книги из ГПНТБ / Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа

щую идеи

доказательства, после

чего

заполним

«дыры»

в проведенных рассуждениях.

^

2°. Набросок

доказательства .

Обозначим

единицу

алгебры

эФ

через 1.

К а ж д ы й

элемент

,а

одно­

значно представляется в виде суммы

двух с л а г а е м ы х * ) ,

из которых

одно

пропорционально 1, а

другое

ортого­

нально 1:

a = k\ + а ' ,

где k — действительное

число, а

а ' 1

. 1 .

Введем в ал­

пряженный

а,

есть

_

a =

k\

— а'.

В частности,

если

элемент

а пропорционален

1, то

а—а;

если ж е а

ортогонален 1,

то

а ——а. Очевидно

также,

что

_

а =

а

и

_

_

а-\-Ь

=а

-f- ft.

Теперь,

когда

в алгебре

s4

введено

сопряжение,

доказательства

теоремы.

Пусть

°U —

какая-нибудь

подалгебра

алгебры

s4,

со­

держащая

1

и

не

совпадающая

со

всей

алгеброй.

Вы­

берем

в

°U

баз,ис

из элементов

1,

i\,

i2,

....

i„,

где

h, h,

i n

ортогональны

1,

тогда для

любого элемента

«о +

M i +

• • • +

fln'n

и-з

°U

сопряженный

будет

а0

—

— aiti — . . . — anin.

Отсюда

видно,

что

если

элемент

и

принадлежит °U, то и сопряженный

ему

элемент

U

так­

ж е

принадлежит

°И.

Согласно теореме § 12, существует

ненулевой

век­

тор,

ортогональный

°U\

умножая

его

на

подходящее

число,

получим

единичный

вектор

е, ортогональный

Щ.

Будет

показано,

что

множество

элементов

вида

и, +

ще

(и, е= <U, и2 е= <U)

(2)

замкнуто относительно умножения, т. е. снова

образует

подалгебру. Обозначим

последнюю

<U +

°lLe- Мы

дока­

жем,

что:

I)

представление любого элемента из Ш-^-Ще

в

виде (2)

возможно лишь

единственным

образом;

I I )

для произведения элементов вида (2)

справед­

лива

формула

(ы, -4- « 2 е

) fai +

v2e)

=

(wit;, — v2u2)

+

(t»2«i + u2Vi)е-

(3)

Сопоставив эти факты с процедурой удвоения, описан­

ной в § 6, мы приходим к следующему заключению:

под­

алгебра

°U + °Ue

изоморфна

удвоенной

подалгебре

°U.

Теперь

основные

трудности

в

доказательстве

тео­

ремы

остаются

позади.

П р е ж д е

чем

перейти

к

завер ­

шающему этапу доказательства, сделаем одно

замеча ­

ние по поводу сопряжения в алгебре s4-.

Поскольку алгебра si- содержит единицу, то в ней

имеется

подалгебра,

состоящая

из

элементов

вида

k\.

сел; обозначим

ее SD. Если в

предыдущих

рассуждениях

в качестве 01 взять подалгебру 3),

то е

будет

любой

вектор длины

1, ортогональный

1. Из

формулы

(3) то­

гда следует, что

е 2 = ( 0 + 1 е ) ( 0

+

1е) =

— 1 .

вектора

а', ортогонального

1,

равен XI, где X =ё" 0. Легко

доказать

и

обратное:

если

квадрат

какого-либо эле­

мента равен

XI, где

X ^

0,

то этот

элемент ортогона­

только

они

характеризуются

тем, что их квадраты рав ­

ны XI,

где

Д.

0.

Это

позволяет

нам

описать по-дру­

гому сопряжение в

алгебре

s4-: для

произвольного-

эле­

мента

н е

si-

берется

его

единственное

представление

k\ +а',

где а'2 =

Х1,

Я < 0 ,

тогда

а =

k\ — а'.

*)

Действительно,

квадрат любого элемента, не ортогональ­

ного 1, т. е. элемента

вида a — ki+d',

где к Ф

0,

a' _L 1,

равен

(ki + a') (ki + а')

= k4 + а'2 +

2ka' =

k4

+

ц.1 + 2ka'.

Если

это выражение

пропорционально

1,

то

а' =

0,

следовательно,

а =

к\,

но

квадрат

такого элемента

не

может

равняться

XI, где

X «S

0.

