Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.9 Mб

Скачать

☆

1 / 151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

И . Л . К А Н Т О Р , А . С . С О Л О Д О В Н И К О В

ГИПЕРКОМПЛЕКСНЫЕ Ч И С Л А

И З Д А Т Е Л Ь С Т В О сНАУ1<А> Г Л А В Н А Я Р Е Д А К Ц И Я

ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Л И Т Е Р А Т У Р Ы М О С К В А 1 9 7 3

517.1 К 19

УДК 512.8

i O v . ПУБЛИЧНАЯ
НАУЧ; ;0-ТЕХЦИЧЕбКАЯ
' БИБЛИОТЕКА С С С Р -	1,

АННОТАЦИЯ

:' { 1

Л•


	Эта	брошюра		посвящена		гиперкомплексным					чис
лам— обобщению				обычных	комплексных			чисел. В ней
рассказывается			о том, к чему			приводит		замена		одной
«мнимой		единицы» ('несколькими					мнимыми		единицами,
иначе		говоря,	рассказывается				о величинах				вида
а +	Ы +	cj...	В	частности,	книга		знакомит		читателя
с	замечательными примерами					гиперкомплексных					чи
сел -*- кватернионами й октавами.							Эти	числа		играют
большую роль			в	различных	математических				вопросах.

В книге рассматриваются два таких вопроса: разыска ние «алгебр с делением» (теорема Фробениуса) и ра зыскание «нормированных алгебр» (теорема Гурвица).

©Издательство «Наука», 1973.

Исай Львович			Кантор.	Александр		Самуилович	Солодовников
			Г И П Е Р К О М П Л Е К С Н Ы Е Ч И С Л А
			М.,	1973 г.,	144 стр. с нлл.
			Р е д а к т о р		В. В.	Донченко
Т е х н . редактор		Е. Н. Земская		Корректоры О. А.			Бутусова,	А. Л.	Ипатова
Сдано в	набор	17/VI	1973 г.	Подписано		к печати	П/ХИ I973 г.		Бумага
84ХЮЗ'/1 3 ,	тип. № 2. Фнз. печ. л. 4,5.				Условн. печ. л . 7,56.			Уч.-иэд. л. 6,93.
	Т и р а ж 60 030 экз. Т-19920. . Цена книги 22 коп. З а к а з							№ 671

Издательство « Н а у к а > Главная редакция физико-математической литературы

117071, Москва, B-7I, Ленинский проспект, 15

Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой

Сою8полиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР

по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 19S052, г. Ленинград, Измайловский проспект, 29

0223-1854

* 042(02)-73 ^ " / d

П Р Е Д И С Л О В И Е

Предметом этой книжки являются различные системы «чисел», которые можно построить, исходя из действи

тельных

чисел,

путем

добавления

ряда

«мнимых

еди

ниц». Классический пример такой

системы — это систе

ма комплексных

чисел.

Одно из важнейших свойств комплексных чисел вы

ражается

тождеством

\zz'\

= \z\-\z'\

(1)

(модуль

произведения

равен

произведению

модулей) .

Если обозначить

al-\-a2i,

z'—

b[-{-b2i,

то

(1)

пе

репишется

в виде

(а,6,

a2b2f

(а,62

+ a2btf

(а? +

а*) {Ь\ +

Ь*).

Прочитанное справа налево, это тождество звучит так: «произведение суммы двух квадратов на сумму двух


квадратов		есть	снова сумма	двух квадратоз» .
Существуют			ли подобные	тождества	с большим, чем
2, числом		квадратов?
Как	описать		все такие тождества?
Е щ е	Л . Эйлер указал пример тождества					для 4 кваД-
ратов;	позже было найдено			тождество	для	8 квадратов .

О д н а к о полное решение вопроса удалось получить толь

ко	в конце	X I X века.
	М о ж н о предположить, что к а ж д о е тождество «для п
квадратов»		связано с формулой		(1),	в	которой z	и z'
обозначают		у ж е не комплексные числа,				а .«числа»	бо
лее	общего	вида:
		а, + a2i + a3j + . . . +			anl,
где	i, j , . . . . / — мнимые		единицы. Несколько у п р о щ а я
положение		вещей, можно	сказать,	что	это	действительно
1							3

так. Установление связи	между	тождествами	«для
п квадратов» и формулой	(1) для	некоторых	систем

«гиперкомплексных» чисел составляет одну из основных линий в общем построении этой книжки.


