Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Булах Е.Г. Автоматизированная система интерпретации гравитационных аномалий (метод минимизации)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>


Второй	этап — количественные			расчеты. Необходимо по осо
бенностям аномалии установить численные значения						параметров
геологических объектов			и плотностные		характеристики		горных
пород, слагающих		эти	объекты.	Выбор	методов количественных
расчетов зависит как от вида аномального					поля, так и от тех		геоло
гических	предпосылок,		которые принял		исследователь	как	основ
ной фактический		материал.

С количественной интерпретацией и связана вторая часть авто матизированной системы — система интерпретации гравиметриче ских данных. Количественная оценка величин, характеризующих залегание интересующих нас масс может производиться несколь кими методами. Каждый из них имеет и сильные, и слабые стороны, вследствие чего может дать и удовлетворительные, и неудовлетво рительные результаты определения указанных величин. Зависит


это	от геологических условий,						в которых получена интерпретируе
мая аномалия. Там, где один							из способов дает удовлетворительные
результаты		и,		следовательно,			может	быть с успехом использован,
другой из		них		не	находит	применения.
	В целом все эти способы следует считать равноценными, но ис
пользовать		каждый			из них	нужно с		учетом геологического		строе
ния	участка,		на котором			находится		интерпретируемая	аномалия.
Если район			исследования			является		довольно сложным	в	физико-

геологическом отношении и интерпретатор располагает некоторыми определенными сведениями о строении и структуре геологических объектов, то часто единственным эффективным методом интер претации в этих условиях есть метод подбора. На основе всех све

дений о геологическом	строении района с учетом аномального поля
интерпретатор строит	геологи чес кую схему.	Решается	прямая за
дача и находится гравитационный эффект от		заданной	геологиче
ской схемы. Сравнивая	наблюденную п теоретически вычисленную

аномалии, интерпретатор должен изменить ранее построенную гео логическую схему так, чтобы вновь вычисленный гравитационный эффект максимально приблизился к наблюденному полю. При этом

необходимо,		во-первых, уметь быстро решать			прямую		задачу,		во-
вторых, построить такой алгоритм, который позволял							бы	ответить
на вопрсс, как изменить			геологическую	схему,	чтобы	наблюденная
аномалия	и	теоретически	вычисленная	наилучшим		образом			сов
пали.
Ниже	мы	остановимся на описании такого алгоритма. Вычис
ление прямой задачи есть составной частью этого алгоритма.
Итак,	для	решения задачи определения параметров					геологиче
ских тел	мы	располагаем	наблюденной	аномалией,		все		вариации

в которой связываются с геологическими неоднородиостями и на

чальным	вариантом схемы	геологического строения. Наблюден
ное поле	и ориентировочная	схема геологического строения вместе

составляют исходные данные для количественных расчетов. Неко торые геологические параметры нужно изменить, чтобы достичь сближения полей наблюденного и теоретически вычисленного.

Теперь в наблюденном поле зафиксируем п точек с координата ми (л-;, уі). Пусть это будут самые различные точки, в которых на блюденная гравитационная аномалия проявляет себя наиболее характерно (экстремумы, точки перегиба и т. п.). Подбор поля в даль нейшем будем производить только в зафиксированных точках.

Введем одно ограничение. Пусть геологическая схема состав ляется так, чтобы гравитационный эффект от нее можно было запи


сать	в		аналитическом						виде. Если,
геологические тела аппроксимиро- Ч
вать	набором				уступов				(гравитаци
онных ступенек), конечных по про
стиранию, то самую сложную схе											О
му строения				можно довольно легко
собрать			из	таких				элементарных
объектов.								одной сторо- ІГ
Таким образом,							с
ны,	мы		имеем			наблюденную ано
малию		Ѵ І 1 а б л		(xt,		tji),		с	другой —		У
теоретическую					V T e o		p	{ръ	Рг, •••> Рт,
хі, УІ), і			= 1, 2 , п .				Здесь под функ
цией		V	можно			понимать				любую
составляющую гравитационного по
ля	(Ag,		Vxz		и	др.). Если геоло
гическая схема описана m элемен
тарными телами и каждое тело
характеризуется						s		параметрами,
то	результатом					решения				прямой	Р и с ; L З н а ч е н и я п а р а м е Т р о в , кото-

