Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Арышенский Ю.М. Теория листовой штамповки анизотропных материалов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

в направлении 1
£11 —	°11 ;	s22 =	^^1122 а11 !	э33 — ^К;ЗЗП и11
в направлении 2
£11 —^'Ки22 с22!		—	^ К о222 3 і2 !	£ 33 —	^ К 2233; и33
в направлении 3
Eji = Â /С ззп	°33 і	£ 22 =	^ ^ 2 2 3 3 а 33 •	£ 33 =	^'^3333 333-

Данные уравнения позволяют использовать различные по казатели. Так, в качестве констант анизотропии можно приме нить коэффициенты поперечной деформации (см. § 1,3). Их всего шесть:

Р 21 —	К 1.122		Рі2 =		К 1122	Р із —	Я Д и
Р 21 —	Л” 1111	’	Рі2 =		К 2222	Р із —	к 3333	(1.24)
	Л” 1111	’			К 2222		к 3333	(1.24)
Е зі =	Л"ззм	.	Р32 =		К 2233 ,	р23 =	Л*2233
	К и п	’			К 2222		Л”зззз
При этом независимыми из них являются только два,								так как
Р-12 +	р32 =	П	Р 2 1 +	Р з і	=	Р із + Р23 =	1 '	. _.
				_				(*••"vj
		P l3 Р21 Р32		—	Р 1 2 Р 2 З р з і •

В качестве технических констант часто принимают коэф фициенты, учитывающие отношение двух поперечных дефор маций при действии вдоль образца растягивающей силы

R e =

ИЛИ Г е

гд е г* и £* — соответственно деформации по ширине и толщине образца.

Например:

Г) _ S22	Л"22 II	(1.26)
s 33	Я " з з 11
		Г I

Естественно, что между коэффициентами р.*е и R e или ге сущест вует взаимосвязь. Так,

= — =	—---- 1; /-! = ■	-------1.	(1.27)
Из 1	Из I	И2і

Показатели анизотропии обычно определяют при линейном напряженном состоянии. Однако для этого можно использовать и другие виды механических испытаний, в частности, испыта ния на чистый сдвиг по напряжениям.

Если принять оц = 0; з22 = — а33, то

_	£ 11 _	Л*зз 11	Л,	2 Ц 2 I —		1	(1.28)
			Т12 =	Иіі			(1.28)
	322	K222I--- К\ 2233		И12	(2 — и 12)

При изотропном материале этот показатель равен нулю. Наконец, коэффициенты анизотропии листового материала

определяют и при гидростатическом выпучивании. Так; если сг3 = 0; сгі = аг2, то

	С]2 =	К 1111 + К 1122	(J-21	п_	(1.29)
	С]2 =	К2222+ К 1122		Г2

			Н-12
Таким образом,		константы, характеризующие			анизотропию
металла, могут быть выражены через различные					показатели,
которые являются равноценными и переходят друг					в друга при
условии постоянства объема.			имеет размерность напряжения,
3.	Если предположить, что F		имеет размерность напряжения,

то коэффициенты /Сі,еш получат размерность, обратную напря

жению, а X станет величиной безразмерной.

В данной работе для определения компонент материального тензора принят путь, когда F имеет размерность квадрата на пряжения, а константы анизотропии выражаются через коэф

фициенты поперечной деформации

ц Ке-

Запишем составляющие материального тензора через коэф

фициенты поперечной

деформации, для

чего

воспользуемся

формулами

(1.24)

и (1.25):

Г12

I/- .

_ 1

Г-21

А 2233

-------- ~

А 1122.

3311 ------------ ----

Ц22

1111

— — /<"1122 ;

Кчтл —

Алі22

(1.30)

Кзззз —

MI2 +

Ң21 — 2(JL12 М21

к 1122-

М-12Д-21

По'путно

отметим,

что

как формулы (1.30),

так

и выраже

ния для показателей цко справедливы не

только

в главных, но-

и в произвольных осях анизотропии.

Для определения

компонент

Ктъ Кгзгз и /Сзізі

обратимся

к формулам преобразования.