.101

тор е, ортогональный ЗУ. Рассмотрим тогда

подалгебру

Ж' — ЗУ + ЗУе- Она является удвоением ЗУ

и, следова­

гональный Ж. Рассмотрим тогда

подалгебру Q = Ж+

-\-Же',

являющуюся удвоением Ж. Она изоморфна ал­

гебре

кватернионов. Из данной

выше характеристики

Если

подалгебра

Q

не

совпадает

со

всей алгеброй

зФ, то снова выберем единичный вектор е",

ортогональ­

ный Q, и рассмотрим подалгебру

О =

QJrQe">

являю­

щуюся удвоением Q и, следовательно, изоморфную ал­

гебре

октав

(§

6).

Оказывается,

эта

подалгебра

уже

обязательно

совпадает

с

зФ, ибо,

как

мы

д о к а ж е м ,

лю­

бая

подалгебра,

с о д е р ж а щ а я

1 и не

совпадающая

со

всей

алгеброй

зФ, ассоциативна.

Поскольку

умножение

октав не ассоциативно, подалгебра О

обязана

совпа­

дать со всей алгеброй зФ\

Подводя итог сказанному выше, мы . получаем, что

если алгебра зФ не изоморфна одной

из

алгебр

ЗУ,

Ж

или Q, то она изоморфна алгебре О. Но это и есть

утверждение

теоремы.

Итак,

теорема

будет

доказана,

если

мы

проверим

справедливость

утверждений

I)

и

I I ) ,

а

также

докажем

утверждение

I I I ) : любая

подалгебра

41,

содержащая

1

и не

совпадающая

со всей

алгеброй

s4-,

ассоциативна.

3°. Д в е леммы. Предварительно нам

понадобятся

две

чале с их формулировками, оставив доказательства

для

«второго чтения».

Л е м м а

1. В

любой

нормированной

алгебре

si

справедливо

тождество

(а,&„

а2Ь2)

+ (a,6g ,

a2b{) = 2 («„ а2)

(&.„ Ь2).

. (4)

Если

теперь

предположить,

что

формула

(6)

справед­

лива для вектора 6, то получим

(аЬ')

Ъ' =

k2a

-|- (66)

а = [k1

+

(6, 6)] а =

(6',

6')

а *),

т. е.

получим,

что

формула

(6)

справедлива

для

век­

тора

6'.

Итак, будем доказывать тождество (6) в предпо­

ложении, что

6 _L 1

(или, что то ж е самое,. 6 =

—6).

Д л я

сокращения

дальнейших

записей

обозначим

число (6, 6)

через

X.

Рассмотрим

элемент

с =

(аЪ) 6 — Ха.

Мы должны

показать,

что с — О или,

чтото

ж е

самое,

(с,

с)

=

0.

В

силу

свойств

скалярного

произведения

имеем

(с,

с) =

((а,

6) 6, (аЪ) Ь) +

X2 (а,

а)

-

2Х {(аЬ)

6,

с).

(7)

П р а в а я

часть состоит

из

трех

слагаемых. Первое

из

них

легко

упрощается с помощью основного тождества

(1):

((сб)6,

(а6)6) = (аб, аЬ)(6,

6) =

(а, а)(6,

б)2 =

X2(а, а).

Д л я

упрощения

третьего

слагаемого

воспользуемся

тождеством (4). Предварительно запишем это

тожде­

ство

в

виде

(а,6,,

а2 62 ) =

2 (а„

с2 ) (6,,

6,) — (а,62 ,

а2 6,).

П о л а г а я

здесь

а, =

а6,

6j =

6,

а2

— а,

6 2 = 1 ,

будем

иметь

((аб) 6, а) =

2 (аЬ, а) (6,

1) -

(аб,

об),

но первое слагаемое правой части равно

нулю

вслед­

ствие

6 ± 1,

а

второе

равно

— (аб, аб) =

(аб, аб) =

(а, а) (б, 6) =

X (а,

а).

*)

Из

равенства V

=

61 +

6

имеем

(6',

6')

=

ft2О.

1)

+ (Ь, *>);

далее

нужно учесть, что (I, 1) =

1,

как

легко

следует

из основного

тождества

(1)

при а =

b =

1,

О к о н ч а т е л ь но п о л у ч а е м .

((ab) Ь,

а) =

Л(а,

а).