задачи	будет		теоретическая			ано- р ы е		х а р а к т е р и з у ю т			местоположение
малия							и	размеры	элементарного геологи-
			,„				ческого тела — прямого уступа, огра-
Утеор (X, 0) =			2	V {Р,,	X, у).	(1.1)		" и о н н о г о		по	простиранию .
			/=1
Символом		Р/	обозначен		вектор, характеризующий					местоположение
и размеры		элементарного тела,					Р,- =	(р/і, р/ 2 , •••>			Pis)- Покажем
это на примере. Пусть геологическое строение									участка аппроксими
руется	набором			прямых	уступов,		ограниченных			по	простиранию.

Местоположение и размеры каждого уступа характеризуются таки ми параметрами: а— избыточной плотностью, h и H — глубинами до верхней и нижней граней, /х и /2 — параметрами, характеризую щими размеры уступа по простиранию, d — положением верти кальной грани относительно выбранного начала координат. Зна чение этих параметров показано на рис. 1. Таким образом, сово купность векторов Р/ = {ay-, hlt Я/, Іц, Іц, Ф] характеризует геологическую схему участка исследования.

Теперь необходимо найти значения параметров Pj, при которых функция Ктеор наилучшим образом совпадает с Ѵ т б л . Процесс сравнения двух кривых может быть разный. Рассмотрим один из них.

Д л я сопоставления	функций Ѵт6я	(х, у) и	У т е о р (х, у)	составим
функционал
п
F = S	[Ѵнабл (Xt, IJi) -	Утеор (*„	& ) ] ' •	( 1.2)

Так как точки с координатами (xi, уі) зафиксированы, то F зависит только от параметров />,-. Пронумеровав их последовательно, мож но записать

	F	= F(plt	р2, ••• , PN).	(1.3)
Выражение	(1.3) можно рассматривать как функцию от			одного
N-мерного	вектора Р =	{рІУ р2,	PN}-

Выберем такой вектор Р, чтобы функционал (1.2) принимал ми нимальное значение. Следовательно, задача интерпретации сводит ся к экстремальной задаче функции многих переменных.

Обратимся к некоторым теоремам об экстремумах нескольких переменных. О необходимом условии существования экстремума говорит следующая теорема. Пусть функция (1.3) такая, что в

области исследования ее существуют частные производные		первого
и второго порядков. Тогда, если в точке М0 (pf\ pf\	р$)	суще

ствует локальный экстремум, то все частные производные первого порядка в этой точке равны нулю.

Тогда

dF	О (/ = 1, 2, . . . . N)	(1.4)
dp.

является необходимым условием локального экстремума. Система

(1.4)

позволяет

найти

точки возможного экстремума (или стацио

нарные

точки). Среди

них

могут оказаться

и такие, где

функция

(plt

р2,

рм)

не достигает экстремума,

таким

образом

(1.4)

яв

ляется

условием

необходимым,

но

недостаточным.

Д л я

однозначного

решения

вопроса об экстремумах

необходимо

обратиться

к другой

теореме. В ней рассматривается второй диффе

ренциал функции (1.3). Он

представляет собой квадратичную

фор

му

от дифференциалов

аръ

dp2>

dp^w

может

быть

записан в

символическом

виде

общем

виде

d2F

Ф =

аМ,;

аи=ац.

(І.5а)

Здесь дифференциал dpk обозначен через hk. Квадратичная форма (І.5а) называется положительно определенной (отрицательно опре деленной), если для любых значений переменных, не равных нулю одновременно, эта форма имеет положительные (отрицательные) значения. Положительно и отрицательно определенные формы


объединяются	под общим	названием — знакоопределенные формы.
Если квадратичная форма (І.5а) принимает					и положительные,					и
отрицательные	значения,	то ома	называется			знакопеременной.
Если в (1.5а) форма имеет значения			одного		знака, но в каких-то
точках принимает нулевые значения, то такая					квадратичная				форма
называется квазизнакоопределенной.					точке Ма			(р<°>, pf>
Теперь обратимся к самой теореме. Пусть				в
pjj>>) возможен экстремум функции F =				F	(ри	рг,		pN). Рас
смотрим в этой точке второй дифференциал				C12F/M0-			О н	может быть
записан выражением (1.5). Если (1.5) в точке М0						представляет со
бой знакоопределенную		квадратичную форму,				то	функция		F	=