При повороте относительно оси 3 имеем

Аліи = Алш cos4<р+

К 2 2 2 2 siri4 ср -г 2 (A'1122 + 2Ar1212) sin- ® cos2ю

К 2222 — АГцц sin4 cp -|- к 2222 COS4 cp +

2 (Ал122+ 2/C1212) sin2 tp COS2 cp

К 1122 = К 1122 “Ь

[ДГnil +

К 2222 — 2 (Алі22 +

2Ал2іг)] SІП2 CpCOS2 ср

Если угол поворота ср принять равным 45°, то

•^ІШ = К '2 2 2 2

“f ' (Л*Ц11 +

К 2222 +

2Д 1122) + ^ 1212

Л"п22 =

4-(Л-И11 +

Л-2222 + 2Д „12) — Л "^

или	КШ2			■ft- 1111 + К2222+ 2/f 1122— 4К 1212
Л"1!	КШ2			■ft- 1111 + К2222+ 2/f 1122— 4К 1212
к іш	к,2222			А”1111 + К2222 + 2К 1122+ 4К 1212
Отсюда					2	-5—	_L	^ К 1212
					2	-5—	_L	^ К 1212
а 45	— _	м45 _		(Аі =		(-112 (-*-21		К 1122
Н-12	—	Г21	—	(Аі =	2	1	1	д К 1212
					2	-	1	д К 1212
						[М2	Н-21	Л” 1122

К 1212

[42 +

Ц2 1 — 2 [Х12 [J-2 1

1 +

|Ч

(1.31)

— К \\2 > ~

Н-12+21

1 — (Ч

Преобразование

коэффициентов

последовательно вокруг осей 2

и 1 приводит к следующим

выражениям:

К 2323 —

[Чз +

Из2 — 2|Чз Из2

1 +

И2

К 2233 4

£^23 ^32

1 — ИЗ

А"зізі — Кззп Т1

И із +

Из1 —■2[і 1з Из 1

1 + Из

Н.З ^31

1 — Из

С помощью .(1.25) они приводятся к виду:

1 + Из

/<2323

- K i m

—

1 — ИЗ

■ И21

(1.32)

1 1

+ Из

А 3131

—

----- з-

1 1 2 2 ;--------------

И12

1 ---Из>

где [J-! — коэффициент

поперечной

деформации

под

углом

45°

к осям 1 и 2;

[+> — коэффициент

поперечной

деформации

под

углом

45°

к осям 2 и 3;

р.3 — коэффициент

поперечной

деформации

под

углом

45°

к осям 3 и 1.

Таким образом, составляющие

материального

тензора запи

саны через единый коэффициент Кіі22-

Для того, чтобы все соотношения теории были инвариантны ми, необходимо этот коэффициент выразить через один из инва риантов тензора {£ijem}. Например

Л) =	klJет S/ 2 °гт =		^1ш	+ ^ 2 2 2 2 ~Г А3 3 3 3 +- 2			(£ц 22 +	^2233 +	^ЗЗІі) — О,
I — kiiem §Uem =			^цц	+	k 2222 +	^ЗЗЗЗ — (^1122 + ^2233 +■ ^ЗЗп) +
	+- 2>{km2 +		^2323 +		^313l) =	К \ \п +	К 2222 +	КзШ —
	(К1122 + К2233 +				Кззп) +	3 (/С1212 + /С3131 + Л'гзгз) (1.33)
Л	=	~ ^о) =	^1212 +		&Я23 +	&з!31 —	k i m —	^2233 ~	^3311
где	=	ЛГ1212 +	К 2323 +		А’зізі — Кп22 — К 2233 — К тп
где
( Ьи } — единичный тензор;					5і/ =	1 і =	j
						О і ф	j '
a	— материальный тензор изотропного тела

Следует отметить, что составляющие последнего тензора не из меняются при повороте осей, т. е. он играет роль шарового тен

зора.

