книги из ГПНТБ / Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа

жение в алгебре

зФ через хо

у.

а Ф О и

Зафиксируем

какой-нибудь

элемент

рассмот­

рим преобразование

х—*аих.

Это

преобразование

яв­

ляется,

очевидно, линейным. Обозначим его

А.

Так

к а к

д а н н а я

алгебра

есть алгебра с делением, то

для

пре­

образования А существует обратное преобразование

Л - 1 .

Введем для элементов нашей алгебры новый закон

умножения

x.y=A-1(x)aA-i(y).

(2)

Алгебра

с

умножением

ху

снова

является

алгеброй

с делением

(из

однозначной

разрешимости

уравнений

а а х —

Ъ и

х а а —

Ъ

вытекает

однозначная

разреши ­

мость уравнений

ах

=

Ь

и

ха

—

Ь).

В этой

алгебре

элемент

ап

а играет

роль

единицы

(доказательство

см.

на стр. 111, где

рассматривается

аналогичная

конструк­

ц и я ) . Но единственная алгебра

с делением, о б л а д а ю щ а я

единицей, — это

алгебра

комплексных

чисел

(§ 2) .

По ­

ные числа,

а операцию

х-у

как

обычное

умножение

ком­

плексных

чисел.

Обозначая

Л _ 1 ( х )

через

и

и Л - 1 (у)

через v,

пере­

пишем (2)

в

виде

ние

и о v = Л (а • v)

(3)

и покажем, что алгебры с умножениями

и

uv

и

и

° v

изоморфны.

Д л я

этого

запишем таблицу

умножения

о в

каком -

нибудь

базисе

еи

е2 и докажем," что о н а ^

точности

сов­

падает

с таблицей

умножения

•

в базисе

е\ =

Л -

1

( e j ,

е2=А~х{е2).

пусть

Действительно,

ei ° et = аех

- f ре2 .

Тогда

e'ine'i

=

A (e'i) • А

(в/) == e;

• e, — A~]

(в, ° e,)

=

=

Л - 1 (ae,

+ P«2 ) =

« Л - 1

(в,) +

Р Л - 1

(в2 ) =

ae{ +

ре2 ,

что

и

доказывает совпадение

таблиц

умножения.

Итак, мы показали, что исходная алгебра s4

изоморф­

на

алгебре

с умножением

(3),

где u-v

есть обычное

про­

изведение

комплексных чисел,

а Л — некоторое

линейное

преобразование,

д л я которого

существует

обратное

пре­

нием. Таким

образом,

задача

перечисления

всех

алгебр

с делением размерности 2 свелась к тому,

чтобы

среди

алгебр (3) выделить все неизоморфные между

собой.

3°. Отыскание

алгебры

s4

(a, P,y)>

изоморфной

алгебре s4.

Н а м

необходимо

в алгебре (3) найти такой

базис k\, k2,

в котором таблица

умножения

имеет вид (1)

(с некоторыми ограничениями на а, р,

у).

Запишем

сначала таблицу

умножения

алгебры

(3) в базисе

Поскольку

е, =

1,

e2

=

i.

в, о в, =

Л (в, :е,) =

Л(1),

е2ое2 — А (е2

• е2)

=

А (—1) =

— Л (1),

е, ° е 2 =

Л ( е ,

• е2)

=

Л (i),

то, полагая

Л (1) =

a - f f t t ,

A(i)

=

c-\-di,

будем

иметь

в, о в[ =

• ав(

+

Ье2,

е2

о е 2

=

— ае, — йе2 ,

(4)

elo-e2—

ce{-\-de2.

kx ° ky —

aft,

+

р^2>

k2°k2 — — ak{

— pft2 ,

(5)

kl°k2=

6&! +

yk2;

иначе говоря, существуют

ли базисы, д л я

которых

k[ о k\ =

— k2

о k2.

(6)

Т ак

как

равенство

(6)

равнозначно

A(ki-k])=>

=

—

A (k2

• к2)

или

A (k{

• Л,) =

А (—

k2

• k2),

то

из

суще­

ствования

обратного

п р е о б р а з о в а н и я

Л - 1 - с л е д у е т ,

что

kj

• kx

=

— k2

• k2,

или

k2

=

± ik\.