=F (рг, рг, PN) в точке М0 имеет локальный экстремум. При

этом, если d2F	< ; 0, то функция в	точке	М0	достигает максимума,
а если d?F >• 0, то — минимума.		Когда второй дифференциал пред
ставляет собой	знакопеременную	форму,	то	в этой точке функция

не имеет экстремума. При квазизнакоопределенной форме второго дифференциала функция может иметь экстремум или не иметь его. Для выяснения этого вопроса необходимы дополнительные исследо вания.

Критерий

знакоопределенности

квадратичной

формы

установ

лен Сильвестром и называется его именем.

Квадратичная

форма

(І.5а)

характеризуется

симметричной

матрицей

Гапа12

. . .

a1N

~І

Определители

UNN

А-1 — а1ѵ

а11 а12

Л 3

%1 й 1 2 а 1 3

и2і 0-22

^21

^22

^28

^31

^82

^88

а1Хa21

•

Cl\N

a12

a22

•

CloN

называются главными

минорами

матрицы

А.

Д л я

того,

чтобы

квадратичная

форма (І.5а)

была

положительно

определенной,

необходимо

достаточно

выполнение

неравенства

Д х Х ) ,

Л 2

> 0 ,

Л 3

> 0

AN>0.

Д л я того, чтобы квадратичная

форма была отрицательно

определен

ной, необходимо

достаточно,

чтобы

знаки

главных

миноров

Â-y, А%,

AN чередовались,

причем

АуК^О.

Рассмотренный

метод

является

классическим.

Д л я

его реали

зации

необходимо

найти

решение

системы

(1.4).

При

решении

гравиметрических задач — это система трансцендентных уравнений. В общем виде она не решается. В каждом конкретном случае она

решается	приближенными			численными методами.
К минимизации функционала (1.3) можно подойти иначе. На
параметры	р\	могут	быть	наложены	некоторые ограничения			вида
	Ф< (Pi. Р2 .		• • • .	Pu) < 0."	t=l,2,	.	, п.	(1.7)
Системой соотношений (1.7) определяется область D. Задача								со
стоит в том, чтобы среди точек области D						найти	такую точку	Р*,
для которой		достигается
		F	(Р*) =	min F (Р),		PQD.

Сформулированная так задача относится к классу задач нелиней


ного программирования.				В самом		общем виде — это		задача функ
ционального		программирования.				В зависимости от		вида	функции
F и области		D,	которая	определяется			неравенствами (1.7), задача
может упрощаться и сводиться к задачам, методы решения									которых
изучены.	В	частности,		если	функция		(1.2) выпуклая и		гладкая,
а неравенства (1.7) определяют выпуклую область D, то поставлен
ная задача сводится к выпуклому						программированию.
Понятие		выпуклости		функции		является очень важным. Д л я вы
пуклых функций			установлены		теоремы о критериях единственности
обратной	задачи.		Рассмотрим		некоторые формулировки и				теоремы

о выпуклых функциях. Здесь они приводятся без доказательства. Более подробное изложение этого вопроса можно найти в [13, 27].

Пусть в N-мерном пространстве заданы две точки

Р ( 1 > и Р&).

От

резком Р(1)рі2\

соединяющим

эти

точки,

называется

множество

точек

Р =

Рт

t {Р(2)

— Рт),

где

t — любое

число

из

сегмента

[0,

( 0 < f <

1).

Множество Р называется выпуклым, если

вместе с любыми

дву

мя его точками Р ( " и Р^

этому

множеству

принадлежат

все

точки

отрезка

PwPi2).

Пусть

в N-мерном пространстве

задана

функция

(Р),

{Рі> Рг>

•••> Рлг}. F

(Р)

выпуклая

функция

на

множестве

Р,

если

для

любых

двух

точек

F(i)

Р&

выполняется

условие

(Р0)

/ {Р{2)

— Р ( 1 ) ))

< F (P( l ) ) - f

t [F (Р{2)) -

F (P(l))].

(1.8)

Если в (1.8) строго справедлив знак неравенства, то говорят о стро гой выпуклости.

