книги из ГПНТБ / Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа

вызывает такого ощущения . Посмотрим, нельзя

ли

из

тех

ж е выражений а + Ы

получить

достаточно

разум ­

ную числовую систему, сохранив правило сложения

(1),

но заменив (2) каким-либо

новым'

законом умножения.

Как мог бы выглядеть этот новый закон? В значи­

тельной мере это зависит от того, какими свойствами

мы

хотим наделить новое умножение. С к а ж е м , было бы

не­

лепо

ввести его формулой

(а + Ы) • (с - f

di) = ас-

+

bdi,

а • с =

ас2.

Укажем те требования, которые мы собираемся

предъявить

к новому умножению:

1) Умножение действительного числа а, рассматри­

ваемого

как

элемент

новой

числовой

системы

(a =

a-\-0i),

на

произвольное

число г

=

b -f- ci

д о л ж н о

д а в а т ь

тот

ж е результат,

что

и

в

случае

комплексных

чисел,

т.

е.

и

{а + Oi) (b +

ci) —

ab-\-

act

(b -f- ci) (a +

00

=

ab

+

act-

В частности, это означает, что

д л я

действительных

чисел

новое

умножение

д о л ж н о

совпадать

с - о б ы ч н ы м :

(а + 00

{Ь +

00 =

ab +

Oi.

Поскольку

то

ж е

самое

верно

и

в

отношении сложения

(из

(1)

следует

(а +

Oi) + (Ь+Щ

=

(а +

b) +

0i), то

числовую

систему с

их естественной

арифметикой.

2)

Д о л ж н о выполняться

равенство

(az,)

• (bz2) =

{ab) • (z,z2 ),

где

а

и

b — любые

действительные

числа. Например,

(2i)

(3i) ==

6 Л

3) К а к

для

первого сомножителя, так и д л я

второго

д о л ж н о выполняться

свойство распределительности, свя­

зывающее

умножение

со сложением:

Z\ (z2 + z3 ) = 2 , 2 2 + 2 , 2 3

н

( 2 1 + 2 2 ) 2 3 =

2,23 +

2023.

Конечно, эти

требования

еще не

позволяют

написать

(а + bi) (с + di) = а(с + di) + {bi) (с +

Л )

=

= ас

+

adi + bci + bdi2.

(а +

bi) (с +

di) =

(ас +

bdp) + (ad + Ьс + bdq) i.

(3)

Предмет нашего изучения, таким образом, опреде­

лился . Теперь можно забыть о «наводящих»

соображе ­

ниях, которые привели нас к формуле

(3), и просто

ска­

зать, что

рассматривается

система чисел вида а -\- Ы

с

законом

сложения

(1) и

законом

умножения

(3),

где

р

и

q — два

фиксированных

действительных

числа

(определяющих

собой, так

сказать,

«арифметику»

дан­

ной

системы .чисел).

Внимательно

рассмотрев

формулу

(3), мы

довольно

реместительным

свойством

(z\Zi — ZzZ\)— довольно

не­

ожиданный

результат, если

учесть, что среди требо­

ваний, предъявленных к умножению, такого свойства

не

было! Выполняется и сочетательное свойство ( ( 2 i 2 2

) z 3 =

= 2 1 ( 2 2 2 3 ) ) ,

хотя

проверка этого факта требует несколько

большего терпения. Имеем

[{a + bi){c

+ di)]{e

+

fi)

=

=

[{ас + bdp)

+

{ad

+ bc +

bdq)

i] {e +

fi)

=

=

((ас +

bdp)

e +

{ad

+ bc +

bdq) fp)

+

+

{{ac +

bdp)

f +

{ad

+

bc +

bdq)

e

+

+

(arf +

6g +

fafy)f<7K

(a +

W ) [ ( C + o 7 ) ( e +

f/)]==

=

(a + 60 [(ce 4- d/p) +

(с/ + de + dfa)»']

=

=

{a {ce +

dfp)

+

b (cf +

de+

dfq)

p)

+

+

{a {cf

+

de + rffa)

+

b {ce +

fl?p)

+

b {cf +

rfe +

dfg) g) i;

диться

в

их тождественности

(чтобы

облегчить про­

верку,

мы

подчеркнули

равные

выражения одинаковым

числом

прямых

линий) .

