно,

и

тождество

(13):

произведение

суммы

четырех

квадратов

на

сумму

четырех

квадратов

есть снова

сумма

четырех

квадратов.

Отвлекаясь от комплексных чисел и кватернионов,

естественно

поставить

теперь

такой

вопрос: дл я

каких

п найдется

тождество

«произведение

суммы

п квадра ­

ио

это слишком просто.

При п = 2 и п = 4

ответ, как

мы

видим,

т о ж е является

положительным — это заранее

совсем не

очевидно! А

как обстоит

дело

с]п

= 3?

С п = 5, б и т. д.? Ка к уж е отмечалось,

этот вопрос

дол­

пывающий

ответ

был получен

в 1898 г.

немецким ма­

тематиком А. Гурвицем, который доказал

удивительную

теорему: тождества

интересующего

нас типа

возможны

только

при

п—1,

2, 4, 8 и невозможны

ни при каких

других

п.

Чтобы

у

читателя

не оставалось

никакой

неясности

в постановке «задачи о сумме квадратов»,

сформули­

руем ее сейчас более точно.

Пусть

аи

а2,

а„

и bu

Ь2,

Ьп

— два ряда

букв. Назовем формой

второй

степени от этих

букв лю ­

ным

множителем. Например, выражение

а,6, + 8a{b2 — 2а3Ь5 +

За3Ьп

есть

форма второй

степени. Точная

постановка

«задачи

о сумме квадратов» состоит в

следующем. Требуется

ответить:

каким

должно

быть

число

п и

как

долоюны

быть

выбраны

п

форм

второй

степени — обозначим

их

для

краткости

Ф ь

Ф 2 , . . . , Ф„ — для

того,

чтобы

было

справедливо

тождество

{а\+а\+

. . .

+«*)(*?

+

*! + .--.

+^)-=

=

ф 2 +

ф 2 +

. . . + ф

2 .

( , )

Обнаруженные

нами

ранее тождества дл я комплекс­

кого типа. Д л я комплексных

чисел:

(а\ + a2) (b2 + bj) = {afi{

-

a2b2f

+ {afi2

+

a^f

и дл я кватернионов:

(a2

+ at + al + a*) (b2

+ b\ + b\ + b2)

=

=

(a,6, — a2b2 — a3b3

—

афл)2

+

(ахЬ2 +

a2b{ + a3 64

— a4 63 )2 +

+

(a,63 + a3bi + аф2

—

a2bAf

+

(a,u4 +

a4bx +

a2b3

— a3b2f

Ы + с) + dk,

где

6, с, d — действительные чис­

ла,

будет представлять

собой не­

который вектор. Этот вектор идет

из

начала координат

О в точку М

с координатами Ь, с, d.

Возвращаясь к кватернионам,

заметим, что каждый

кватерниои

Рис. 2.

q = а + Ы + с] + dk

представляет собой формально сумму действительного

числа а

Рассмотрим теперь два чисто векторных кватерниона

qi=^ bii + ей + dik и

q2 — b2i + c2j + d2k.

Перемножая их по правилу умножения кватернионов, будем

иметь

<7i?2 = — (&i&2 + С1С2 + d{d2)

+ {cid2 — d{c2)

i+

+

(d1b2

— 6,d2 ) j +

(b,c2 — Cibo) k.

(1)

Выпишем по отдельности

числовую и векторную части кватер­

ниона <7i<72-

Числ. часть <7i</2

= — {b\b2 + С\С2 + dtd2).

(2)

Вект, часть qtq2

= {cid2 — d,cj>) / +

+

(d,62

— & A ) i +

( й 1 с з — с 1 ь г ) k.

(3)

2°. Скалярное

произведение.

Каждое

из

выражений (2), (3)

имеет определенный геометрический смысл. Сумма b\b2 + ct c2

+ did2,

как

мы сейчас

покажем,

равна

|9i|Ifolcos ср,

т. е. произведению

длин

векторов

9i

и q2

(или, что то .же,

модулей кватернионов 9i

и <7г) на косинус

угла

между

ними. Такое

произведение

прихо­

дится

рассматривать

в

математике

ш

чрезвычайно

часто; оно

носит

специ­

альное

название

«скалярное произведе­

ние

векторов q\

и 92» (подчеркнем, что

скалярное произведение

есть число, а не

вектор) и обозначается обычно (91,92).

Таким образом, по определению,

мы же хотим доказать

формулу

(<7i. <fe) = М 2 +

cie2 + d,d2 . (4)

На рис. 3 изображен

треугольник,

У

построенный на векторах 91 и 92. Одна

р и с _ з_

его вершина находится в начале коор- -

дииат, две другие вершины — точки Mi

и Мг (концы векторов

91 .и 92), координаты которых равны соот-.

ветственно b\, си di и 62, с2 , d2. Имеем

OM] =

b\+c\+d\,

OM\ = bl+c\

+ dt,

^

ЩМ% » ( i , -

b2f + (С , - o2f

+ (dt

-

d2f,

откуда

MtM22 = ОМ2 + ОМ\ - 2-(b,6л + С ] с 2

+

dld2).

<fi на q2 равно нулю, значит,

cos ср =

0,

и

векторы qi, q2

перпен­

дикулярны. Стоит

еще заметить,

что в случае, когда

q\ и q2

пер­

пендикулярны,

(/|(?2

= — M i l

это сразу

же видно

из-формулы (1),

если учесть, что действительная

часть q^q2

равна нулю.