Используя выражение инварианта / ь найдем Кіт-

К mi — — 4 /j			^12 Н-21 .
			?	12	’		1 ~t~ Р-1
?12 = 4 ([J 1 2 + {Л21 — tx 12 tA2 l ) _i_ (t1-12 +						2(J 12р21)
				!J-21	—		1 —(М+
1	+	\|J-2	1	+ Из
+ р12 1	—	[-12 + р21 1		— Из’
Для корректности теории		необходимо			и достаточно принять
любой из инвариантов {ЛщтЬ отличный от						нуля,	равным со

ответствующему инварианту материального тензора изотропно-

тз , 15 го тела. В частности, / і = — •

Итак, найдены все составляющие материального тензора в главных осях анизотропии, которые, включают в себя пять тех нических констант р.і2; р-21, рь Р2 и рз. В произвольных осях эти составляющие определяются формулами преобразования тензо ров четвертого ранга.

За интенсивность напряжений примем следующий инвариант:

оI =

V 2 F .

(1-34)

В развернутом виде он выглядит так:

Оі = У %

V w

+ р21^224” IPl20 —p2l)+ p'21(1

Ріг)] О33

—

2 [р12р21Оц

Р21 (1 —

Ріг) °22 °33 +

Р і2 О — P 2 l) °33 all] +

[ріг(1

Р2О + Р21 (1

Р12)]

і~"|°12 + ^12 і 3 ^ а23+ ^2і

или при использовании зависимостей (1.7)

] / ^ 72Рі2Р21 У (°Ц—° 22)2+

і )(а22—33з)2 +

~ 1 ) Х

X (о33—Оц)2+

[ ( ^ - 1 ) +

(^7 - 1 )

1+Н-1

-I-

1—(ІИw19

J _

| + ^ a2

—

(1.34a)

—

i-----u23

~i----- 1------ u3r

(121

1— B-2

Ji.,2 1 — |X3

Для определения

интенсивности деформаций ег

множителя

Х = ^ приведем уравнения связи к виду:

=	х _15_[Pl2Р21(°11 — °2з) + Pl2(1	Р2і) (с11	с3з)]
	*12
	1Ö5
е22 =	^ ~‘12 [Pl2 Р21 (а22 — °1і) + Р 21 (1	р 12)(°22	а3з)]

га

Е33 — ^ ~ [ 1^12 (1 Р -2 і)(333— °1 I ) + !j-21(1 — Н -12)(°33— ст22)]

4 2

- 1

X Ü . - L

(^12 4- р21 — 2ц12JJ-OJ) -----—

*12

1 — (XI

1+1X2

-23

Л— —

^‘2^

°23

1 -- (X2

Езі

•

1 + [X3

A. —

ТГ l12' 1

°зі-

— !x3

Из этой системы

и дополнительного соотношения

(оп — а22) +

(а22 — °зз) + (°зз ~

°п) =

0 найдем разности нормальных напряже

ний, выраженные через деформации. После подстановки

их в усло

вие пластичности

получим:

5 і

- ^

і )

- e n ^ . 2 - 1 )

e22U

. _ 1 )-

Е-21 (1

Р 1 2 )

Е22

------ '

l j — Е33

“Г Iх 1 2

( 1 —

Р 2 1 )

4 ( 1 —

jxi)

_ 9

4 ( 1

— |Х2)

4 ( 1 —

|Х3)

(1 + fx 1)

[(1 — JX2

i) IX12 +

(Х21 (1 — ІХ1 2 )

1x 1 2 ( 1

+ 1x2 )

Н-21 (1

fx3)

C31

Если воспользоваться условием несжимаемости, то выражение

интенсивности деформаций

можно

упростить

g. =

л[лі2

] / " ___\___(

2гН с22

Е2

Н12 1+1 V !х12

Р-21

7 ____________4(1 - |Х ,)____________ 2

4 ( 1 - н а )

. 2

- ,

4 (1

[х3)

(1+Н-0 [(ХІ2(1--(Х2і)+Ц2і(1--(X12)]

fX12(1 + И2)

~23 "И(Х2І(1 + Нз)

(1.35)

Интенсивность деформаций в произвольных осях анизотропии

определяется

формулой:

г 2

= А ц е т

е ,-у £ е т .

