книги из ГПНТБ / Зубов В.С. Математическое обеспечение цифровых вычислительных машин и систем учеб. пособие

- Зна­

чительно сокращены за счёт совмещения вычислений, В некото­ рых случаях целесообразно обращение к элементам массива че­ рез посредство вспомогательного многосвязного списка (т.н.

Здесь нет умножений, а размерность массива определяет число адресных операций при доступе к элементу. Ячейка с адресом с фиксирует корень дерева.

Для обеспечения возможности прямого доступа к элементам массива рассмотренная выше сложная последовательность, ото­ бражающая массив, должна быть реализована с применением списков типа А или Б.

в) Дерево. Деревья обычно представлены дихотомическими двусвязными или многосвязными цепными списками. В некоторых случаях возможно их представление в памяти с помощью спис­ ков типа А и Б. Например, деревья с-постоянной величиной частных подмножеств к наиболее просто могут быть представ­ лены последовательностью элементов, имеющей внутреннюю структуру: её I -м элементом является корень, затем идут все элементы 2 -го яруса, далее - все элементы 3 -го яруса и т .д .

Пронумеруем элементы каждого частного подмножества, на­ чиная с I . Положение любого элемента любого яруса в после­ довательности определяется тем, какие номера в соответству­ ющих частных подмножествах имеют элементы, лежащие на пути от корня к данному элементу, и его собственным частным но­ мером. Обозначим эти номера как i m , где Ш - номер яруса.

-31-

Тогда номер места в последовательности элемента, лежащего на (1 -м ярусе, определится по формуле Если последовательность построена с использованием списка

типа А или Б, возможно прямое обращение к любому элементу такого дерева по его индексам.

Деревья с неодинаковой мощностью частных подмножеств могут быть отображены аналогично, исходя из максимальной мощности. При этом в отображении появятся пустые элементы.

Позиционный принцип регистрации букв, используемый в таком дереве, может оказаться полезным при реализация деревьев -

хранилищ идентификаторов, ибо именно в этом случае номера элементов - букв - в частных подмножествах легко определи­ мы, а для каждого узла дерева достаточно иметь 2 бита:

один-для выделения действительных элементов среди пустых,

другой - для выделения концевых букв идентификаторов.

§ 6 .Примеры операторов изменения средств выражения некоторых простейших абстрактных структур данных

Как это было показано выше, различные типы списков имеют свои преимущества и относительные недостатки. Стрем­ ление к максимальному выигрышу может потребовать измене­ ния способа выражения структур данных на отдельных фазах их использования, которое может быть выполнено о помощью специальных операторов. Наибольший интерес представляют операторы, предъявляющие минимальные требования к объёму вспомогательной памяти. Рассмотрим некоторые из них.

а) Оператор перехода от задания правильной последова­ тельности записей их оглавлением к её выражению списком типа А для случая равной длины всех записей набора.

Наиболее экономным по затратам времени способом пере-

можные значения этого числа равны I и П .

Действительно, при установке некоторой записи на окон­

чательное место в правильной последовательности типа А воз­

тельное место приведёт к перемещению "вакантной" позиции и стереотипному продолжению процесса перемещения записей.

Для получения начальной "вакантной" позиции одна из записей должна перемещаться в буфер, содержащий I позицию.

Цикл перемещений завершается установкой этой записи на окончательное место в правильной последовательности, задан­ ной списком типа А. Поскольку МО числа циклов перемещений рав­ ной? п, окончательно установленные записи должны помечаться специальным признаком (I бит). Для инициации следующего цикла перемещений отыскивается и перемещается в буфер пер­ вая непомеченная запись. Процесс перемещений завершается,

как только не останется ни одной непомечзнной записи.

Попользуется также вариант оператора, не требующий использования буферной позиции. Перемещение записей в этом варианте выполняется путём обменов их позициями.

-3 5 -

б) Оператор перехода от задания правильной последователь­

ности одноовязным цепным списком к её выражению списком типа

Адля случая равной длины всех записей набора.