Другой		вопрос,	которому	уделено		в	этой книжке
много места, — это			вопрос о	делении		гиперкомплексных
чисел. Д е л о		в том,	что в любой		системе		гиперкомплекс
ных чисел определены только три					из четырех «арифмети
ческих»	операций:		сложение, вычитание и умножение.
Что ж е касается деления, то вопрос о возможности								этой
операции для данной системы гиперкомплексных								чисел
требует	отдельного		рассмотрения. Вообще, следует					ска

зать, что гиперкомплексные системы, в которых возмож но деление, составляют большую редкость. Разумеется, системы действительных чисел, так ж е к а к и комплекс ных, я в л я ю т с я примерами систем с делением. Но, кроме

них, имеются

и другие

примеры.

С а м ы м и замечатель

ными среди них являются система

так

называемых

ква

тернионов

система

октав.

П р о б л е м а

разыскания

всех

гиперкомплексных

систем с

делением

исчерпывающим

образом

не решена

и до

сих

пор.

Несколько

вариантов

этой проблемы будут рассмотрены в данной книжке .

Первая глава этой книги знакомит читателя с раз

личными

примерами

гиперкомплексных чисел,

том

числе с

«кватернионами» и «октавами»; д л я тех и дру

гих справедлива формула

(1),

и те

и другие

составляют

«систему

с делением». Третья

глава посвящена

исклю

чительной роли, которую играют три системы: комплекс ных чисел, кватернионов, октав по отношению к постав ленным выше вопросам. Вторая глава является вспо


могательной:			в	ней	излагаются на' элементарном уров
не основные			понятия		линейной алгебры.
К н и ж к а рассчитана						на учащихся математических
школ	и	просто		всех	интересующихся математикой. Пер
в а я	и	вторая		главы	в	основном доступны школьнику

старших классов, чтение других разделов ~мбжет потре бовать от него довольно напряженных усилий. Во всех случаях никаких предварительных знаний от читателя не требуется.

Глава 1

ГИ П Е Р К О М П Л Е К С Н Ы Е ЧИСЛА

§1. Комплексные числа

1°. Вступление. В элементарной алгебре наряду с действительными числами рассматривается и более ши

рокая

система

комплексных

чисел.

Причина,

з а с т а в л я ю

щ а я

рассматривать

комплексные

числа,

связана

ре

шением

квадратных

уравнений. Д е л о

том,

что

неко

торые

квадратные

уравнения,

например,

* 2 + 1 = 0 ,

(1)

нельзя

решить,

ограничиваясь

только

действительными

числами

(не

существует

такого действительного

числа

а,

чтобы

а 2

было равно — 1 ) .

История

комплексных

чисел

начинается с

X V I

века.

Итальянские

математики

Д ж и р о л а м о

К а р д а н о и

Р а

фаэль

Бомбелли,

решая

квадратные

уравнения,

ввели

рассмотрение

символ

У— 1 — формальное

решение

уравнения

(1),

а т а к ж е в ы р а ж е н и я

ЪУ—

1 —

ф о р м а л ь

ные

решения

уравнений

лг2 +

62 =

В ы р а ж е н и я

более

общего

вида

а + 6]/"—1 можно

р а с

сматривать

тогда

к а к формальные решения

уравнений

"(я — а ) 2 + & 2 = " 0 .