Очень важной является теорема, которая устанавливает крите рий выпуклости. Пусть функция F (Р), заданная на выпуклом мно жестве Р, дважды дифференцируема. Если во всех точках этого множества второй дифференциал d2F представляет собой положи тельно определенную форму, то F (Р) является выпуклой функцией

на множестве Р. Таким образом, на основании исследования второ го дифференциала делается вывод о выпуклости функции.

Почему же так важно установить выпуклость минимизируемой функции? Дело в единственности минимума. Это утверждает сле

дующая теорема.		F (Р),
Дифференцируемая	строго выпуклая функция		заданная
на выпуклом множестве Р, может иметь локальный		минимум лишь
в одной точке этого множества.
Конечно, в самом	общем виде функционал (1.3)	может	оказать
ся не выпуклым, так как обратные задачи относятся		к классу некор

ректных и ие имеют единственного решения. Однако, накладывая ограничения на форму элементарного тела и закрепляя некоторые его параметры, мы всегда можем добиться того, что решение задачи не будет выходить из одного выбранного класса. Этот своеобразный регуляризатор обеспечивает единственность решения задачи.

В методах решения задач нелинейного программирования выде ляются два основных направления. Одно из них объединяет методы детерминированного поиска решения. Строятся различные много шаговые поиски решения. На каждом шаге выбирается направле ние поиска, причем используются различные локальные свойства минимизируемой функции (например, градиент этой функции). Второе направление объединяет методы случайного поиска. Каж дое направление имеет и сильные и слабые стороны.

Детерминированные методы имеют сложные алгоритмы. Если ми нимизируемая функция имеет локальные или граничные минимумы, то сходимость результатов расчета к глобальному (главному) ми

нимуму, как правило, не		гарантируется. Д л я		поиска	глобального
минимума требуется опробование			начальных точек поиска.
В методах	случайного	поиска	алгоритмы	довольно простые,
но они требуют	частого вычисления целевой функции.

При минимизации (1.2) или (1.3) следует иметь в виду их отно сительную громоздкость. Производные от функций вычисляются почти без дополнительных затрат времени — при вычислении самой функции. Однако не эти особенности являются решающими при выборе метода минимизации. Следует учитывать, что выбор началь ного приближения, который сделан квалифицированным специали стом с учетом знания геологических особенностей района исследова ния, позволяет получить решение задачи в одном заранее выбран ном классе. Последнее и явилось решающим фактором при выборе

метода	минимизации. Д л я	минимизации (1.2)	или	(1.3) исполь
зуем	градиентный метод	скорейшего спуска.	Пусть	вектор Р =

={Ръ Рг, •••> PN) обращает (1.2) или (1.3) в минимум. Тогда во всех

других соседних точках, которые характеризуются векторами Р^, функционал

F (P ( f c ) )> F (Р).

Отыскание точки Р заключается в следующем. Пусть известно на чальное приближение Р{0) = [pf\ р1^, р$]. Построим

вектор grad F (P( 0 ) ) =

{ F P L ,

F ' P N ) .

Известно,

что в

направ

вектора-градиента

функция F (Р) будет

возрастать, значит,

в про

тивоположном направлении эта же функция будет убывать.

Через

точку Р{0)

в направлении вектора-градиента

проведем

прямую

= РТ

—% grad F (РТ).

К,

(1.9)

Придавая

различные

значения

коэффициенту

мы

будем

полу

чать различные точки

на прямой

(рис. 2). Если

X > • 0, то точки Р

будут находиться

в области

убывания

функции

F (Р).

Значение

минимизируемой функции в любой точ

ке

на данной

прямой

можно

записать

так:

MeM=-lgradF(pM)

Р и с . 2. Отыскание точки вдоль вектора - градиента .

F = F (РФ) — Х gvad F

(РФ))),

или

F = F (À).