"

Следовательно,

все

базисы,

в

которых

таблица

умно-

жения

имеет

вид

(5),

суть

* , = f ,

k2=±if,

(7)

где f — произвольное

(не

равное

нулю)

комплексное

число:

Базисов (7), разумеется, существует бесчисленное

множество.

Сейчас

мы

покажем,

что среди них обяза­

тельно' найдется

такой, в котором

выполняется

условие

Р =

б,

т.

е.

базис,

в

котором

таблица

умножения

имеет

вид

(1).'

Д л я

этой

цели

примем

снова

за

исходный

базис в\

=

\,

е2

= i,

а искомый

базис запишем в виде

&i =

Р ( c o s Ф +

* sin ф),

k2 =

±

ip (cos ф +

i sin ф).

Чтобы отыскать р и ф, мы д о л ж н ы :

•

a)

вычислить произведение

исходя

из

фор­

мул

(4), и полученный элемент разложить

по k\

и

k2;

b)

вычислить

таким

ж е

образом

произведение ftj о Л2

и

полученный

элемент

разложить

по kx

и

k2;

равнять коэффициенту при kx

во

втором разложении .

Эту вычислительную' работу,

мы

предоставляем сде­

Очевидно,

это

условие

определяет угол

ф с точностью

до слагаемого

вида

яп

и, значит, определяет на пло­

скости

два

луча (рис.

17),

составляющих

одну прямую

1\. Н а

этой

прямой

л е ж и т

вектор, и з о б р а ж а ю щ и й ком-

плексиое число kx

(или,

как

мы

будем

говорить,

век­

тор & i ) . Другой вектор

k2

=

±ikx

лежит

на

своей

пря­

мой 12. Длины обоих векторов

совпадают.

Итак,

приходим

к следующему описанию всех бази­

сов k\, k2,

в которых

таблица

умножения

имеет вид

(1).

Базисный

вектор

k\

выбирается на однозначно опреде­

ляемой, прямой U,

базисный вектор

k2 — на

перпендику­

лярной прямой 12; длины

р векторов д о л ж н ы

быть

одина­

ковы. Заметим, что

при

данной длине возможны

ровно

4 искомых базиса

(рис.

18).

Рис. 18.

Теперь

следует сказать, что

если от

базиса ku k2 мы

~ переходим

к другому базису

Kku %k2,

где К — положи­

таблице умножения (1)

умножаются

на К. Поэтому,

если наложить на базис

дополнительное

условие

kx =

± k,

k2 =

± ik,

для которых таблица умножения имеет вид

&i о kx

—

afe, + \°>k2,

k2°k2

——

afej — p&2>

(1)

fti 0 k2

=

pft, - f

Y*2.

причем

'

a

Y

- p

2 = ±

1.

Действительно, если в

базисе &i, k2

имеем" р <

0,

то,

перейдя к базису kt,

—k2,

получим

новую

таблицу,

в

ко­

торой (3 >

0.

Аналогично,

если а <

0,

то,

умножив

пер­

вый

базисный

вектор на

— 1 , получим

таблицу,

в

кото­

рой

а > 0

(при этом

знак р не

меняется);

если

ж е

а =

0, то

это ж е

преобразование

позволяет

изменить

знак

у.

Подведем

итог. Д л я

каждой коммутативной

алгебры

ром таблица

умножения

имеет

вид

(1),

где

1)

a Y - p

2 = ± 1,

2)

Р > 0 ,

3)

а ^ О ,

причем если

а =

0, то

у ^

0.

бенных случаях (когда

р =

0

или

а =

у =

0)

таких ба­

зисов

будет

два,

но

таблица

(1)

для

них

будет

одна

и та

же .

Отсюда видно, что каждой алгебре s4- отвечает един­

ственная

таблица

(1) с указанными

выше

ограничения­

ми на

а,

р, у, т. е. алгебра

зФ изоморфна

одной

и

только

одной

алгебре

зФ(а,

р , у ) .

зФ(а,

р, у)

То,

что л ю б а я

алгебра

является

алгеброй

с делением,

следует

хотя

бы из

того

факта,

что к а ж д а я

т а к а я

алгебра имеет

вид

= А (и •

и о v

v),

где

преобразование

А

действует

по

формулам

А (&,) =

а&, +

р £ 2 ,

A (k2)

=

р*, +

yk2,

причем

ay—

Р2 =И= 0.

