книги из ГПНТБ / Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа

ху = А-\х)аВ-1(у).

(2)

Полученную таким образом новую алгебру

обозна­

чим s4.

старого умножения через новое: полагая

Л " 1 (*) = «, B-l(y)

= v,

будем иметь

А (а) В (v) = и о

v.

умножения новым

умножением и ° v

по формуле

и ° v = А (и) В (v).

Чтобы

завершить

доказательство

теоремы,

теперь

остается только показать, что алгебра S4- обладает еди­

ницей.

Проверим, что роль единицы в алгебре s4- играет

элемент

е = е°е.

В самом деле, рассмотрим

два про­

изведения,

хе

и

еу.

Д л я

первого

из них имеем

-

хе =

А~1(х)°В-1(2).

П о

определению обратного

преобразования,

элемент

и =

В~1(е)

является

(единственным)

решением урав ­

нения

В(и)

=

е

или, что то же, уравнения

е°и

= е°е;

отсюда

ясно (в

силу

единственности),

что

этот

элемент

равен е.

Д а л е е ,

v =

Л - 1 (х)

означает,

что

x

= A(v),

т. е.

Vae—x.

Учитывая

это,

получим

. •

хе

=

А'1

(х)°

B~1(e) =

v°e

=

x.

Точно так

ж е

находим,

что

~еу =

А-\е)°В-х(у)

= е°В-х(у)

=

у.

Этим

мы

показали, что

е — единица

алгебры зФ. Тео­

рема

доказана

полностью.

Итак,

все без

исключения

нормированные

алгебры

могут

быть получены

из

четырех

известных

алгебр

2),

Ж,

Q,

О

введением

нового

умножения

по

формуле

(1).

Д о

известной

степени этот

факт

можно

рассматривать

как

способ описания

всех

нормированных

алгебр.

3°. Число п в тождестве (!) . В качестве одного из

следствий теоремы мы получаем, что

размерность

лю­

бой

нормированной

алгебры

равна одному

из чисел 1,

Вспомним теперь, что существует определенная

связь

между нормированными алгебрами и тождествами

вида

Ж

+ у \ +

•••

+ 4 9

-

=

Ф: +

Ф 2 +

. . . +Ф2а.

(!)

Это

связь (см. § 17)

заключается

в том,

что,

взяв

лю­

бую

нормированную

алгебру

размерности п,

выбрав в

закон

умножения в этом базисе, получим

п

форм

Ф\, Ф 2 ,

Ф п , удовлетворяющих тождеству

(!);

более

того, таким путем могут быть получены все без

исклю­

чения

тождества

(!). Учитывая

эту

связь, мы

делаем

следующее

фундаментальное

заключение.

Число

п в тождестве

(!)

может

быть равно

только

одному

из

четырех

чисел:

1,

2, 4

и 8.

Для

данного п,

равного

одному

из

чисел 2,

4 или 8, нужно

в соответствующей

алгебре

>Ж, • Q

или

О взять

три ортонормиро-

ванных

базиса

поэтому

соответствующее тождество

будет

(*? +

4 ) {У\ +

Уг) = {Х\У\

+ Л ' 2 У 2 ) 2

+

-

4J if-

Оно, как видим,

несколько

отличается от уж е знакомого

нам тождества

(*? +

4)

(У\

+

Уа) = {Х\У1

— Х2У2У

+

{Х[У2 +

х2Уд2'

W

отвечающего

в том ж е базисе 1, i

алгебре

Ж.

Тождество,

более отличающееся

от (5), можно

полу­

чить, приняв

в

качестве исходной

алгебру

Ж, и выбрав

в ней за базисные векторы

элементы

(«,е, + и2е2)

( и ^ , +

v2e2)

=

= T 7 ^ ( " i y 2 + vxti2 +

— u2v2)el-\-

1/2

+ ' - p = - ( « i 0 2 + Oi«2 —

+

u2v2)e2.

Соответствующее

тождество будет

+

+

[^7= («i»2 + »i«2 — MiO, +

W2 f2 )

Обратимся

к

нормированным

алгебрам

размерно­

сти 4. В этом

случае

единственная

алгебра

с

единицей—

это,

как мы

знаем,

алгебра

Q кватернионов. Так же,

как в случае комплексных чисел, операция

сопряжения

есть ортогональное преобразование алгебры Q. Поэтому

существует

еще

по

крайней

мере три

нормирован­

ных

алгебры

размерности 4 — Qx,

Q2, Qz с

умножением,

определенным

по формулам (4). Однако

в

четырехмер­

ном

случае

существуют еще и другие

нормированные

5*

115

где а

и Ъ — два фиксированных

кватерниона. '

Можно

показать (предоставляем

это читателю), что

л ю б а я нормированная

алгебра

размерности

4 изоморф­

на одной из алгебр такого вида.