Найдем такое значение К = Ä,0, при ко тором F (Я0) = min. Д л я этого нужно решить уравнение

Таким образом, определена точка на прямой (1.9)

p(i) = p ( 0 ) _ ^ g r a d / 7 ( j P ( o , )	)
в которой F (РТ) принимает минимальное из возможных значений.
Теперь за начальное приближение принимаем	точку Р ( 1 > и опре

деляем новую точку Р ( 2 ) . Все вычисления сводятся к последующему определению составляющих вектора. Расчеты производятся по фор мулам

p t + 1 ^ p P ~ X K ( F P X

ntk+l)	(І . П)
Pi	(І . П)
р Г" = Р$]	-ЫК„)ь

где к — 1, 2, . . . — номер итерации. Предварительно необходимо вычислить коэффициент K K . Если при составлении и решении урав нения (1.10) возникают трудности, то можно воспользоваться при ближенным значением Х К , определенным по методу Ньютона. В от личие от точного, приближенное значение коэффициента обозначим

		F k	(1.12)
Большой	интерес	представляет	значение функции F =	F K O I L
при котором	процесс	минимизации	может быть закончен.	Будем

считать, что погрешность в вычислении функции определяется толь ко погрешностью наблюдений, а все вычисления производятся зна чительно точнее. В этом случае погрешность можно заменить диф ференциалом функции

	п
A F = 2 2		[Ѵяабл	{ХІ, Ус) — Утеор {XLT yt)\ ДК„абл.
Допустим далее, что разность наблюденной и вычисленной							анома
лий в конце	счета не превысит				погрешности	наблюдений.	Тогда
					n
	FV.OH =		AF	=	2 2 (АѴнабл)3,
ИЛИ
		F K	0 H	=	2,1 (АУнабл)2.		(1.13)
Необходимо	отметить,	что все это справедливо в том случае, если
аппроксимирующими телами можно точно описать возмущающие
геологические массы. Практически равенство (1.1) не аппроксими
рует абсолютно точно наблюденную функцию,						и минимум функции

(1.2)

оказывается

отличным

от нуля. Если значение

погрешности

поля

А У н а б л

выбрано

малым,

то может

получиться

F M

I N

> A F =

K O I L .

В этом

случае

необходимо

минимизировать

функцию

(1.2) до возможно меньшего значения. Можно ожидать, что получив

монотонную

убывающую последовательность

{F*®},

мы

не

достиг

нем

K M , причем

F I

K ) будет

мало

отличаться

от

F ( K

+ 1

) .

Целесообраз

но

предусмотреть

остановку

вычислений 'по критерию

относитель

ной

разности

І ^ - ^ І

= Д .

( І Л 4 )

Величина А может быть определена из модельных исследований или устанавливается в процессе опробования конкретных практических задач.

§ 2. ДРУГИЕ ВАРИАНТЫ З А Д А Ч И

Могут быть и другие подходы к сопоставлению наблюденной и теоретически вычисленной функции. Рассмотрим некоторые из них.

I . Составим функционал

п
F = S	I Унабл (*,, Уд — Vjeop {X[, tft) \|.		(1.15)
i = l
Последнее выражение	может быть записано	несколько	иначе.
В (1.15) входит п слагаемых, каждое из которых		берется по	абсо

лютному значению. Эти слагаемые разделим на две группы. В пер

вую включим те, где [ У н а б л (хіг г//) —	У т е о Р (хг , уі)] > О,	во	вто
рую — остальные. Число слагаемых,	которые оказались	в первой
2 2-1445	Г о с . п у б л и ч н а я		é 17

и * у ч н о - т э х н и .ѳ • к а я * б и б л и о т е к а С С О Р

Э К З Е М П Л Я Р Ч И Т А Л Ь Н О Г О 3 * " *

группе, обозначим	через г, тогда во второй группе				число слагае
мых будет (п — г).	Теперь (1.15)		может быть	записано как
	г
F =	2	[Ѵцабл (Xi,	У Ci — ІЛ-еор	Уі)]	+
+	>	[ѴТСор (*„	Ѵиабл^, У;)].		(І.15а)

l W + 1

Теперь минимизации подлежит целевая функция (1.15а). Здесь без всяких ограничений может быть применен градиентный метод