части

про­

3°.

Векторное

произведение. Что касается векторной

изведения 'tfiffo т. е. выражения,

стоящего

в

правой

части

равен­

ства (3), то установить

ее

геометрический

смысл

несколько

труд­

нее. Это выражение называют

векторным

произведением

вектора q\

на q2 п обозначают [qt, q2]:

[<7i. <7г] =

(с\йг

— d:c2)

i +

{йф2

— b[d2)

j +

{biC2

— cxb2)

k.

Оказывается,

вектор

[q\, q2]

перпендикулярен

каждому

из век­

торов

<7i и q2,

а

длина его равна

Iftlsin (р или, что то же, —

площади S параллелограмма, построенного на векторах qi

и q2.

Чтобы доказать перпендикулярность векторов [qt, q2] и q\, до­

статочно, как мы знаем,

проверить,

что действительная

часть

про­

изведения этих кватернионов равна нулю,

пли что их произведение

является «чистым» вектором. Но в силу

(1) и (4) имеем

[q\, qi\ =

= Я\Яг + (<h, q2),

поэтому

Я\ [Я\< Я2] =

Я\ {Я\Я2

+

(Я\> Я2)) =

Я\Я2 +

(Я\. Я2)Я\

=

=

— k i \2Яг +

{Яь

Я2)Я\*)-

Справа получилась сумма двух векторов, т. е. снова вектор.

Перпендикулярность

векторов

[<?i, q2]

и q2

доказывается

анало­

гично.

Найдем

теперь

длину

вектора

[qi, q2].

Квадрат

ее равен

(c,d2 — d,c2 )2

+

(d,62 — 6,d2 )2 +

(bic2

— c,62 )2

или (после тождественных

преобразований)

(b\ + с2 +

df) {b\ +

с] + 4)

- {b\b2

+ C | C 2

+

did2)2.

Последнее

выражение

есть

|<7i|2|<72|2—(<7i. 9г)2

«ли, если

вспо­

мнить определение скалярного произведения,

ki|2 k2 |2 -|<7il2 l<72|2 cos2 <p, т . е .

| ^7, I21 <7212

Итак,

квадрат

длины

вектора

[q\,q2]

равен

|<7i|2|<?2|2sin2(p,

т. е. S2 ,

что и требовалось

доказать.

Обнаруженные

нами

свойства

вектора

[qi, q2]:

перпендикуляр­

ность к <7i и q2, а также

равенство

его длины

S — еще не опреде­

ляют его полностью; такими свойствами обладают

ровно

два вза­

имно противоположных

вектора

(рис. 4). Какой

же

из

них есть

{<7ь q2]7

Последний

штрих,

завершающий

описание

вектора

[q\, q2],

заключается

в

следующем:

векторы qu

q2, [?ь q2]

ориентированы

в пространстве

подобно i, /, It.

*)

В процессе

вычислений

мы заменили

qy числом

— | ? i | 2

. Это

можно

сделать в силу

формулы (1): из этой формулы

следует

я\

= ~ {Ь\ + А

+

d])

+

Qi + 0/ + Ok = -1 q{

f.

q = а +

Ы + cj +

dk

— произвольный кватернион, модуль которого равен 1:

Запишем, что

a J + 62 + c2 + d 2 = l .

Я =

а +

д',

где q' есть вектор Ы +. с/ -f dk. Так как

|а2 |-|-|<7'|2 = 1,

го суще­

ствует такой угол <р, что

а = cos ф,

| q' | =

sin ф.

Очевидно, q'= \q'\p,

где р — вектор

длины 1. Следовательно,

q = cos ф +

р sin ф.

Еще раз подчеркнем,

что в таком виде

(где р — вектор

длины 1)

Итак, если

'р — какой-либо

вектор

длины

1, a v —

произвольный

вектор,

перпендикулярный

р,

то умножение

v

слева на

кватернион

q — cos ф +

р sin ф

осуществляет поворот вектора v вокруг

оси р на угол

ф.

До некоторой степени этот факт можно рассматривать как

геометрический

смысл

умножения

(слева)

на q;

разочаровывающим

моментом является то, что вектор

о

выби­

рается не произвольно, а только перпенди­

кулярно р.

5°. Представление

произвольного

пово­

рота в пространстве с помощью кватернио­

нов. Можно, оказывается,

записать

в ква-

терщшнной форме и поворот вокруг

оси р

любого

вектора

v, но только для этого при­

дется

усложнить

действия

над и: вместо

умножения на

q

слева потребуется

взять

более сложное

выражение

Рис. 6.

qvq-K

Здесь q~l обозначает кватернион,

обратный

q,

т. е.

такой, что

qq~L =

1. Легко видеть, что

поворотом

вокруг оси р на угол

(рис. 7). Обозначим его, как раньше, qv.

Итак,

qvq-

•• qv cos ф + qv sin ф.

Выражение, стоящее справа, представ-,

ляет собой вектор, полученный из qv

поворотом вокруг р на угол ф. Если

из

v

еще

учесть,

что сам вектор

qv получен

таким же поворотом, то

и. окажется, что qvq~l

получается

из v поворотом вокруг р на угол 2ф.

тор

Для того, чтобы рассмотреть общий случай, заметим: если век­

v

пропорционален р (т. е. v = Хр),

то, очевидно,

qv = vq и

qvq~l=vqq-1

=

v.