книги из ГПНТБ / Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа

степени

у ж е

неразложим

(в произведение

двух

множи ­

телей первой

степени). Итак,

P(x)=f1(x)P2(x)

. . . PS(X),

. (3)

где

к а ж д ы й

из" множителей

правой

части есть

либо

многочлен первой степени, либо неразложимый

много­

член

второй

степени.

Чтобы

понять

дальнейшее • рассуждение,

читатель

должен

отчетливо

представлять

смысл равенства

(3) .

К а ж д ы й

из

многочленов Р\{х),

Ps(х)

представляет

собой сумму двух или

трех

членов:

х +

t

или

х2

+

sx +

t.

Равенство

(3)

говорит

о том,

что если перемножить вы­

р а ж е н и я

Р\{х),

Ps(x)

по

правилу

умножения

сум­

мы

на сумму,

затем воспользоваться

формулой

д* • Xх =

Xk+l

выражение

Р(х).

степенями элемента а —

Но правила

действий

над

те ж е , что

и над

степенями

неизвестной х:

ак

• al

=

a k + l

сюда

видно, что равенство

(3)

останется

в

силе,

если

вместо

неизвестной

х

подставить

элемент

а:

Р ( а ) =

Р , (а)Р2(а)

...Ра{а).

Н о

поскольку

Р(а)

=

0,

то

Р , ( « ) Р 2 ( а ) . . .

Ps{a)

=

0.

.

(4)

Воспользуемся д а л е е

тем,

что

s4-

есть

алгебра

с де ­

лением. Из этого факта вытекает,

что если

произведе­

ние

нескольких

элементов равно

нулю, то хотя бы один

"из

множителей

равен

0

(действительно, если

uv

=

0 и

и Ф

0,

то ввиду

единственности

решения

уравнения

их —

0

д о л ж н о

быть

v

= 0).

В

применении

к

(4)

это

означает, что д л я некоторого

номера

i

' Р , ( о ) =

0,

"Ч

Д о к а з а т е л ь с т в о

у т в е р ж д е н и я

I I I . Выберем

в подалгебре

Жа\

такой

элемент

6,, что Ь\ — —

1 (61 есть

«мнимая

единица»

в комплексной

алгебре

Ж\).

Ана­

логичным образом в подалгебре Жа,

выберем элемент

Ь2

такой,

что

6 2

= — 1- Так как &,, Ь2

отличаются

от а,,

а2

(соответственно)

на

слагаемые,

кратные

1, то

совокуп­

ность

элементов

вида

a l +

P#i

+ Ya 2 + oa,a2

совпадает

с совокупностью

элементов

вида а '1+Р '&1 +

у ' & 2 + 6 ' & 1 & 2 .

иначе

говоря,

(£

0 ]

совпадает с -С^ь

Ьг.

Д а л е е , нетрудно

видеть,

что

если

е, =

6,,

е2 =

+

к2Ь2,

причем

к2ф0,

то множество Qe< fij

будет

то

ж е

самое,

что

Qb

ь ,

а

значит, и Qa а .

Покажем,

что

числа

kt

и

k2

можно

выбрать

так,

<Ггобы

были

справедливы

равенства

е\ = -

\ ,

е] = -

1 ,

(eie2f

= -

l

(5)

выборе

k u

k2).

Д л я

этой

цели запишем ,

что

( 6,

+

ь2)2

= б? + 6 i + ( б , б я +

М О =

- 2

• 1 + (6,62 +

626,),

но,

с

другой

стороны, к в а д р а т

элемента 6, + Ь2 д о л ж е н

р а з л а г а т ь с я по 1 и 6, + Ь2:

(bl + b2)2 = pl

+

q(bl

+

b2).

Следовательно ,

6 Л + М . = (р +

2 ) 1 +

<7 (61

+ 6 2 ) .

(6)

А н а л о г и ч н о,

(&i +

2b2f

= Ъ\ +

46i +

2 (Ьфо +

&261) =

=

_ 5 . 1+ 2 ( 6 , 6 2 + 62 &1 )

(&1

+

2&2 )2 = р'1 +

<7

/ (&1 + 2&2 );

следовательно,

6,62 + &2 &f = \

(Р' +

5) 1 + -j <?' (*i + 262 ).