Всилу последовательного характера доступа к записям це­

почки рациональным способом является способ установки их в список типа А, выражающий правильную последовательность, в

порядке их следования по цепочке. Следовательно, вначале устанавливается на I позицию запись, указанная содержимым фиксатора начала списка. С нею должна обменяться местом за­ пись, первоначально занимавшая эту позицию, что предполага­ ет также и изменение в цепном списке адреса связи, указыва­ ющего на эту запись, поскольку её рассмотрение с целью ус­ тановки ещё не осуществлялось и поэтому требуется её сохра­ нение в составе цепочки. Но для этого изменения требуется наличие "встречного” адреса связи: от данной записи к пред­ шествующей записи цепочки; решение проблемы в целом требует наличия "встречного" цепного списка записей, который может быть построен при однократном проходе по исходному цепному списку (требуется дополнительная память под адреса связи).

Аналогичным образом устанавливается на окончательную позицию 2 -я запись цепочки и т .д . вплоть до обнаружения признака конца цепочки.

Используется также вариант оператора, не требующий по­ строения "встречного" цепного списка, но равноценный по затратам памяти. В этом варианте при переходе по цепочке к новой запиои проверяется, не изменила ли эта запись сво­ его положения при установке на окончательные позиции ранее

рассмотренных записей. Для указания такогр случая яспользу-г

ется специальный признак (I бит). Положение такой переме­

щённой записи указывается дополнительным адресом связи, ко­ торый представляет тупиковое ответвление от исходной цепоч­ ки. Его содержимое в процессе установки записей может изме­ няться неоднократно, так как до окончательной установки за­ пись может не один раз вытесняться с позиций, которые в

правильном списке типа А должны быть заняты другими, пред­

шествующими ей, записями цепочки. Очевидно, однако, что об­ щее число обменов записей не больше общего числа записей.

3-й вариант оператора состоит из блока построения пра­

вильного оглавления записей и блока - оператора перехода

от правильной последовательности, заданной оглавлением, к

её выражению списком типа А. Этот вариант равноценен пре­ дыдущим по затратам памяти, но экономичнее по времени в случав громоздких записей, так как обмены записей заменя­ ются в нём примерно тем же числом перемещений.

в) Оператор перехода от задания правильной последова тельности дихотомическим цепным списком к её выражению списком типа А для случая равной длины всех записей наборё.

Очевидно, данный оператор должен оказаться сложнее предыдущих в силу необходимости замены одного вида абстракт­ ной упорядоченности - древесного - другим; линейной упоря­ доченностью. Возможность 'такой замены станет для нас оче­ видной, если будет найден способ такой индексации элемен­ тов дерева, чтобы выборка их в порядке возрастания (убыва­ ния) индексов давала правильную последовательность. Есте­ ственно связывать значения цифр индекса о тем, какие ад­ реса связи используются при доступе к элементу (левый ад­ рес или правый) . Путь к наименьшему (наибольшему) элементу дерева представляет собой наибольшей длины путь, содержащий

рень дерева. Разрядность индексов установим согласно макси­ мальной длине пути в дереве. При меньшей длине пути к элемен­ ту его индекс будем дополнять нулями со стороны младших раз­ рядов. Если путь начинается с левого адреса, цифрой старшего

разряда индекса будет I (минус единица), если с правого ад­ реса - то I . Соответственным образом определим и цифры сле­

дующих ненулевых разрядов. Следовательно, индекс представля­

где соотношение числа I и 0 может оказаться произвольным.

Следующим по величине элементом дерева является элемент,

предшествующий рассмотренному (если только рассмотренный элемент не был корнем). Его индекс отличается в одном разря-

ется с этого адреса, а далее содержит лишь левые адреса (мо­

жет быть, и ни одного), имея при этом наибольшую длину. Сле­

-3 6 -

В процессе применения средств математического обеспече­ ния часто возникает необходимость в использовании или обра­ ботке разнообразных списков и структур, построенных из них,

например; списка команд программы на ассемблере; списка мне­ мокодов операций; списка имён, использованных в программе;

списков сообщений; магазина символов текста на проблемно-

ориентированном языке; матриц или векторов старшинства, ис­ пользуемых при компиляции; синтаксических таблиц; списков записей и т .п . При этом часто возникает необходимость в оты­ скании элемента.списка по его содержимому либо для добавле­ ния или изменения в нём некоторой информации, либо для ис­ пользования содержащейся в нём информации, либо для установ­ ления факта отсутствия в списке указанного элемента.

Следовательно, характеристики операторов поэлементного построения и преобразования правильных структур и поиска в

ганизации указанных операторов применительно к ситуациям кон­ кретного их использования посвящается содержание следующих впав.