скорейшего	спуска.				(х,	у)			(я, у)
I I . При сопоставлении двух функций				Ѵ н а б л			и	Ѵ т е о р
выделим одну из фиксированных		точек		(л-,-, (/,•). Дл я			нее запишем
	Ді = Ѵ„абл (Xi,IJi)— Утеор (*,-, УИ P ) ,								(1.16)
где, как и раньше, Р — вектор, характеризующий						местоположение
и размеры геологических тел, Р =		\plt	р2,		ры).
В начальной схеме геологического'строения					было задано Р<А) =
= {/Д01, ро\	Р/ѵ'}- Требуется	найти		такие	значения			Р,	чтобы
At было минимальным. Пусть Р =		і°( 0 )	-\- АР,		т. е.
	Pi = Pi0 ' + АРі,
	Р* = р№ + Ар2 , j.								( І Л 7 )
	Рл/ = PN] + Apw-
Теперь (1.16) будет зависить только от {Aplt					Аръ		ApN}.		Как
правило, функция Ѵ т е о Р (х, у, Р)		довольно сложная,					и	параметры
Рі входят под знаки трансцендентных				функций.		Линеаризируем
задачу. Разложим Ѵт е о р (-Р) (ß фиксированной					точке (xt,			yCj) в ряд
Тейлора и ограничимся только линейной частью.						Тогда

ѴТеор (Р) • І^теорІ Р (0) +

дѴ	ЬРі +	дѴ	Ap2	+	+
др1		dp,	Ap2	+
др1		dp,
дѴ	Ар/ѵ.
	Ар/ѵ.

Выражение	(1.16)	перепишется			так:				(1.18)
A i =	Унабл (Xi, у()		— 1/те0 р (Pl0), Xi,IJi)— 2					AtftPi-
Здесь									(1.19)
	А а	—	(ХІ,	УІ,	P^0))		дѴ
	А а	—	(ХІ,	УІ,	P^0))		dp.
							dp.
Приняв Ai	0, (1.19)	можно		записать		в	виде
N
2 АцАр/ =		Ѵш6л	(Хі, УІ) — У т е о			р	(ХІ, ус, РФ))	= 8С.	(1.20)

Параметр і принимает значения, равные						1, 2,	я, значит		(1.20)
представляет собой систему линейных					уравнений с N неизвестными.
Если п > N,	то	получена	переопределенная				система,	которая в
матричном виде может быть записана					как
			AAP	= ô,
где						APl	А
АцА12		A[N				APl	А
А	А			АР	=	Ар2	Ô =
А =				АР	=		Ô =
\_АпіАп2		. . . А nN				Ap,vJ	il
Система эта может быть решена методом наименьших								квадратов.
Сам метод избавляет нас от исследований						совместимости		заданной
системы [45].	выкладок, укажем только, что вектор АР
Не приводя	выкладок, укажем только, что вектор АР							находится
из решения системы
		А'ААР		= А'6,				(1.21)
где А' — транспонированная			матрица		А.	Как	известно,	это	соот

ношение всегда приводит к вполне определенной системе точно

такого	числа уравнений, сколько у нас имеется		неизвестных	[45].
I I I .	В функцию,	которую следует минимизировать, можно вво
дить дополнительные		ограничения. Они будут	играть роль	пара

метров регуляризации (по А. Н. Тихонову). Потребуем, чтобы при минимизации искомые параметры не столь сильно отличались от своих начальных значений. Дл я этого в функционал (1.2) введем еще

член У, Xj(pi — p f V , где X/ — постоянные коэффициенты, играю- / 5

щие роль весовой функции. Там, где вариация параметров, по геоло гическим данным, должна быть небольшой, коэффициент X/ будет выбран исследователем большим. Если же вариация какого-либо параметра не ограничивается по геологическим данным, Xj можно

выбрать достаточно малым или равным нулю.
Окончательной минимизации			подлежит	функционал
Р— 2	[^набл (х„ у,) -	І / т е о р	(*„ Уд? +	S	Я/ (Pf - pff.	(1.22)
Он зависит	не только от геологических параметров р„ но и от
параметров	регуляризации	X,-.
Методом	минимизации можно		пользоваться		для интерпретации

различных аномалий, предполагая формы возмущающих масс раз ными. Относительно простые соотношения для вычисления на элек тронных вычислительных машинах можно получить в тех случаях,' когда возмущающие тела аппроксимируются группой шаров, ци линдров, прямоугольных призм и т. д. Отождествляя область воз мущающего тела набором уступов, можно получить решение задачи для произвольного контура с произвольным распределением масс.

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