В

самом

деле, из

условия

у

ф

(эквивалентного

ау—р2

ф

0)

вытекает, что

Л(А:,)^=

ФкА(Ь2)

и

тем

самым

что векторы

A(k{)

и

A (k2)

об­

образования

А

существует обратное преобразование

А'1,

а отсюда,

в

свою, очередь — что алгебра

с умноже­

нием

u°v есть

алгебра с делением. Теорема

доказана .

Б о л ь ш а я

часть того, о чем

говорилось

в этой книжке,

относится к

первоначальному

этапу в

развитии тео­

бегло, о

некоторых дальнейших результатах

этой

теории.

._ Развитие

теории алгебр начинается с работы

В. Га­

тельным: они подготовили почву

д л я целой серии ра­

бот об ассоциативных алгебрах,

завершившейся дока­

всем не касались. Он

связан

с величинами а ь

а2,

ani

являющимися

коэффициентами в

выражении

<Mi +

a2i2+

. . .

+ anin

(1)

д л я

элементов

n-мерной

алгебры.

В

нашем

изложении

эти

величины

всегда

предполагались

действительными

числами. В этом случае принято на самом деле

говорить

об

алгебрах над полем

действительных

чисел.

Н а р я д у

с ними приходится

рассматривать и

другие

алгебры,

(1), где аи

а2,

ап — произвольные

комплексные

числа; такие

алгебры называются алгебрами

над

полем

комплексных

чисел.

Кроме поля действительных

и поля

комплексных чисел, имеется много других

полей *)

(на­

пример, поле рациональных чисел) и

соответственно

этому много других типов алгебр.

Многие результаты в теории алгебр очень сильно

меняются в зависимости

от того,

какому

полю

принад­

л е ж а т коэффициенты <Х\,

ап в

выражениях

(1),

т. е.

над • полем

действительных

чисел

существуют, как мы

знаем, три ассоциативные алгебры с делением

(и

беско­

нечное

множество

неассоциативиых алгебр такого р о д а ) ,

и в

то

ж е

время

имеется

только

одна

комплексная

алгебра

с делением.

Это — одномерная алгебра,

состоя­

щ а я

из

самых комплексных

чисел. Кроме нее

не

суще­

Введем теперь такие определения.

1. Идеалом

алгебры

s&

называется такое

подпро­

странство °U,

что

st><U a<U

и

<Us& с= <U.

Это означает,

что, каковы

бы

ни

были элементы

a ^ s t

и u^PU, оба произведения

аи

и иа

принадлежат <%1. Ина ­

любой элемент алгебры снова принадлежит

идеалу.

При этом два

крайних случая — когда

подпростран­

ство <U совпадает со всей алгеброй s4- и

когда

°U

со­

стоит

из единственного

элемента

0 — н е

принято

рас­

сматривать

как

идеалы

(впрочем,

иногда

говорят,

что

^ и

0 являются

несобственными

и д е а л а м и ) .

*)

Общее

определение поля таково.

Пусть S3 — некоторое

мно­

жество, объектов, над которыми можно

производить

две операции;

одну из них условно назовем сложением

и будем обозначать а + Ь,

другую назовем умножением

и обозначим

ab. Множество

3> назы­

нимо

вычитание

(иначе

говоря,

однозначно'

разрешимо

уравнение

а + х = Ь) и выполнимо

деление. Последнее

означает,

что

одно­

значно разрешимо уравнение ах =

6.

если а ф

0; здесь 0 обозначает

элемент множества !? такой, что

а +

0 =

а для всех а е ?

(суще­

ствование такого элемента нетрудно доказать).

Под словом «операция» в этом определении

подразумевается

любое

правило,

ставящее

каждым

двум

элементам

О Е

? И

элементов вида b£i в

алгебре

дуальных

чисел (т

е.

чисел а + bQ,

где Q2

=

0).

Другой

пример — подпрост­

ранство элементов

вида

а ( 1 + £ )

в

алгебре

двойных

чи­

сел (чисел а +

ЬЕ,

где

Е2

— 1).

про­

2. Алгебра,

не

и м е ю щ а я

идеалов, называется

стой.

Можно сказать, что понятие простой алгебры обоб­

щает понятие

алгебры

с делением. К а ж д а я

алгебра с де­

если

у алгебры есть идеал

то уравнение

их =

Ь,

где и принадлежит идеалу, а Ь

не принадлежит

ему, не

имеет

решения, поэтому т а к а я

алгебра не может быть

алгеброй с

делением.