(2)

Впоследствии

в ы р а ж е н и я

а-\-ЬУ—I

стали

называться

«мнимыми», а затем «комплексными» числами и запи


сываться		а-\-Ы		(символ	г д л я		обозначения		У—1		ввел
Л . Эйлер		в	X V I I I в.). Этих			чисел		оказывается у ж е до
статочно		д л я решения			любого		квадратного			уравнения
(если	дискриминант квадратного							уравнения		неотрица
телен,	то,		к а к	известно,		корни		такого	уравнения —

действительные числа, если			ж е	дискриминант	отрицате
лен, то уравнение обязательно приводится к					виду ( 2 ) ) .
Итак,	комплексным	числом		называется	выражение
вида		а -\	Ы,

где а и b—действительные		— 1	числа, а символу i припи
сывается	свойство i2 =		. Заметим, чго		среди ком

плексных чиселсодержатся, в частности, все действи

тельные числа (они получаются при					b = 0),	а т а к ж е		все
«чисто мнимые» числа Ы (они получаются						при	а =	0).
Обозначая для краткости комплексное число одной
буквой	г,	будем д а л ь ш е писать
				z = а + be.
Число	а	называется		действительной	частью,		а число
Ы — мнимой			частью	комплексного числа z;		сам	символ
i называют			«мнимой	единицей». Название,		«мнимая»		не

следует понимать буквально; оно сохранилось с тех

времен

( X V I — X V I I

вв.),

когда комплексные числа

счи

тались чем-то нереальным й были окружены

ореолом

глубокой

таинственности.

Д л я

теперешней

математики

комплексные числа — вещь совершенно естественная

(не

более «мнимая», чем сами действительные

числа) .

2°. Действия над комплексными числами. Сложение,

вычитание

и умножение

комплексных

чисел

естественно

определить следующим

образом:

(а +

bi) +

(c +

di)

(a +

c) +

(b +

d)i,

(а +

bi) — (с +

di)

(а -

с) +

{b — d) I,

(а +

bi) (с +

di)

ас +

adi

bci

+ bdi2 =

(ас

— bd)

+ (ad + be) I

(определяя умножение,

мы

учли

тот

факт,

что

i2=—1),

Отметим попутно, что если в равенстве, определяю

щем

умножение

комплексных

чисел,

положить

b =

0, то

получим правило умножения действительного числа на комплексное:

а (с + di) = ас + adi.

Нетрудно проверить, что законы, которым подчи няются определенные выше операции над комплексными числами, те ж е самые, что и законы действий над дей-

ствительными числами. Сложение обладает переместительным и сочетательным свойствами:

2, 4" 2 2 = Z2 + 2,,

(Z, + Z2 ) + Z3 = 2, + (2г + 2 3 ) ,

то ж е самое относится к умножению:

2[2г = 2 2 2 [ ,

( 2 [ 2 2 ) 2 3 = 2( ( 2 2 2 3 ) ;

наконец, справедлив распределительный закон, устанав

ливающий

связь

между

этими

двумя

действиями:

(Z2 +

2 3 ) = 2 , 2 2 + 2,Z 3 .

(3)

Проверим, например, справедливость

равенства

(3).

Пусть

zl = al + bli,

= a2-\-b2i,

z3 = a3

+ b3i.

Имеем

Zi (zg +

из) =

(a, +

((a2 +

<h) + (b2 +

6 3 ) 0

(ai

{a2 +

a3) — 6, (b2 +

6 3 ) ) +

(a,' {b2 +

63) +

61 ( a 2 +

a3 ))

2 , 2 2

2 , 2 3

(a, +

bti) (a2

6 2 /)

+ (a, +

(a3 +

b3l)

(a,a2 — b{b2

а^з — 6,63)

(a,&2 +

6 , a 2

a,b3

4- М з )

сравнивая

результаты

обоих

вычислений,

у б е ж д а е м с я

в том,

что

они совпадают.

3°. Операция сопряжения. Остановимся

теперь

на

других свойствах

системы

комплексных

чисел.

К а ж д о м у комплексному

числу

z =

a 4- Ы

можно сопоставить другое комплексное число а — bi, которое называется сопряженным к z и обозначается z. Таким образом, по определению,

•	z — a — bi.

Легко убедиться, что справедливы формулы

2[ 4" 2 2 =	2, 4" Z2
И
2,Z 2 = = =	2 ] 2 2 ,

иначе говоря, сопряженное к сумме равно сумме со пряженных и сопряженное к произведению равно про изведению сопряженных. Проверку этих формул мы предоставим читателю.