Рассмотрим в качестве примера первое из указанных

умножений

при а =

i,

Ъ =

/. Мы получаем

нормирован­

ную

алгебру

Q с законом

умножения

X о у =

(ix)

( y j ) .

Найдем , какое тождество

(!)

отвечает этой алгебре, если

в качестве базисных элементов взять 1, i, /, k.

Имеем

х

о у = (i {х0

+ *,* +

x2j

+ x3k))

((г/о +

y{i + y2j

+ Узк) j )

=

=

(.v0i — х, +

x2k — x 3 j ) (y0j

+

yxk

— ij2 — y3i)

=

=

(x$2—x2yx

+ xQy3

+

x3y0)

+

(—xQy2—x2?/0+Jt,

г/3 —x3 ij\)

i +

+

( — * i 0 o

— *о*Л +

x3y2—x2tj{)

j +

(д^о—Х\У1—ХгУ2—ХзУз)

*•

Соответствующее тождество

будет

(*g +

*? +

+ xf) (у2-+

у\ +

у\ +

у\)

=

=

{х1у2—х2у]

+ х0у3

+

х3у0)2+(—х0у2—х2у0+х1уг—х3у1)2+

+

(-

Xty0

— ХоУ1 +

Х3у2 —

X 2 y i ) 2

+

{ХоУо-ХМ^Х^—ХзУз)2.

§ 19.

Теорема

Фробениуса

1°.

Формулировка

теоремы

Фробениуса.

Одна

из

классических

задач

теории

алгебр — это

разыскание

всех алгебр с делением. Несмотря на ее, казалось

бы,

фундаментальный характер

(а

т а к ж е

несмотря на

то,

что в

решение

этой

задачи

упирается

ряд вопросов

из

результат

был получен совсем недавно. Он состоит в

том,

что

размерность

любой

из

таких алгебр

равна

одному из

чисел

1, 2, 4,

8. Хотя, как видно отсюда,

раз ­

мерности

алгебр

с' делением

не

слишком велики,

все

ж е

полногб

обозрения

этих алгебр нет и сейчас.

Однако,

если

помимо существования деления,

мы

на­

естественного

характера, то,

разумеется,

наша

задача

станет значительно легче. В 1878 г. немецкий

матема­

тик Г. Фробениус доказал следующую

замечательную

теорему.

Любая

ассоциативная

Т е о р е м а

Ф р о б е н и у с

а.

алгебра

с делением изоморфна

одной из

трех:

алгебре

действительных

чисел,

алгебре

комплексных

чисел или

алгебре

кватернионов.

Впоследствии был

установлен

более общий

резуль­

О б о б щ е н н а я

т е о р е м а

Ф р о б е н и у с а.

Лю­

бая

альтернативная

алгебра

с

делением

изоморфна

одной

из

четырех

алгебр:

действительных

чисел,

ком­

плексных

чисел,

кватернионов

или

октав.

Напомним,

что

альтернативной называется

т а к а я

ал­

гебра,

в

которой д л я

любых

двух

элементов

а

и 6

спра­

ведливы

равенства

(«6)6 =

а

(66)

и

(66)

а =

Ъ (6а).

Очевидно, что л ю б а я

ассоциативная алгебра

автомати­

чески

является

альтернативной,

поэтому теорема

Фро-

бениуса

вытекает'

из

обобщенной

теоремы

Фробениуса

(следует учесть, что алгебра октав не ассоциативна) .

Чтобы доказать обе сформулированные выше тео­

ремы,

мы

перечислим

сначала

некоторые

свойства

ас­

социативной

алгебры

с делением. З а т е м

будет

показано,

как

из

этих

свойств

выводится

теорема

Фробениуса.

Доказательства

самих

свойств

будут

даны

вслед

за

этим.

В

последнем

пункте

п а р а г р а ф а

будет

приведено

2°

Три

утверждения

о

свойствах

ассоциативной

алгебры с делением.

I . Алгебра

s4-

содерэюит

единицу.