Если

бы было q¥=Q,

то,

приравняв дв а

в ы р а ж е н и я

д л я

&!&2

+ &2 &i,

мы

получили

бы, что &!

отличается

от 62

на

элемент,

кратный

1, т. е. Ь2^Жь„

что исклю­

& , & 2 + M l = M -

(1)

И т а к ,

если

Ьи

Ь2

— два

элемента,

квадраты

которых

равны

— - 1, то справедливо

равенство

(1).

элементы ех

Теперь

нетрудно

определить

искомые

и е2. Рассмотрим

дл я этой цели

элемент с = ХЬх + 262 ,

где

Я взято

из

равенства

(1). Его к в а д р а т

равен

с 2

=

- Я 2

1 - 4 -

1 +

2Я (6,62

+

62 6j) =

(Л2

— 4) - 1,

(7)

поэтому

д о л ж н о быть

Я2

— 4 < 0 *) . П о л о ж и м

1

тогда

из (7) будет

следовать,

что е\ — — \, т. е. второе

из

равенств

(5).

Чтобы

установить

третье,

заметим

сначала, что

е,е2 + е2е{

=

0;

(8)

это

следует

из

ete2

+

е2е{

= р

=

=

(&i (Я6, +

2&2 ) +

(Я&, +

262 ) &,)

=

=

7 f = X F ( ~ 2 А • 1 + 2

( & ' & 2 + & 2 & ' ) ) = ° -

*) Если

бы было

р = Я2 — 4 >

О, то из с2

= pi следовало бы

(с — Ур • 1)(с + ]/р • l) =

0,

т. е. с =

\ г р - \

или с =

— j / p - l .

Но это невозможно, так как 6, и 62 не лежат в одной

комплекс­

ной

подалгебре.

И с п о л ь з у я

(8),

получаем

( e i e 2

) 2

=

(«,*2 ) («,е2 ) =

(е

i e

2 ) ( -

е 2 е

i)

=

=

-

М

в «

=

е 1 = ! - 1 .

(9)

что

и з а в е р ш а е т

д о к а з а т е л ь с т в о

равенств

(5).

Установим

теперь,

что

множество

Q„ .

элементов

вида

al +

ре, +

уе2

+

б е ^

(совпадающее,

ка к

уж е говорилось, с

Q

a

J есть

под­

алгебра

алгебры бФ.

Д л я э т о г о . д о с т а т о ч н о

проверить,

что

произведение

любых

двух

элементов

из

четверки

1,

еи

е2,

е{е2

(10)

р а з л а г а е т с я

по

тем

ж е

четырем

э л е м е н т а м .

Н а м

у ж е

известны все произведения,

кроме

следующих:

ei(e\e2)>

1^2)^1,

е2(е{е2),

{е{е2)е2.

К а ж д о е

из

них

легко вычисляется: •

e

i ( е

. е

2 )

(eie2)el

= - ( е 2 е [ ) е 1

= - е 2 е 2

= е 2 >

e

2 ( e i e 2 ) =

е2 ( e 2 e i ) ~

e

2 e i — ei >

.

( e i e 2 ) e 2 = eiel = - e r

Итак,

интересующее

нас

множество

Q

й

является

подалгеброй.

Остается

проверить,

что

эта

подалгебра

изоморфна

алгебре

кватернионов. Д л я

этого

мы д о к а ж е м ,

во-пер­

вых,

что четверка

элементов

(10)

образует

в

этой

под­

алгебре

базис,

и,

во-вторых,

что

таблица

умножения

д л я

этого

базиса — в точности

т а к а я

же,

как

дл я

ба­

зиса

1, i, /,

к

в алгебре

кватернионов.

Д л я

доказательства

того,

что элементы

(10)

состав­

ляю т

базис,

заметим,

что

л ю б о й ' элемент

подалгебры

g j

по

ним

разлагается;

следовательно,

остается

л и ш ь показать,

что

указанные

элементы

линейно

неза­

висимы или (см. 3° § 8) что ни один из четырех

эле­

ментов

(10)

не

разлагается

по

предшествующим

ему

элементам

этой

четверки. Но элемент е2 не

разлагается

п о

е,,

1

(это следует

из того

факта,

что элементы

е ь

е 2

не

принадлежат

одной подалгебре

Жа)-

Остается

по­

этому

проверить,

что exe2

не

разлагается' по е2,

е,,

1,

т. е. что невозможно

равенство

вида

e,e2

= pe2 +

< 7 e 1 + r l .