- 5 7 -

ГЛАВА П. УПОРЯДОЧЕНИЕ ДАННЫХ

§ I . Задача упорядочения данных в памяти ЭВМ Предметом упорядочения в' памяти ЭВМ является множество

формуляров - структур данных, имеющих однотипный формат, или множество записей. Формат той части записи, которая содержит элементы управляющего слова, должен быть однотипным для всех записей множества. Формуляры и записи представляют описания некоторых объектов, причём, как привило, не в одном, а в не­ скольких аспектах. Это описание занимает в памяти некоторое поле, называемое позицией, если описание представлено в виде списка типа А. Позиция служит для размещения кодов составля­ ющих описание признаков объекта и, возможно, также относя­ щейся к нему текстовой информации. Позиция в общем случае имеет произвольный объём, выражаемый в битах, байтах или ячейках памяти. Независимо от того, какие элементы являются-

адресуемыми в базовой структуре памяти, будем называть пол­ ным адресом любого двоичного элемента памяти числовую инфор-

мацию, полностью определяющую его положение в памяти. Полный адрес начального бита позиции назовём адресом позиции. Часть позиции, служащая для размещения признака, именуется полем признака. Поле, занятое признаком, входящим в состав управ­ ляющего слова, именуется управляющим полем. Упорядочение по управляющему слову, состоящему более, чем из одного управля­

ющего поля, а также поиск по нему будем называть многоаспект­ ным.

Отметим, что начиная упорядочение множества записей или формуляров в памяти ЭШ, мы всегда имеем дело со структурой данных, т .е . с упорядоченным множеством описаний, но эта упорядоченность обычно не соответствует нашему правилу.

Если число записей равно ft , то общее число последователь­

ностей, различающихся взаимным порядком хотя бы двух записей,

равно/l/. Какая-то из этих последовательностей является исхо­ дной, и одна из них является правильной, причём "лицо" прави­

льной последовательности выражено используемым при упорядо­ чении отношением порядка или способом отображения. Рассматри­ вая последовательность записей обобщённо, как систему, спо­

собную находиться во многих состояниях, мы можем использовать шенноновское понятие энтропии как меры неопределённое™ её

Наибольшей энтропией обладает система, состояния которой равновозмокны. Последовательность, обладающую наибольшей не-

определённостью состояния, будем называть случайной. Если же

состояния правильной последовательности также равповозможны,

её энтропия Нп-& ^^П (П н ^ ) - ^ - ^ 2 Здесь через

/^обозначены мощности подмножеств записей, между которыми не определено отношение порядка (их взаимное положение произво­ льно). Суммирование производится по всем таким подмножествам.

Задачей упорядочения случайной последовательности явля­

путём перестановки записей в последовательности (их перену­ мерации) вплоть до получения правильной последовательности.

Если все I (итогом упорядочения является простая правильная последовательность), то

-3 9 -

§2. Метод упорядочения, базирующийся на непосред­ ственное использование отношения порядка

Задача такого упорядочения может быть детализирована в

виде двух основных вариантов:

а) при неизменной последовательности позиций, заданной

обычно порядком возрастания (убывания) их адресов, путём пе­ рераспределения записей по позициям добиться выполнения от­ ношения порядка в последовательности записей, заданной по­ следовательностью занимаемых ими позиций; результатом тако­ го упорядочения является правильная последовательность в ви­

де списка типа А;

б) при неизменном расположении записей по позициям пу­

тём изменения последовательности позиций (их перенумерации),

заданной некоторой системой адресных указаний (например, ог­ лавлением), добиться выполнения отношения порядка в последо­ вательности записей, заданной последовательностью занимаемых ими позиций; результатом такого упорядочения является правиль­ ная структура даншх, основывающаяся на списках типа Б,В или Г.

Отношением порядка для числовых признаков может служить одно из следующих отношений:> , < ( отношенияё и :> являются

соответственно отрицаниями вышеуказанных отношений и поэтому самостоятельной роли не имеют, однако оказываются более удо­ бными в практическом шине, так как позволяют устранить не­ которые избыточные действия цри упорядочении последователь­ ности, содержащей записи с равными значениями управляющих слов; отношения^ и > являются не асимметричными, а антисим­ метричными (см . Щ ) , но это не имеет существенного значения,

поскольку в празильной^поатедовательности допускается произ­ вольное взаимное расположение вышеуказанных, записей, а на .