2°.

Сведение

к трем

системам. М о ж е т

показаться, что

поскольку

в формулу

(3)

входят два произвольных дей­

ствительных числа р и q.

Н о

это не совсем так.

Сейчас

мы увидим, что л ю б а я

система

сводится

к одной

из

трех:

I) ' числа

а-{-Ы,

где

i2

——1

(комплексные

ч и с л а ) ;

I I )

числа

а +

Ы,

где

i2

=

1

(так называемые

двойные

числа);

числа а-\-Ы,

i2

= 0

ду­

I I I )

где

(так

называемые

альные

числа).

Сведение любого случая к одному из этих трех осу­

ществляется

следующим

образом.

И з

равенства

i2

=

р +

qi

вытекает

i2 — qi

=

р

или:

' ( < - * ) • = * + £ •

№

Возможны

три случая:

I .

Р +

^

— отрицательное

число, т. е. р +

^- =

— k2,

где k

— некоторое

отличное

от

нуля

действительное

число.

Тогда

Обозначив число, стоящее в скобках, через

/ ,

будем

иметь;

/

= -

1 .

^

2

При этом

/ =

-|- + kJ,

т а к

что любое

число

с +

Ы мо­

жет быть записано в виде

иначе

говоря,

число

а +

bi

допускает

представление

"в

виде a'-\-b'J,

где

Я

=

— I .

Это

означает,

что

фактиче­

ски мы

имеем

дело

с

комплексными

числами.

I I .

Р +

\—положительное

число,

т. е.

p-h-^—k3

(k Ф 0). Тогда

вместо

(5)

получим

Обозначив

на

этот

р а з

число,

стоящее

в

скобках,

че­

рез Е,

будем иметь

£ 2 = 1 .

Таким

образом,

любое

число а -\-Ы

нашей

системы

допускает

представление

в

виде

а'

+

Ь'Е,

но

теперь

Е2 — 1. З а к о н

умножения

таких

чисел

будет

{а' + Ь'Е) ( с Л +

d'E)

=

(аV

+

b'd')

+

(a'd'

+

b'c1)

Е.

И т а к ,

при

р +

—•

>

0

получаем

систему

двойных

чисел.

I I I .

р + -^- =

0.

В

этом

случае, обозначив

через Q

число

/ — -~, ""будем

иметь

Q2 =

0.

Л ю б о е

число

а-\- bi нашей системы может быть пере­

писано

в

виде

+

у

+

т -

е -

в

в и

Д е

a - f - 5 £ l .

З а к о н умножения выглядит так:

(5 +

Ьй) (с +

Зй) == Sc + (ad

+

frc)

Q.

З г о — система

дуальных

чисел.

Подведем итог. Мы

показали,

что любая

система

чи­

сел а-\-Ы

с

правилами

действий

(1)~

(3)

фактически

есть

одна

из

трех:

I)

комплексные

числа

a-{-bJ,

Я = — 1 ;

I I )

двойные

числа

а + ЬЕ, Е2

=

1;

I I I )

дуальные

числа

a-\~bQ, Q2

= 0.

Свойства комплексных чисел мы изучили достаточно

детально. Д у а л ь н ы е

и

двойные числа менее интересны.

Главное

их отличие

от

комплексных чисел

заключается

в том, что дуальные числа, так ж е как и

двойные,

во­

обще

говоря,

нельзя

делить

друг

на

друга. Впрочем,

ление».

Если з а д а н некоторый.закон умножения,

то

раз ­

делить

2[ на

z2

{z2

ф 0) означает

решить

уравнение

ZoX =

Z\.