•

(12)

Предположим, что такое соотношение имеет место.

Тогда ни одно из чисел р, q

не равно

нулю

(если бы,

например,

было

р> =

0,

то,

умножив

обе

части

(12)

слева

на е,, мы

получили

бы, что е2

разлагается

по c?i

и 1, что невозможно) . Умножая обе

части

(12)

слева

на

е,,

получим

или

— е2

— р е , е 2 — q\ +

re,

е,е2

=

е 2

е,-\-

— \ .

1

1

р z

р

1 1

р

Вычитая

из одного в ы р а ж е н и я

дл я е,е2

другое,

получим

( p + ^ e 2

+ ( O + f ) e I + ( r - | , ) i = 0.

В этом

равенстве

коэффициент

при е 2

должен

быть

ра­

вен

нулю

(иначе

получилось

бы, что е 2

разлагается

по

е, и 1), что невозможно ни при каком

действительном р.

Таким

образом, элементы

1, е,, е2 ,

е3,

где е 3

= е,е2 , образуют

базис

подалгебры

Q e u e -

Чтобы

установить,

что подалгебра

С1е-в >

изоморфна

алгебре

Q

кватернионов,

остается

сделать,

последний

шаг:

показать,

что

таблица

умножения

дл я

алгебры

Gtgit

в 2

в

базисе

1, в,, е2 ,

е3

в точности

т а к а я

же, как дл я

алгебры

Q

в

базисе

1,

i, j

,

k.

Например, это означает, что

(аЬ)Ь =

а(ЬЬ),

(аЬ) [Ьа)

=(а(ЬЬ))а

разом, строго говоря, мы докажем

следующую. теорему: если ал­

гебра

s& с делением

такова, что любое

произведение,

составленное

из двух произвольных

элементов

а

и Ь,

не зависит от

расстановки

скобок,

то алгебра s& изоморфна

одной

из четырех

алгебр:

дей­

ствительных чисел,

комплексных

чисел,

кватернионов

или

октав.

нием остаются справедливыми

и в

случае альтернативной алгебры

с делением.

II

J

Что касается утверждений

и III, то в их доказательствах,

что

ассоциативность

алгебры

используется

только

в

двух

местах:

в формуле

a n - a m = a n + m

для

перемножения

степеней

и

в соот­

ношении

(9).

( e i e 2 ) ( e

2 e i ) =

(е 1е 1) е 1 '

примененном

в

цепочке

ра­

венств

Но

очевидно,

и

то

и

другое

остается

справедливым

в случае альтернативной алгебры.

Доказательство

утверждения

I

для

альтернативного

случая

придется несколько изменить. Найдя элемент е из уравнения ха =

а

и

умножив

обе

части

равенства

еа =

а

слева

на

е,

получим

е (еа) =

еа

или, учитывая

альтернативность,

(ее) а =

га.

Отсюда

следует, что ее = е. Опять-таки в

силу

альтернативности имеем

(бе) е =

6 (ее) и

е(ес) =

(ее)с,

т.

е.

(6е)е = 6е

и е (ее) =

ее.

Отсюда

следует

Ье =

Ь

и

ее —с.

Значит,

е — единица

алгебры.

Чтобы теперь доказать

обобщенную

теорему Фробениуса, мож­

чего оставалось бы только доказать, что эта

подалгебра

совпадает

со всей

алгеброй зФ. Такой способ доказательства возможен, од­

нако он

потребовал -бы довольно длинных

рассуждений.

Поэтому

Введем в алгебре s4- операцию 'сопряжения следующим

обра­

зом. Если элемент

а

пропорционален

1, то а =

а.

Если

же

а

не

пропорционален I,

то,

согласно утверждению II,

он содержится

в

комплексной подалгебре Жа. В_этой

подалгебре

для элемента

а

имеется сопряженный элемент а, который мы и

примем за

эле­

мент, сопряженный к а в алгебре si-.

_

Из определения а непосредственно вытекает,

что

а =

a,

a

также

Ta=.ka,

(13)

Покажем, что будет. _

'

Элементы а и а, как сопряженные в комплексной алгебре,

удовлетворяют

условиям

а + а = (действительное число)• 1

(14)

и

_

(действительное число)• 1.