С к л а д ы в а я и п е р е м н о ж а я числа z - и z, находим

z + 2 — 2а

zz= а2 + Ь2,

т.е. сумма и произведение сопряженных комплексных

чисел		всегда	являются	действительными				числами.
	4°. Модуль комплексного				числа. Тождество для двух
, квадратов.			Неотрицательное			действительное				число
Ya2-\-b2		называется модулем				комплексного			числа		г и
обозначается			\г\:
Итак,				zz =	\| z p .
				zz =	\| z p .
	И з	последнего равенства			вытекает одно				замечатель»
ное следствие. Пусть гх и z2—						два комплексных				числа,
Имеем								J
								J
I	ад	I 2 = ( а д ) ( а д ) =		адад		= zxzx	- z2s2	= \| z, \|2 1 z2.			f,
следовательно,
или			[zxZif^zi^Zif-							(4)
или			\| z , z 2 l = \|z ,			\| \| z 2 \| .				(5)
			\| z , z 2 l = \|z ,			\| \| z 2 \| .				(5)
Таким		образом, модуль		произведения			равен		произведе
нию	модулей.		Это — чрезвычайно в а ж н о е					свойство			ком»
плексных чисел; в § 16 ему будет							присвоено		специаль
ное	название		(свойство	нормированности).				А сейчас по
смотрим, как выглядит равенство (4) в подробной
записи..
	Если
то			г, = щ + V »		z i = а2 + Ъ21,
то
		zxz2 = {аха2 — bxb2) + (а1 62 + -афх) i,
и равенство			(4), записанное		с п р а в а " н а л е в о ,				принимает
вид
	(а2	+ Ь\) {а2 + Ъ\) =		( а , а 2	-	V 2 ) 2	+ ( « А +		"А)2-		•

Получилось довольно любопытное тождество. Д о п у с к а я некоторую расплывчатость формулировки, его можно

прочитать так: произведение

суммы

двух

квадратов

на

сумму

двух

квадратов

есть

снова

сумма

двух

квадратов.

Естественно возникает вопрос: существуют ли ана

логичные

тождества

большим

числом

квадратов?

Вопрос,

как

мы

д а л ь ш е

увидим,

совсем

не

простой;

в течение многих

лет

он

з а н и м а л

умы

математиков .

настоящей

книжке

этому,

вопросу

отводится

одно

из

центральных

мест.

§ 3

мы

сформулируем

его

более

отчетливо, а в гл. 3

р а с с к а ж е м ,

как

он

решается .

5°.

Деление

комплексных чисел. Д о

сих

пор мы

со

всем

не

касались

вопроса

делении

комплексных

чи

сел; поговорим

об этом теперь.

Пусть

и z — два

комплексных

числа, причем

гфО.

Частное от деления z' на z есть, по

определению,

реше

ние

уравнения

= z\

(6)

Умножив обе части уравнения на г,

получим

zzx—zz'

или

| z

х —

zz'\

если теперь умножить обе части на

действительное

чис

ло

-j-jp-,

то

будем

иметь

х =

утр- 5 2 ' .

(7)

В том, что найденное значение х действительно

удовлет

воряет

уравнению

(6),

легко

убедиться

непосредствен*

ной

проверкой.

Проиллюстрируем

деление

примером.

Пусть

- тре

буется

разделить

5 — i на 2 =

2 — 3£.

П о

формула

(7)имеем

^=WTW	(2 + 3 /	)	(5 -	= T J ( 1 3 + 1 3		/ )	- 1 +	L
§ 2. Другие арифметики для чисел					а + Ы
1°. Постановка задачи. Итак, мы построили число
вую систему из в ы р а ж е н и й				вида а + bi,		определив		сло
жение и умножение		таких в ы р а ж е н и й по					ф о р м у л а м
(а +	Ы) + (с +	di) =*(a		+ c) +	(b +	d)i,		(1)
{а +	Ы){с + di)	=	{ас -	bd) +	[ad +	be) i.		(2)

1 / 151 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