П о к а ж е м ,

что в

системе

двойных чисел

невозможно,

например,

разделить

число

zx

=

1 (т. е. 1 +

0 £ )

на z2

—

. = 1 + £ . Действительно, если

бы уравнение

( I

+ Е)х=

I

+ 0 £

имело

решение,

то,

умножив

обе

части

равенства

на

1—Е,

мы

получили

бы ( 1 — Е 2 ) х

= 1—Е,

т.

е.

0 =

= I — Е — неверное

равенство.

Точно так ж е в системе дуальных чисел нельзя, напри­

мер, разделить

1 на

Q'. Действительно, дл я

любого

х

=

Конечно, невозможность деления ставит под

сомне­

ние право двойных и дуальных чисел

называться

«чис­

лами»:, ведь главное в понятии числа

именно

в

том

и

состоит,

что числа можно складывать,

вычитать,

умно­

ж а т ь

и

делить. Однако в математике

играют

большую

роль

и

такие системы «чисел» (подобных двойным

и

полняется

не

всегда

(т. е. не дл я всех z u

г2ф0).

В тех

ж е

случаях,

когда

деление

выполняется

дл я

любых

Z\, z2

Ф 0,

говорят о системе

с делением.

В

этой

книжке

§ 3.

Кватернионы

1°. Предварительные соображения. Опыт построения

системы

комплексных

(а

т а к ж е

двойных

и

дуальных)

чисел

наводит

на

мысль

пойти

д а л ь ш е

и

рассмотреть

числа

вида

z =

a-\-bi-\-

cj,

где

а,

Ь,

с — произвольные

действительные числа, a i и

j — некоторые

символы.

В

качестве

правила

сложения

для

чисел такого вида, по-видимому,

разумно

принять

(a +

bi+cj)

+

(a'

+ b'i + c'j) =

=

(a + a')

+

{b + b')i

+

{c +

c')i,

что

ж е

касается

правила

умножения,

то

над

ним

при­

разумеется, чтобы

оно

не приводило к слишком стран­

ным последствиям;

например,

желательно,

чтобы д л я

действительных чисел

новое

умножение

совпадало

с обычным:

вания

естественного

характера,

которые

предъявляются

к новому умножению. Повторим их снова:

k

= k-\-

1)

Произведение

действительного

числа

+ Oi +

0/

на

произвольное

число

z = а ' +

Ы +

cj

д о л ж н о

равняться

ka

- j - kbi + kcj.

'

2)

Д о л ж н о выполняться

равенство

(aZi)

(bz2)

=

(ab)

( 2 , z 2 ) ,

где

а

и b — произвольные

действительные числа.

3)

Д о л ж е н выполняться

распределительный

закон

как

в

форме

Z\ (z2

+ z 3

) =

z , z 2 +

2,Z 3 ,

так

и в форме

(21 +

22)23 =

2,23 +

2,23.

(a + bi+cj)(a'

+ b'i + c'j)

=

= аа'

+ (ab' + Ьа') i + (ас' + са') j ;

при

таком

правиле

умножения

выполняются

д а ж е

пе-

реместительный

и сочетательный

за'коны

(z\Z2

=

z2Z\

и

(ziz2)z3

=

Zi(z2z3)),

но

что

определенно

отсутствует —

т а к это возможность деления! Например, нельзя

раз ­

делить

1 на

i:

уравнение

( 0 + Ь Ч - 0 / ) х = 1 + 0/ + 0/

не имеет

решения.

И

это

не

случайно. М о ж н о

показать,

что при

любом

правиле умножения

чисел

а +

bi'.-{- cj,

удовлетворяющем

условиям

1),

2),

3),

найдется

хотя

бы

одна пара

чисел

Zi, z2

(причем

z2

ф

0)

таких,

что

z{

нельзя

разделить

на z2. Таким образом,

из

чисел вида a-\-bi-\-cj

постро­

ить систему

с делением

невозможно!