(15)

аа =

творяют

аналогичным

условиям:

и

а + а — (действительное

число) • 1

(14')

аа = (действительное

число) • 1.

(15')

Вычитая

из равенств

(14) и (15) соответственно равенства

(14')

и (15'),

получим

и

а — а — (действительное

число)•I

а (а — а) — (действительное

число) • 1.

Таким

образом, элемент', сопряженный

а,

один

и

тот же,

неза­

висимо

от того, рассматриваем

ли

мы

а

как

элемент

комплексной

подалгебры

Жа (т. е. как

комплексное

число) или же как элемент

какой-либо

подалгебры

Qau

a i

(т. е. как

кватернион).

Заметим попутно, что то же самое

относится

и к модулю

эле­

мента

а.

Поскольку

(модуль

а)2 =

аа

как

в случае

комплексных

висит от того, рассматриваем ли

мы а как

элемент

комплексной

или же кватернионной

подалгебры.

Из того,

что

доказано

нами

относительно

сопряжения, лег­

ко следует,

что

для

любых

двух

элементов

а

и

b алгебры s&

справедливы равенства

а + Ь = а + Ь, .

.

(16)

аЬ=~Ьа.

(17)

алгебре

(т, е. Жа

совпадает

с

Жь),

то написапные равенства суть

свойства

сопряжения в

этой подалгебре; если же b не содержится

в Жа, то эти равенства

снова

справедливы — уже

как свойства со­

пряжения в Qa, ь-

_

Из

формулы

(J_7)

и из

6 = 6

вытекает, что

элемент, сопря­

Определим в алгебре

s& скалярное произведение (а, Ь) с помощью

формулы

_

аЬ + Ьа = 2(а, Ь)-1.

3)

(в,

kb)

=

к [а,

Ь);

4)

{а,

6,

+

62 ) =

(а, 6,) + (а,

Ь2).

В

данном

случае свойство 2) очевидно. Свойства

3)

и 4) выте­

кают

непосредственно

из формул

(13)

и (16).

Для

доказательства

свойства 1) следует написать

(а, а)

• 1 = аа =

(модуль

а)2

• 1

(!8)

и

учесть,

что

модуль

комплексного

числа

а

строго

положителен,

если а ф

0, и равен нулю, если а — 0.

Заметим, что из равенств (18)

следует

§ 20.

Коммутативные алгебры с делением

\ ° .

Формулировка

результата. В предыдущем параг­

р а ф е

мы нашли все

алгебры с делением, удовлетворяю­

нительном

условии

коммутативности.

П р е ж д е

всего сошлемся на следующий факт, кото­

рого мы доказывать здесь не будем.

Любая

коммутативная

алгебра

с делением

имеет

размерность

не выше

2 * ) .

лением размерности 2.

Чтобы

сформулировать

ответ,

введем, обозначение

s4- (а, р, у)

д л я

коммутативной

алгебры

размерности 2

с таблицей умножения

вида

ki о ki

=

aki

+

pfc2)

k 2 o k 2

= — a&! — р/г2>

-

(1)

ki°k2=

p&[ +

yk2,

где числа

a, p,

у удовлетворяют

следующим

условиям:

3)

a ^ O ,

причем если

a =

0, то

у ^ О .

Т е о р е м а .

Любая

коммутативная

алгебра

s4- с

де­

лением

размерности

2

изоморфна

одной

из

алгебр

зФ{а,

р, у).

Все

алгебры

зФ(а,

р, у)

суть

алгебры

с

де­

лением

и никакие

две

из

них

не изоморфны

друг

другу.

Д а л ь н е й ш а я

часть

п а р а г р а ф а

посвящена

доказа ­

тельству этой

теоремы.

*) Остроумное доказательство этого предложения,

использую­

щее топологические

соображения, нам сообщил

Г.

Шпиз.

Приве-

ство х2

— у2,

то в силу коммутативности имеем

(х — у) {х + у)

=0;

ввиду отсутствия делителей нуля это

означает

х — у

или х =

—у.

Отсюда видно, что отображение х^-х2

индуцирует мономорфное и

непрерывное

отображение сферы S 7 1 - 1

в проективное

пространство

RPn~l.

Как

известно, такое отображение возможно

только

при

« = 2.