В

конце

X I X века исследования, касавшиеся

теории

ассоциативных

алгебр (как

мы у ж е отмечали, сам

тер­

мин

«алгебра»

фактически

п о н и м а л с я ' к а к «ассоциатив­

ная

алгебра») .

В результате возникло довольно

ясное

симо тот ж е

результат получили

Г. Фробениус

и Э. К а р ­

там. Оказалось, что все простые

комплексные

ассоциа­

тивные

алгебры

с

точностью

до

изоморфизма -— это

полные

матричные

алгебры

произвольного

порядка п

(т. е. алгебры всех квадратных матриц порядка

п).

Более общую теорему, справедливую д л я алгебр над

произвольным

полем

доказал

в

1907

г. американский

'математик Д . Ведерберн: все

простые

ассоциативные

алгебры

над

полем

!? — это в точности

все

полные мат­

ричные

алгебры

с

элементами

из^ ассоциативной

алгеб­

ры с делением

над

SP.

состоят из трех

серий:

1)

алгебры

матриц

с элементами — действительными

числами;

2)

алгебры

матриц

с элементами — комплексными

тривать

как алгебры

над

полем

<£)), частным

случаем

(при п =

1) является

сама

алгебра

комплексных

чисел —

мнить, что

единственная

комплексная

алгебра

с деле­

н и е м — это

алгебра

самих

комплексных

чисел.

Таким образом,

все простые ассоциативные

алгебры

(а,, и2)

(где щ<=%1ь

и2^.Щ2)

со следующими законами сложения и умножения:

(и,, и2) +

(и\,

и'2) =

(ц, +

и\,

и2 + и'2),

(и,, иа)-(и\,

и'2) =

(и1и'1,

и2и'2).

Легко видеть,

что

элементы

вида

(«ь 0) образуют

на

<U\\ обозначим

ее

s£\.

Аналогично

элементы

вида

(0, и2)

образуют

подалгебру

s4-2y изоморфную Щ2.

Обе

указанные подалгебры

являются идеалами;

например,

для первой из них это следует из равенств

(и,,

о)(«{,

«0 =

( « , « ; , о),

(«;,

и0(«,,

о) =

( « ; « , , о).

Заметим,

что

подалгебры

s4-i и s4-%

являются

взаим­

но

дополнительными:

так

мы называем

две

подалгебры,

обладающие тем свойством, что любой

элемент алгебры

представляется,

и притом

единственным

образом, в

виде

a i

+ а2,

где

а ( е= s$u

«2 е

s42.

Аналогично прямой сумме двух алгебр

определяется

прямая

сумма любого числа

алгебр. Элементами прямой

суммы

алгебр °Ui,

Ш2, ...

flLh

являются всевозможные

наборы

(и,, и2,

.-,.,

uk)

(где

в , е ^ |

а

к

е е д .

•

( А\0

\

f

А'\0

Л

(АА'\

0

V 0 I В

)

\

0

| В' j

\ 0

|

ВВ'

откуда видно, что данная алгебра

изоморфна прямой

сумме алгебры всех матриц порядка

р

и алгебры всех

матриц порядка

q.

Интересно отметить, что рассмотренная нами в на­

чале книги (см. §

2)

алгебра

двойных чисел изоморфна

элемента алгебры

s£:

1-Е

.

1

+Е

If

=

т=г- ,

1ч =

7=— .

Очевидно,

J/2

"

УЧ.

.2

.2

. .

=

l\,

*2>

=

Л

l[

1'2 =

*1*2

U .

К а ж д ы й элемент

a ^ s i

можно

однозначно

представить

в виде

суммы

«1*1

+

a2i2,

причем

для

произведения

двух

элементов

справедлива

формула

(a,t, + a2i2)

(6,i, +

b2i2)

=

afi^

+ a2b2i2.

Ставя -в соответствие элементу а

пару

чисел (ai, а2),

мы

видим

отсюда, что

алгебра

si

есть

п р я м а я

сумма

двух

алгебр SD (действительных чисел).

4. Полупростой

алгеброй

называется

прямая сумма

простых.

Так

как

прямая

сумма

однозначно

определяется

своими

слагаемыми,

то все

полупростые

ассоциативные

Например, л ю б а я полупростая

ассоциативная ал­

гебра над полем комплексных чисел

изоморфна алгебре