книги из ГПНТБ / Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа

торые

алгебры

занимают

исключительное

положение.

Это — алгебра

Ж

всех

комплексных

чисел,

-алгебра Q

кватернионов и

алгебра

О

октав. Что

ж е именно

отли­

чает

эти алгебры

от всех

остальных? Н а

этот

вопрос

социативности. Это

предложение,

в

несколько более точ­

ной формулировке,

носит

название

теоремы Фробениуса.

2. Алгебры

3),

Ж,

Q

и О — единственные

алгебры

с

делением,

в

которых

справедливы

формулы

(uv)v

=

=

u(vv)

и

v(vu) =

(vv)u

(ослабленный вариант

ассо­

верждение называется

обобщенной теоремой

Фробе­

ниуса.

3. Алгебры 3), Ж,'Q

и О — единственные

алгебры

ляет содержание теоремы

Гурвица.

Словом, в иерархии

алгебр

положение

представ­

ляется

примерно

в следующем

виде. «Основой

основ»

служит

алгебра

действительных

чисел. Ее

ближайшим

соседом

является

алгебра

комплексных чисел, в

кото­

и для него существует

единица. Д а л е е

следует алгебра

кватернионов — из

перечисленных выше

свойств

в ней

теряется,

только

коммутативность

умножения.

Ещ е

д а л ь ш е

расположена

алгебра октав,

где ассоциатив­

квадратов»,

з а к л ю ч а ю щ а я с я

в разыскании

всех

тож ­

деств

определенного

типа:

(а? +

а | + . . .

+

+ь2п) =

=

Ф? + Ф 2 + •••

+ Ф п

(1)

(см. § 3). Исходя из одного упомянутого выше

свой­

ства

алгебр

2), Ж,

Q и О (норма произведения

равна

примеры

таких

тождеств

для п=

1,

2,

4,

8. В

настоя­

щей главе будет показано, что число

п

в

тождестве (1)

может принимать только эти четыре

значения;

решаю ­

щую роль в доказательстве этого факта будет

играть

теорема Гурвица. Таким образом, и

в «задаче о

сумме

квадратов»

основными

персонажами

выступают

все те

ж е алгебры

SD, Ж, Q и О.

Эта

глава

посвящена

уточнению

и

доказательству

всех

перечисленных

выше

фактов.

§ 14.

Изоморфные

алгебры

Согласно

определению, данному

в § 7, л ю б а я

алгебра

размерности п состоит из элементов,

однозначно

пред-

ставимых в

виде

а,*! +

a2i2

+ . . . +

anin,

д о л ж н а быть з а д а н а

таблица

умножения (первоначаль­

ных) базисных

элементов i{; t2 , . . . ,

i n , т. е. таблица

из

/ I 2 соотношений

вида

*а^р = =

^ар.1 ' )

~Г" ^ар,2' 2

~~\~ • • •

"Т" ^ар> я ' л

(1)

( а , р = 1 , 2 ,

п),

«1*1 + . • • + anin

и

+ . . . +

bnin

алгебры производится по обычному правилу

умножения

суммы

на

сумму,

с последующим

учетом

соотноше­

ний (1).

Можно

сказать

поэтому, что

л ю б а я алгебра

размер ­

ности

п — это «-мерное

векторное

пространство

А п , в

зисных

элементов — таблица (1).

Казалось бы, отсюда напрашивается вывод, что две

алгебры

размерности п, определенные различными

таб­

ные

алгебры. Однако

такая

точка

зрения

. была бы не

совсем правильной, и вот почему.

Пусть s4- — алгебра размерности

п

с

первоначальным

базисом ii, i2,

i n

и таблицей

умножения (1). Перей­

дем

в векторном пространстве

s&

к

другому

базису

i\, i2,

in\

естественно, получим

и

другую

таблицу

умножения

iah

— AiP,I ii

+

/аР,2 ii

+

• • •

+

^аР,п in

(2)

(а,

р =

1, 2,

. . . . п).

Теперь представим себе еще одну

алгебру — обозна­

чим

ее зФ' — с первоначальным

базисом

i\,,h,

in.K

с таблицей умножения

(2). Следует

ли

рассматривать

но,

по существу,

есть

та ж е с а м а я

алгебра

s&,

толь­

ко

отнесенная к

другому

базису.