Однако

оказывается,

что

если

присоединить

еще

один

символ

k и рассмотреть

числа

вида

a +

bi +

cj +

dk,

(1)

то можно

получить

систему

с

делением.

Говоря

более

точно,

можно

т а к ввести

умножение д л я чисел

(1),

что­

бы, помимо

требований

1),

2),

3),

выполнялось

еще

и

обратное д л я умножения

действие — деление.

Наиболее

интересным примером такой системы являются

кватер­

нионы

(«четверные»

ч и с л а ) .

2°. Определение кватернионов. Так называются числа

вида

(1)

с законом

сложения

{а +

bi +

cj +

dk)

+

(а' +

b'i +

c'j

+

d'k)

=

=

( а +

a')

+

(b +

&')i+

(c +

cO / +

(d +

d')

k

» а = - 1 ,

/*== -

1,

V] = ь,

- k ,

jk =

i,

= — г,

(2)

Ы =

/, ik

= - / •

Запомнить

эту «таблицу

умножения» помогает рис. 1,

на котором

кватернионы

i, j , k изображены тремя точ-

+ baj + caj

.4- dak),

то левая

часть

(4) равна сумме

4 X

4 X 4 =

64

слагаемых вида

(щи,)

ы3 ,

(5)

где

« i — л ю б о е

из

четырех

слагаемых

кватерниона q\,

« 2 — любое

из

слагаемых для

q2, Щ — любое слагаемое

соответствующих

слагаемых

Щ {и2и3).

(6) •

Поэтому,

если мы

д о к а ж е м ,

что

к а ж д о е

слагаемое

(5)

равно

соответствующему

слагаемому

(6),

то

этим

ра­

венство (4) будет доказано .

Итак,

все сводится

к

проверке равенства

(4), когда

в качестве q\, q2, q3 фигурируют (в

любой

комбинации)

кватернионы

вида

a, bi,

cj,

dk.

При

этом,

так как

чис­

ловой

множитель

можно

выносить

за

знак

произведе­

ния^

то

равенство

(4)

достаточно

проверить

для

слу­

чаев,

когда

<7i,

q2,

q% — это

любые

из

кватернионов 1,

i, j , k; например,

вместо

((bi)(cj))(b'i)

=

(bi)((cj)(b'i))

достаточно

доказать

(ij)i

=

i(ji).

дится

к проверке

этого

равенства

для

случаев, когда

<7i> ? 2 , q% — любые

из

кватернионов

i, j ,

k.

Всего, таким образом, подлежат проверке

27

ра­

венств. Выпишем для примера

некоторые из

них:

(ii)i =

i(ii),

(U)j

= i(ij),

(ij)i

=

i(jQ,

(ij)k

=

l(jk).

Справедливость каждого

из 27

равенств

легко

следует

из таблицы умножения

(2).

Итак, умножение кватернионов обладает сочетатель­

ным

свойством.

Н и ж е , мы

увидим, что

система кватернионов

во

мно­

ным

образом ввести

для

кватернионов понятие модуля

так,

чтобы выполнялось

правило «модуль произведения

равен произведению

модулей».

лексными числами введем такое определение.

Пусть дан

кватернион

q = а + Ы +

с] -f

dk.

Сопряженным

ему называется

кватернион

q = a — bi—

cj—

dk.

(7)

(a - f Ы - f cj + dk)

(а — Ы —cj—

dk) = а2 + Ь2 + с2 + d2.

(8)

П р о д о л ж а я

аналогию с

комплексными числами,

на­

зовем число

Va2 +

b2+c2+d2

qq =

\q\2

— в 'точности

та

ж е

формула,

что

для комплексных

чисел.

q' есть «чисто

З а м е ч а н и е .

Если

мнимый» кватер­

нион,

q' =

&/ +

cj-\-dk,

то из формулы

(8)

следует

q'2

= -(b2+c2

+

d2)^0.