У т в е р ж д е н и е

У т в е р ж д е н и е

I I . Если

.элемент

а е

^

не

про­

порционален

1,

то

совокупность

Жа

элементов

вида

а1

+

ра

образует

подалгебру,

изоморфную

алгебре

комплекс­

ных

чисел.

I I I . Если

элементы

ах е= s&,

а2<^бФ

У т в е р ж д е н и е

не

принадлежат

одной

подалгебре

Жа,

то

совокупность

Q0i

0 }

элементов

вида

a l + p4i + Y a 2 + Ьаха2

образует

подалгебру,

изоморфную

алгебре

кватернионов.

Отметим, что в процессе доказательства

утвержде ­

ния

I I I

будет

установлен

следующий

факт:

если

Ьх

и

&2 — два

элемента,

квадраты

которых

равны

—1,

то

6,60 +

6261 =

^1,

(1)

где

X —

действительное

число.

3°. Доказательство

теоремы Фробениуса.

Исходя

из

утверждений

I ,

I I ,

I I I , у ж е

совсем

нетрудно

доказать

теорему

Фробениуса. Пусть $Ф — ассоциативная

алгебра

дает единицей. Элементы вида

k\

образуют подалгебру

3),

изоморфную

алгебре действительных чисел. Если <25

не

совпадает

со

всей

алгеброй

s&, то, согласно

утвер­

ждению

I I , ъ s& содержится

подалгебра

Жа,

изоморфная

алгебре

комплексных

чисел.

Если

Жа

не

совпадает

со

всей алгеброй s&, то, согласно утверждению

I I I , в

$$• со­

держится

подалгебра

Qa,b,

изоморфная

алгебре

ква­

тернионов.

В

случае,

когда Qa, ь совпадает

со всей

ал­

геброй

зФ,

доказывать

больше нечего. Предположим

по­

этому, что существует

э л е м е н т е ,

не п р и н а д л е ж а щ и й Q a < 0 ,

В кватернионной

алгебре

Qa, ь выберем

базис 1,

i,

/, k со «стандартной» таблицей

умножения: .

.

,

p =

f =

k 2

= -

1,

ij = — ji — k,

jk

=

— kj

= i,

ki = — ik

= /*,

а

элемент

с представим

в

виде

р\

-f- qe, где

е2

=—1

(е есть «мнимая единица» комплексной алгебры

Жс).

Преобразуем

теперь

элемент

ie,

используя

ассоциа­

тивность умножения

в

алгебре si,

а

т а к ж е соотношение

(1).

Имеем

ie

=

(jk) е =

/ (ke)

=

j (-

ek

+

Л/1) =

-

(je)

k +

X'j

=

=

—

(-

ej

+

X"\)

k

+

A.'/ =

ei -

А/'й +

Г /

и,

следовательно,

ie

+

ei =

X"'l.

, С к л а д ы в а я эти два равенства,

находим,

что ie

есть

эле-

' мент

из

Gta, ь- Следовательно,

ic

— i (pi

+

<7е)есть

так­

ж е

элемент из' Qa,

ь- Мы видим, что умножение

i на

лю ­

бой

элемент,

не принадлежащий . ^а, ь, дает элемент

из

da, ь- Но и в том

случае,

когда

с' <= Qai

b ,

произведение

ic'

есть

элемент

и з . С£а,ь-

Таким

образом,

элемент

i

в

произведении с любым элементом алгебры

si

дает

эле­

мент

из Qa,b-

Н о

это невозможно, если

si

есть алгебра

с делением

(уравнение

ix — с,

где с не содержится

в

(£а,ь,

оказывается

н е р а з р е ш и м ы м ) . Этим

(если.считать

справедливыми утверждения I , I I , I I I ) доказана теорема

Фробениуса.

4°. Доказательство утверждений I , I I , I I I . Итак,

что­

осталось

только

проверить

справедливость

утвержде ­

ний

I , I I

и I I I .

Д о к а з а т е л ь с т в о

у т в е р ж д е н и я

I . Пусть

а — какой-нибудь

отличный от нуля элемент

алгебры si.

Рассмотрим

уравнение.

ха

—

а.

Так

как

si

есть

алгебра

с

делением, то

написанное

значим это

решение

(т.

е.

искомый элемент

х) через е.

Итак,

еа =

а. У м н о ж а я

обе

части

этого равенства слева

на Ь, получим Ъ(еа) =

Ьа,

или,

учитывая

ассоциатив­

ность

алгебры si,

(be) а == ba. Ввиду единственности ре­

шения

уравнения

ха

=

Ьа, отсюда

следует