Как известно, для применения в расчетах обработки метал лов давлением основных уравнений теории пластичности необ ходимо знать функциональную зависимость аі=Ф (еі) конкрет ного материала. Обычно с этой целью проводят испытания в условиях линейной схемы напряжений. При этом ГОСТом реко мендуется вырезать образцы вдоль основных осей симметрии полуфабриката.

С этих позиций и рассмотрим уравнения (1.34а) и (1.35). При растяжении материала вдоль оси 1 (например, проката), когда все напряжения, исключая оц, равны нулю, получим

■24

Когда линейное напряженное состояние создается в направ лении 2, то

	15{а 9		J 22 '	cl £	. =	V 15,л21	е 22-
	?12				‘	V 15,л21
И, наконец, при испытаниях вдоль оси 3 имеем
а, =	f ^^31 ^ 1	2	J 33 i	а		Уі2 ^13 53з-
- V	'Ріг ^із					15(i3i (1 ] 2

Как видно из полученных выражений, интенсивности напряже ний и деформаций не совпадают с величинами напряжений и де формаций линейного растяжения. Это не дает возможности пря мого использования кривых упрочнения, полученных при испыта ниях в направлении главных осей анизотропии.

В связи с этим введем понятие интенсивностей главных на

правлений.

Обозначим

отношение

8 і

Via

15^12

через stl .

Тогда будем иметь

3(1 —V (J-21 "[/"(аП—ап)2 +

l) (а22

а3з)2

Г(—

— 1 ) + ( 2 —

і )

1 + ^ 2

І+І^З „ 9

/ 1 Qß\

л-----°7o ч------1-------ч---------- 1------аоі

11 »OD)

L\Н- І2

\(A2l

1—(JH

Н-2ІІ----fJ*2

(М2 1—(A3

= Vv.12 л / _ ! —

(JL’+ 2E„ S,2 + І 2) +

1— IJ 12 И-21 \ h2

iX2l/

I ____________4(1

(iQ____________e 2 I

4(1—|i-2)

4 (1—(ia)

0 7 л

T (1+ |M) [(112(1—1*21) + (121(1—(112)]

“ИT (112(1+(12)

23 ^ 121(1+ ^)

ЗГ У101)

Аналогично можно получить

(1.38)

е .

(1.39).

Ч’іг (*13

■15(і,31 ^12

Введенные интенсивности направлений

будут

инвариантными,

так как они от о, и е;

отличаются лишь постоянным множителем.

Между ними существуют зависимости

° ‘'2 =	°із== Ѵ ы аі1' e,'2 = V ^ Eii; 6,3 = І^ІмГ 8<1 ‘
	(1.40)

Полученные соотношения позволяют выразить уравнения связи между напряжениями и деформациями в такой форме:

£П =				І\	КаП		° 3 з)		Р21 (а22 — ° 3 з)]
	8*2			І\
е22 =	8*2			[(°22		° 3 з)		1*12 (afl — ° 3 з)]
е33 —				і3	І(°ЭЗ		°22) —		1*13(°11 —		°22)]
„	_			1	3і1	^31	* + Р"1_
“12				2		«*,з	1	- Ң	12
„	_			1	8/1	1 +	f*2
і23				Т ^ г = ^ а2з
. _	1	Ei,			l*2i	1 + 1 * 3			1	8І2	1 +
£ 31 -	о „				—	5	- ° 3 1 -		Y	^	Г ^ з 0 ^
	2		^ i ^			i -	V	31

Если ввести обозначения

Е\ =	; Et = -	и £ з = т - 3
	12	- *ІЗ

то физические уравнения принимают вид:

		1	о			М-12		Н13
Е11 =			о	и			°22 —	Q
Е11 =		« г		и		^2	°22 —	Е г	сосо
		« г				^2		Е г
^22 “		1				1*23 °зз — (J-2 I С11
^22 “		—г о22 ~				1*23 °зз — (J-2 I С11
		£ 2				S 3		Е 'і
езз 1		1				1*3 1 °11 —		1*32 а22
езз 1		—Г		33	~	1*3 1 °11 —		1*32 а22
		Е г				" е [		Е 2
е12	:	1		1	+	f*I	12
е12	:	2Е'3		1		— а	12
		2Е'3		1	— (*і
		1		1	+	!*2
£ 23	=	2Е г		1 — 1*2а23
е 31	=	1		1	+ 1*3 „		31-
е 31	=	2Е'2		1		-- 0«	31-
		2Е'2		1	— Н"3