В о з в р а щ а я с ь

к

равенству (7), м о ж е м теперь

з а п и с а т ь

(с, с) =

Я,2

(а, а) +

X2 (а,

а) -

2Х2 (а, а)

=

О,

что и требовалось

доказать .

С л е д с т в и е

л е м м ы

2.

Из

тождества

(6) мы вы­

ведем сейчас другое тождество, которое

в

дальнейших

рассуждениях

сыграет очень в а ж н у ю

роль.

Подставим

ег(6) вместо

Ь

сумму

х

у.

Получим

(а(х

+ у))(х + у)

=

(х + у,

х

+

у)

а

или

= (дс, х)а

+(у, у)

а+ 2 (х,

у)а.

Но в силу того ж е тождества (6)

первое

и второе

сла­

второму слагаемым

правой части, следовательно,

(ах)у

+ (ау)~х = 2(ху)а.

(8)

Это и есть требуемое тождество.

Из тождества (6) при а = 1 получается

(аЬ)

6 =

а (66);

отсюда тотчас

следует

(а6)6 =

а(66).

Аналогичными

рассуждениями

можсо

получить формулу

Ь (6а) =

(66)

а.

П р е ж д е всего

установим,

что

подпространства

°11

и °Ue

ортогональны

друг

другу,

т. е. что U\Lu2e

для

лю­

бых двух элементов

U\ ^.°U,

и2(=

Щ.

Д л я

этого

воспользуемся

леммой 1. Если

в тожде ­

стве (4)

взять

а{ =

ии

Ь{

— и2,

а2

= е, Ь2=1,

то

получим

(«,«,, е ) + ' ( « , ,

и2 е) = 2(и,,

е)(и2,

1).

Теперь нужно учесть, что °U

есть подалгебра и, зна­

чит, щи2

принадлежит

01.

Итак,

«i -L е,

UiH2

-L е

;

по­

этому

из

написанного

выше

равенства

следует

(u,,u2 e) =

0,

т. е. « 1 J- и2е.

Таким

образом,

подпространства

°U

и

'Ue

ортогональны.

представление

Отсюда легко следует утверждение I ) :

любого

элемента

из

cU-\-°Ue

в

виде

их

-4- и2е

возможно

лишь

единственным

образом.

В

самом

деле, пусть

ц, +

и2 е =

и\ +

и'2е.

Тогда

« i - B i = K - " 2 ) e

и, значит,

элемент

v^Uy

— щ

принадлежит

одновре­

менно

подпространствам

Ш

и

<Ые. Но,

по

доказанному

следовательно,

(v, v)

— 0 и

тем

самым v — 0.

Это

дает

и, — ы{ = 0

и

(1*2 — и.2) е =

0.

Д а л е е ,

легко

видеть, что

в силу основного тождества (1)

из ab = 0 следует

с =

0 или

& =

0.

В

данном

случае

произведение

(и'2 — и2) е

равно

0,

и

поскольку

е Ф

0,

д о л ж н о

быть

и'.2 — « 2 =

0. И т а к ,

=

и2=±и'2,

и

утверждение

I)

доказано .

Перейдем

к

доказательству

утверждения

I I ) .

Н а м

нужно

проверить справедливость

формулы (3).

С

этой

целью д о к а ж е м ,

что

для любых

двух

элементов

и . и

о

из подалгебры Щ имеют

место

формулы

(ие) v =

(uv)

е,

(а)

и

(ve)

=

(vu)

е,

(Р)

(ие)

(ve)

=

— vu.

(у)

(а, +

и2е)

(t>,

- j -

v2e) =

и,г>,

+ (и2е)

(v2e)

- f (ще) и,

- j - и,- (v2e)

и если последние три слагаемых

правой

части

преобра­

зовать по

формулам

(а),

(Р),

(у),

то получим

. (и, +

и2 е) (vi +

f2 e) =

( и ^ ,

— г>2и2) - f (f2 a, +

и2г>,) е,

т. е. формулу

(3).

(Р),

Д л я

доказательства

(a),

(у)

будем

ИСХОДИТЬ

ИЗ доказанного

ранее тождества

(8):

(ах)у

+ (ау)х

=

2(х,

у) а.

(8)

П о л а г а я

в этом тождестве

а =

и,

х =

е,

y —

v

и учитывая,

что v

1

е, будем

иметь

(ue)v

+

(иг;) е =

0.