Естественно

поэтому

считать

различие

между

алгебрами

s4- и

^ ' н е с у щ е ­

ственным. Т а к а я

точка зрения находит свое

выражение

в понятии изоморфизма.

О п р е д е л е н и е . Д в е

алгебры

одной и той

ж е

раз ­

мерности

п называются

подобными

друг

другу

или

зисных

элементов

обоих

алгебр;

например,

базисные

элементы

первой

алгебры

могут

быть

обозначены

С\, с2,

ст,

а

второй, — скажем,

d\,

d2,

сас$

dn. Тре­

буется

лишь,

чтобы

к а ж д о е произведение

разлага ­

лось

по си

с2, ...,

сп с

точно

такими

же

коэффициен­

тами,

ка к

и

произведение

dad$ по

du

d2,

dn.

Это

означает, что если,

например,

слс2

=

Зс, — 7съ,

то д о л ж н о

быть

т а к ж е

dud2

=

3di —

7d5.

В

математике

две

изоморфные

алгебры

не

счи­

таются

различными:

это — как

бы

два

различных

эк­

земпляра

одной

и

той

оюе алгебры.

В

связи

с

этим,

ищется в форме:

искомая

алгебра изоморфна либо та­

кой-то

конкретной

алгебре,

либо такой-то и т. д.

В

гл. 1 мы ввели

понятие

гиперкомплексной

систе­

мы, а

затем — более

широкое

понятие алгебры .

Соотно­

ма. Было показано ( § 7 ) , что л ю б а я

гиперкомплексная

система может рассматриваться ка к

алгебра, в которой

первый

из первоначальных

базисных

элементов яв­

ляется

единицей алгебры:

Ma — M i == 'а

Д л я всех

а.

мом деле, если

дана

алгебра с

единицей

1, то,

выбрав

в

ней

новый

базис

i\, h,

in так,

чтобы

было

* i =

l ,

мы

получим

таблицу

умножения,

в

которой

iiia

= ia.ii —ia

дл я

всех ос, т.

е. таблицу

умножения

в некоторой

гиперкомплексной

системе

Л.

Отсюда сле­

дует, что исходная алгебра изоморфна

гиперкомплексной

системе Ж.

•

В заключение приведем один пример, иллюстрирую­

щий

роль

понятия

изоморфизма .

Исходя

из

результа­

тов,

полученных

в

§ 2,

мы

можем

теперь

сказать, что

л ю б а я

алгебра

размерности

2, о б л а д а ю щ а я

единицей,

изоморфна

одной

из

трех

гиперкомплексных

систем:

комплексных, двойных

или дуальных чисел. Именно это

и

есть

перевод

на

точный язык того факта, который в

§

2

мы

в ы р а ж а л и

словами «любая

система

чисел а + Ы.

редь,

входит в

алгебру

октав

и т. п. В подобных слу­

чаях

вместо, слова

«часть»

употребляют

термин

«под­

алгебра».

О п р е д е л е н и е.' Множество 5я

элементов

алгебры

s4- называется

подалгеброй

алгебры

s&,

если:

\) . £Р является

подпространством

векторного

про-

s странства

s&\

2)

замкнуто относительно умножения

в а л г е б р е ^ / ,

т. е. если

а е & и

то аЬ е й 3 .

Первое требование равносильно (§ 10) тому,

что &

есть

множество

всех линейных комбинаций

&,а, -f- k2a2 +

. . . + kpdp

некоторых

векторов

аи

а2,

ар.

Последние

могут

быть

выбраны

линейно

независимыми, в

этом

случае

они составляют базис, подпространства SP

(и

число их

.не превышает

п).

Д л я того, чтобы

было выполнено

второе

требование,

фактически достаточно,

чтобы

всевозможные

произведе­

ния базисных

элементов

ааа^

(а, р

=

1, 2, . . . ,

р)

принадлежали

снова

т. е. чтобы

имели

место

равен­

ства

( а , Р = 1

Р).

ментами Я), а2,

а р

и таблицей

умножения

( I ) .

Приведем

несколько

примеров

подалгебр.

1.

В

алгебре

кватернионов

подалгеброй

является

подпространство

с

базисом

1,

/.

Более

общий

пример:

подпространство

с

базисом

1, я,

где

я — какой-либо ква­

тернион,

не

пропорциональный

1.

Л ю б а я т а к а я

подал­

гебра

изоморфна

алгебре

комплексных

чисел.