(1.41)

(1.42)

При этом модули пластичности Е\ связаны между собой следующим'образом:

г	г	t	г
Е 1Ы = Е 2^ ;		Е і і-і-із =	^з^зі-

Для сравнения приведем				запись обобщенного закона упругости
для ортотропного тела [12]:											1
	Е і	а * ~	У 12	аУ — у із			oz	Т-су		=	1
		а * ~	— 2			---------		Т-су		=	12
			Ь			Ег					G
£у	1	° у — у	Ѵ21	■Ox -		У23				_ --1 »
	1	° у — у	—	Ox		- —		Т у г =			1 2з
	е 2		El			Ег -					G
	Ег '	T3 >i'			—	Ѵ32Ег	„	7 г г	=	:	------ 't;
					—		У	7 г г	=		C?3 1

где Еі — модули Юнга по главным направлениям анизотропии; I/и — коэффициенты Пуассона.

Отсюда видно, что в основу теории упругости и деформаци онной теории пластичности ортотрогіных сред можно положить зависимость аналогичной формы записи.

Далее, как показал А. А. Ильюшин [13], интенсивность на пряжений, возникающая в теле при любой деформации (упругой или пластической), для каждого материала есть определенная непрерывная функция интенсивности деформаций Оі— Ф(еі). В упругой области она имеет вид а — Ееь а в пластической аі=Е'еі. Это касалось изотропных сред.

Ортотропное тело имеет три главных направления, в каждом

из которых существуют свои модули упругости и	пластичности.
В связи с этим и появляются три вида связей	он —Фі(еи),
оі2= ф 2(еі2),- Оіз=Ф3(еіз) действительных как в	упругой, так

и в пластической области.

Запись уравнений теории пластичности с помощью трех мо дулей является удобной при решении конкретных задач, особен но если это решение учитывает и упругие деформации. •

§ 1.5. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ ОРТОТРОПНОЙ СРЕДЫ

(н а п р я ж е н и е сз3 с о в п а д а е т с г л а в н о й о с ь ю а н и зо т р о п и и )

При анализе большинства операций листовой штамповки можно принять допущение о том, что напряжение, направлен ное по толщине материала, будет всегда оставаться перпендику лярным плоскости полуфабриката или иметь отклонение, кото рым для технологических расчетов можно пренебречь.

Наложение такого условия приведет к тому, что а3і = сг2з= 0 и условие пластичности в основных осях симметрии запишется следующим образом:

F —

[АГіШ °\і -Г АГ2222 °22 + АГзЗЗЗ

+ 2 (А Г и 22 0ц 022+

+ Кіізг °22 °33 + /Сззп °33 °п) + 4/С1212 0]2] •

(1.43)

Можно воспользоваться уже выведенными уравнениями, при няв В НИХ 023== Озі= ОИ 623^—Ьзі== О*

Однако применение подобных формул при анализе операций листовой штамповки приводит к определенным затруднениям, так как коэффициенты ц2 и ц3 определить не удается.

В связи с этим можно предложить другой путь. Он заклю чается в использовании при выводе основных уравнений теории инвариантов, полученных путем преобразования компонент ма териального тензора при повороте вокруг оси 3.

Укажем на некоторые из них:

іо =	/Сim +	М2222 т 2/С1122 =	К зззз = — (/02233 + АГззп)
і1 = /С1212— К 1122
Іо =	М232З +	/С3131
h =	і-о +	! = /Спи + К т о	+ 2 М 1 2 1 2 -

Инвар панты t0 и і1 можно определить тем же способом,	что
и 1о и 11, проводя суммирование только по индексам 1 и 2.
Если воспользоваться значениями іі, то все предыдущие
формулы сохраняют свое значение, только в них, помимо	ука
занных выше условий, вместо срі2 будет входить значение
<Pl = 4 U 12 \|X2I -Г (р-12 + Ң-21 — 2jXi2 [X2I ) j _ ^ ^.