Если

учесть, что

е =

—е

(ибо

е 1

1),

то

получаем фор­

мулу ( а ) .

Чтобы

доказать

(Р),

положим

в

тождестве

(8)

а—\,

х — и,

y —

ve.

Учитывая,

что

ve

—

— ve

(ибо

veA,°U

и,

значит,

f e l l ) ,

получим

_

и (ve)

— (ve)

и =

0;

если

теперь

воспользоваться

уже

доказанной

формулой

( а ) ,

то будем

иметь'

Д л я

вывода формулы (у)

воспользуемся

следующим

очевидным замечанием: если эта формула

справедлива

при

v =

с и при v = d, то она справедлива

и

при v =

=

с -\-d.

Поскольку каждый

элемент v можно

предста­

пропорционально

1,

а другое

ортогонально

1, то

из сде­

ланного выше замечания ясно, что формулу

(у)

доста­

точно доказать для

двух случаев: когда v

=

k\

и когда

o i l . .

Если v = k\,

то

формула

(у) принимает

вид

k(ue)e—

— ku;

тождества

(6).

_

Пусть

v _L 1

(и,

следовательно,

v

=

—v). П о л а г а я

в тождестве

(8)

будем иметь

а =

и,

х =

е,

_

у =

—

ve,

(ие) (ve)

—

(и (ve))

е = — 2 (е,

ve) и.

Но

в ы р а ж е н и е

(е, ve)

в силу тождества (5) равно

(1,г;)(е, е), т. е. равно нулю.

Д а л е е ,

в

силу

(р)

второе

слагаемое

левой

части

равно — ((vu)

е) е =

— vu

=

vu.

Отсюда

(ие) (ve)

_

=

—

vu,

что и требовалось получить. Итак, все три формулы

(а),

(Р),

(у),

а вместе

с

ними и

утверждение I I )

доказаны .

Чтобы завершить доказательство теоремы, мам оста­

лось

сделать

последний

шаг:

показать,

что

(утвержде­

ние

I I I ) )

любая

подалгебра

Щ

алгебры

s&,

содержащая

1

и

не совпадающая

со

всей

алгеброй

ассоциативна,

т.

е.

(uv)

w =

u

(vw)

для любых трех элементов и,

v, w из

°U.

(8).

Д л я этой

цели

воспользуемся

снова

тождеством

П о л а г а я

в нем

_

_

a — ve,

x =

w,

у =

ие,

будем иметь

_

_

((tie) w) (— ие) -f- ((ve)

(ие))

w

= О

или,

если

применить

формулы

(а),

(у),

и (vw)

— (uv)

w =

0.

Доказательство теоремы Гурвица теперь полностью

завершено.

§

18. Способ

построения

любой

нормированной алгебры

П р е ж д е

всего укажем один специальный

прием, с по­

мощью

которого мо:кно, исходя из данной

нормирован­

Пусть А

и

В — два

ортогональных

преобразования

в si

(т. е. два

преобразования, сохраняющих норму

лю­

бого

элемента

x e r f ) .

Определим

в

векторном

про­

странстве алгебры ^

новое

умножение — будем

обозна­

чать его с помощью

значка

« ° » — по

формуле

и о у =

А (и) В (t>).

(1)

К а к

видно

из этого

определения,

дл я

того,

чтобы

получить произведение элементов и и v

в новом

смысле,

следует взять вместо и и v элементы

А (и)

и

B(v)

и

перемножить

их в старом

смысле.

Нетрудно убедиться, что дл я новой

операции

спра­

ведливы

такие

соотношения:

и

И о (»!

+

V2)

= U <s'Vt -f-

U о » 2 ,

U ° kV

= k

{и о

v)

(«] +

u 2

) 0 v

— и, ° v

-+- и 2 о v ,

ku°v

=

k(u°v);

операция

« ° »

действительно

является

умножением

(см. 7° § 7 ) .

Векторное пространство алгебры . .5$, снабженное но­

вой

операцией

умножения,

обозначим

sio.

Таким

обра-,

зом,

si

и sio — это одно и

то

ж е векторное простран­

ство, но снабженное различными операциями

умно­

жения.

si по условию

В

алгебре

задано

скалярное

произ­

ведение

(х, у).

Оказывается,

что по отношению к

этому