2. В алгебре октав подалгеброй является подпро­

странство с базисом 1, i,

Е,

I . Эта

подалгебра изоморф­

на алгебре кватернионов

(в указанном

базисе

таблица

пространство

с базисом

I , a,

b, ab, где а и b — любые

две

мнимые

единицы из первоначального базиса 1, i, j ,

k, Е,

I , J, К

алгебры

октав.

менты первых k строк (k

— фиксированное число)

равны

нулю: Более сложный пример: подпространство

«шах­

матных» матриц, т. е. матриц, у которых элементы

а^,

где

г' + / — нечетное число, равны нулю. Например,

при

/1 =

3 это будут матрицы

вида

*

0 , *

0

* 0

0

® 1

(X\i

х2>

• • •>

х п \

У[> Уъ

• • •> ilti)>

Ф 2

(хи

х2,

.. .,

хп;

у^, у2,

•. •,

уп)>

Фп(х\>

х2>

•••>

хп\

У\> Уъ

• • • >

Уп)

{х\ + х\+ . . . + ^ у * + у1+

. . .

+yl)

=

=

Ф? +

Ф 2 +

. . . - + Ф«.

(!)

построить в , г л а в е

I примеры

тождеств

(!) для п =

2,

л =

4 и

п =

8. Однако

там ничего не было сказано о

том,

как

строится

любое

тождество (!). Этим вопросом

мы

займемся

сейчас.

Г . Связь

тождества

(!)

с

некоторой

алгеброй - .5$.

П р е ж д е

всего

заметим,

что

с

к а ж д ы м тождеством

(!)

связана

некоторая

алгебра.

Эта алгебра

определяется

торное

пространство,

элементами

которого

являются

векторы

*1*1 +

*2*2 +

••• + * „ * „ .

(1)

Произведение любых двух элементов этого

пространства

и

х =

xiii

+ x2i2

+ . . .

+

xnin

y =

tJ\i\

+

Uih

+

•••

+yJn

определяем

формулой

xy

=

ф,«, +

Ф2 £2 + . . .

+ ф „ * я .

(2)

Ввиду «линейности»

форм

Ф ь

Ф 2 ,

Ф п

по

перемен­

ным Х\, х2,

хп,

а т а к ж е

по переменным уи

у2

уч

ясно, что

выполняется к а ж д о е

из

написанных

ниже

ра­

венств:

kx-y

=

k (ху),

х

• ky

=

k

(xy),

(*i

+

x2)

у =

xxy

+

x2y,

x (y{

+

y2)

=

xyx

+

xy2.

Отсюда следует, что закон умножения

(2) . дейстритель-

но определяет

некоторую

алгебру

(см. 7° § 7).

Обозна ­

чим эту

алгебру

К а к

следует

из

сказанного выше,

алгебра зФ полностью определена, как только

задано

тождество

(!).

s&. Посмотрим,

2°. Нормированность

алгебры

какому

свойству

алгебры

соответствует

тот

факт,

что

Ф ь Ф2,

Фп

—

не

просто

какие-то

формы

второй

степени,

а

такие,"

для

которых справедливо тожде­

ство

(!).

зФ скалярное

С

этой

целью

зададим

в

алгебре

- р о -

изведение

(х,у),

определив

его

через

координаты

век­

торов

х

и у

в базисе

/ ь i2,

• • •, in-

(X, у)

=

Xyljy +

Х2У2 +

• • •

+

хпуа.

(3)

В частности,

{х,х)

= х\ + х\

+ . . .

+ 4 .

(*а. » а ) . =

1.

(*а>

if)=0

при всех

а, Р =

1,

. . . . п,

а ф

р.

Д л я

пояснения

этих

равенств

заметим,

что. у

вектора

ia отлична от

нуля

только а-я

координата (она р а в н а . 1 ) ,

а у вектора

ip —

только р-я.

зФ определено скалярное про­

Теперь,

когда

в

алгебре

Выражение, стоящее в правой части тождества,

как

нетрудно заметить,

равно

(ху,ху)

— «скалярному

квад­

рату»

элемента

ху;

левая

ж е часть представляет

собой

произведение

двух

«скалярных

квадратов»: (х,

х) и

(у,у).

Поэтому

вместо

(!)

можно

записать

{ху,

ху)

=

{х, х)

{у,

у).