Так, например, Kim - — 4tt --2—12 . При изотропном материале

Весь вывод основных соотношений теории сделан в предпо ложении существования тензора анизотропии (материального тензора). Это положение необходимо подтвердить эксперимен тально, путем проверки существования инвариантов, не исполь зованных в записях выведенных уравнений.

С этой целью проведем экспериментальную проверку инва рианта t'o

л .	^ 1 2 + іх 2 і — 2 (J 12 (J 21 _ л .	H-12 1^21 ^ ^*12 ^ 2 1
h —	-----------------------------------^l \

где

? 2 = 4 !X;2 [X; 1 + (р. ; 2	[Xj2	+	\|X21 +	2 \|X] 2 (i21
	^21 ^^12 lX2l) H-12	+	И21	2 (Xj2 (X2J

p'i и [Xj2— коэффициенты	поперечной деформации в произвольных
осях; .	поперечной деформации,			определяемые
(х21 и (А"2— коэффициенты

под углом 45° к произвольным осям.

Данные таблицы 3, составленной по нашим работам и иссле дованиям Тульского политехнического института [11], подтвер ждают существование инварианта ф, что позволяет сделать вы вод о правомерности записи основных уравнений теории в тен зорной форме. Некоторое расхождение в значениях і0, вычислен ных в главных и произвольных осях, объясняется погрешностью, сделанной при определении р.

Марка

сплава

Д16АМ

ВТ1—2

1Х18Н10Т

ОТ 4—1 МА— 8 Л-62 [И] 08КП [11]

									Табліща 3
1X21						р і 2			/о в	го в
1X21	Р15°	оСО		*7= оСП		р і 2	<?і	?2	главы,	го в
( М	Р15°	оСО	1а45°	*7= оСП	9*75°	(р90°)	<?і	?2	главы,	проызв.
( М			1а45°		9*75°	(р90°)			осях	проызв.
									осях	осях
0,36	0,41	0,45 0,46 0,44 0,38				0,34	1,71	1,93	1,31	1,30
0,73	0,64	0,70 0,78 0,82 0,77				0,73	5,36	4,43	0,41	0,41
0,47	0,45	0,50 0,52 0,51			0,48	0,47	2,39	2,40	0,05	0,04
								С 2	/о В	/о в
Р-21	Р зъ 5°			!*б7,5°		H"L2	<рі		главы.	проызв.
Р-21	Р зъ 5°			!*б7,5°		H"L2	<рі		осях	осях
0,72	0,75	0,84		0,87		0,80	6,56	5,54	0,282	0,290
0,58	0,60	0,62		0,65		0 , 6 6	3,54	3,55	0,664	0,662
0,46	0,48	0,51		0,49		0,45	2,37	2,38	1,05	1,05
0,57	0,51	0,41		0,59		0 , 6 8	0 , 6 8	2,9	0 , 8 6	0 , 8 6

Инвариант	г0 может быть использован при выводе различ
ных соотношений теории в том случае,							когда		напряжение		азз
совпадает с направлением толщины						материала.				Примем	его,
как и при изотропном материале, равным единице.
Тогда
		^12							И-21
Алш =	^12	(^21	2^12!-^21 ■, К 2222 =				И12		*а21	“^12 ^21
К 3333 =		1 ;	Л Т і22	=			Н-оі ^12
К 3333 =		1 ;	Л Т і22	=	Р-12 +		1^21	^'U12 ^21
					Р-12 +		1^21	^'U12 ^21
			BjTl	(х2і)						(1.44)
К 3311	=		BjTl	(х2і)	^21-	; /С1212		=	_L 1 + Iх!
К 3311	=		Г**21		^21-	; /С1212		=	4	1—h
	К 2233		-		1*21 0	^12)
	К 2233		-	^12 "1"'х21			tx21
				^12 "1"'х21			tx21

Таким образом, Все составляющие материального тензора выражены через коэффициенты поперечной деформации.

Попутно отметим, что если раньше инвариант іі был постоян-

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