(4)

\ху\ = \х\\у\

(4')

(норма произведения равна произведению норм) .

Примем теперь следующее

О п р е д е л е н и е .

Алгебра s&

называется

нормиро­

ванной, если в ней

можно ввести

скалярное

произведе-

4 И. Л. Кантор, А. С. Солодовников

97

ние

таким образом, что

будет

выполняться

тожде ­

ство

(4).

Примерами

нормированных алгебр

являются

уже

известные нам алгебры комплексных чисел,

кватернио­

нов и октав. Их

нормированность

следует из

того,

что

в каждой из этих алгебр справедлива формула

(4');

при

этом, чтобы все в точности соответствовало

определе­

нию нормированной алгебры, нужно только

указать

такое

скалярное

произведение

(ж, у),

для

которого

выполнялось

бы

равенство

| х | =Y(X>

*)•

В случае

ние определяется

формулой

(z,

z')

=

х1у1

+

Х2У2,

где z — Xi-\-yxi,

z'

=

л'о +

y2i,

для алгебры

кватер­

нионов

(q,

q')

=

Xtft

+

х2у2

+

ХзУз +

x4yit

где q = ж, + x2i

-f- *з/ +

xAk,

q' =

yx + y2i +

y3j +

У^\ ана­

логичным

образом

определяется скалярное

произведение

в алгебре

октав .

3°. Заключение.

Итак,

мы

доказали,

что

каждому

ванную

алгебру si.

Умножение

любых двух

элементов

х = x\ix

+ ...

+

*nin,

У =

У\Н + . • • • +

У^п

в этой

алгеб­

ре определено

по формуле

жу = Ф , 1 , +

. . .

+

ФП *„,

(5)

а

скалярное

произведение — по

формуле

(ж,

у) =

ххух

+

х2у2

+ . . .

+

хпуп.

В

алгебре si

элементы

i\, i2,

in

образуют

ортонор-

мированный

базис;

при

этом

тождество

(!) .есть

не что

иное, к а к . у с л о в и е

нормированное™ алгебры si-, запи­

санное

в этом

базисе.

Легко видеть, что справедливо и обратное

утвержде­

ние, а

именно: если

дана

произвольная

нормированная

алгебра" si

и

в ней

выбран

любой

ортонормированный

базис

«1, i2,

in,

то, записав закон умножения в этом

базисе, получим ч форм Ф(,

Ф 2 , . . . ,

Ф„,

а записав ус­

ловие

нормированное™

алгебры

si,

получим

тожде­

ство (!) с этими формами

в правой

части.

ключению.

Все

наборы

форм

Ф ь

ф 2 , . . . ,

Ф„,

удовлетворяющие

тождеству

(!),

могут

быть получены следующим

путем.

Нужно

взять

любую

нормированную

алгебру

s4- и

в

ней

произвольный

ортонормированный

базис

i u

i2, ...,

i„,

затем

записать

закон

умножения

алгебры

s4- в виде

(5).

Отсюда видно, что задача перечисления

всех

тож­

деств (!) сводится к двум

з а д а ч а м :

1)

разысканию

всех нормированных

алгебр;

2) записи закона умножения для каждой из таких

алгебр в к а ж д о м из ее ортонормированных

базисов.

Первую

из

этих

задач

мы рассмотрим

в

ближайших

рованные алгебры.

Н и ж е будет доказана теорема,

впер­

вые

установленная

немецким

математиком

А. Гурвицем

в 1898 г. Она хотя и не дает еще полного

перечисления

всех нормированных алгебр, но все

ж е

снимает

основ­

ную долю трудностей, связанных с

решением этой за­

дачи.

Т е о р е м а

Г у р в и ц а .

Любая

нормированная

ал­

гебра

с единицей

изоморфна

одной

из

четырех

алгебр:

действительных

чисел, комплексных

чисел,

кватернионов

или

октав.

ше,

существуют нормированные

алгебры,

не содержа­

щие

единицы; такие алгебры не

могут быть

изоморфны

каждой

из этих

четырех

алгебр единица имеется.

Итак,

пусть

$Ф — нормированная

алгебра

с едини­

цей. Напомним,

что мы

условились

называть

алгебру

изведение со следующим

свойством:

{аЬ,аЬ)

= {а,а)(Ъ, Ь).

(1)

4*

99