Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Арышенский Ю.М. Теория листовой штамповки анизотропных материалов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.83 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

к2

Затем, последовательно рассматривая чистый сдвиг в трех плоскостях, Р. Хилл находит

_ 1_ = 2L\

R 2

Все эти преобразования позволили представить условие пластин ности Р. Мизеса в виде:

2 . ( F + F ~	~ ° у ) 2 + ( F + -У~ F ) (оу ~ °г)2+
+ {У +У ~ У У вг~°х)\ + F + "F- + ^		e 1 , (1-3)
где X, У', Z, R-, S,	Т — соответствующие пределы	текучести на
растяжение и сдвиг.

По аналогии с изотропной средой автор находит уравнения свя зи между напряжениями и приращениями деформаций

(Ігх = d l [Н (сх — Зу) + С?(од- — ау)];		d^yz = dXL^yz;
dty =	dX [Д (ay — az) + H (Oy —<sx)\	d f zx•= dXMtzx\
dsz -	dX \G (pz Gx) + F (аг °y)]i	d~\xy —dXNtxy.

Для определения множителя dX введено понятие эквивалент ного напряжения:

=У-=

У92 (F,Q + Оо + Н о

Полагая, что а является функциефпластической работы, Р. Хилл показал, что d X = adz = dW, где dz —приращение эквивалентной деформации.

Далее в своей работе Р. Хилл рассматривает плоскую дефор мацию и возможность существования характеристик. Он уста новил, что характеристики для напряжений и скоростей те же самые, что и в изотропных телах. Они же есть линии скольжения или направления максимальных скоростей сдвига. Однако в от личие от изотропной среды, здесь характеристики не представ ляют собой направления максимальных касательных напряже ний.

Полученную теорию автор использовал при решении отдель ных задач. Например, он проанализировал процесс фестонообразования при глубокой вытяжке листового металла.

Несмотря на то, что запись условия (1.2), предложенная Р. Хиллом, имеет довольно простую форму, она не лишена от дельных недостатков.

Любое условие пластичности интерпретируется в виде неко торой гиперповерхности в девятимерном пространстве тензора напряжений.

Исходя из геометрического представления, основанного на физических закономерностях, может быть определено аналити ческое выражение критерия пла стичности. Подобный подход из ложен в ряде работ [31], [32].

Определим вид поверхности пластичности анизотропных сред с разными пределами текучести на сжатие и растяжение. При этом примем условие: добавление гидростатического давления не будет влиять на наступление пла стичности металла.

Отложим на девиаторной пло скости (рис. 1.1) по координат ным осям соответствующие пре делы текучести на растяжение Ri и сжатие Sj. Если соединить

полученные точки прямыми ли

Рис. 1.1. Сечение поверхностей ниями, то придем к условию пластичности девиаторной плос

Д. Д. Ивлева [31], которое ото- костью

1.Условие пластичности, выраженное через главные оси ани зотропии, может быть использовано в общем случае лишь тогда, когда дано правило пересчета показателей анизотропии при по вороте координатной системы. Такое правило в работе Р. Хилла не приведено, а без этого предлагаемая запись носит частный характер.

2.Для учета упрочнения металла автор вынужден был ввести

понятие эквивалентного напряжения. Однако коэффициент

і /

I/ — = -----------——, а следовательно, и само выражение эквива-

2(/70 + W0 + G0)

лентного напряжения не являются инвариантными. Этот факт свидетельствует о неполном физическом обосновании теории.

3. Как условие пластичности Р. Мизеса, так и дальнейшая его интерпретация Р. Хиллом, не отражают различия пределов текучести материала при сжатии и растяжении.

Все это говорит о том, что при разработке теории пластично сти анизотропных сред необходим такой подход, который позво лил бы перейти от формально математически верных частных случаев к более общим и физически обоснованным выражениям.

§I. 3. УСЛОВИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

СРАЗЛИЧНЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ТЕКУЧЕСТИ НА СЖАТИЕ И РАСТЯЖЕНИЕ

бражается в пространстве главных напряжений в виде шести гранной призмы.

Проведем через те же точки замкнутую кривую линию. Используя обычные приемы аналитической геометрии, нетруд но показать, что поверхность, ограниченная этой линией, мате матически может быть выражена следующим образом:

2	2	2	/	1 ,		1			1 \
°і	, °2	, а3	/	1 ,	т	1			1 \
-----	“Г -----	"Г -----	—	I-----	т		----- --------- —
R i S i	R2S2	R3S 3		\R1S1			R2S2		R3 S j
	_J______ J__					1			_1______l_
R2 S 2	R3S 3	R{S\	a 2 a 3 — R3S3						R i S 1 R 2 S 2,	° i °з 4 -
		G	_1___ 1_		0-2-Г					(1.4)
	Si	G	R2	S2	0-2-Г			'r .		(1.4)

Анализ показал, что выражение (1.4) описывает равнонакло ненный эллиптический цилиндр со смещенной относительно на чала координат осью. Смещение, показанное в данном уравне нии с помощью членов первых степеней, и характеризует осо бенность условия пластичности для материалов с различными пределами текучести на сжатие и растяжение.

Выражение (1.4) носит частный характер, так как главные напряжения совпадают с основными осями анизотропии.

В общем случае условие пластичности анизотропных сред

может быть записано в виде
■F* —	(kijem &ij Gem 4 “ kPQ '-‘PP)	(1.5)

где (о,-;} — тензор напряжений второго ранга с симметрией а;; = а/*; [kpq] — тензор смещения второго ранга, учитывающий разницу в пределах текучести сжатия и растяжения. Его сим

метрия аналогична указанной выше;

— материальный тензор четвертого ранга, у которого

kiJem — kjiem
ki'lem = kiime	0 *6)

kijem = k-meii

При наложении условия несжимаемости имеем следующие

соотношения:
^пп 4-	к \ \ 2 І	+	^ззп =	0 ;
^2222 4" ^1122 4" ^2.33 =				0 >
^эгззз т	^ззп +		^22зз — 0;
^1112 4 " ^2212		4 -	^3312 =	0 )
^1123 4”	^2213	4 - ^3323 =		0 ;
^ ііз і 4 -	#2231	4-	А’зззі =	0 ;

Ац + А22 + ^33 = 0.

Представленный критерий пластичности может быть исполь зован в самом общем случае анизотропии. Однако для метал лов и сплавов в этом нет необходимости. Известно, что листы,

ленты, трубы имеют определенную симметрию свойств.			Вид
симметрии зависит от среды и внешнего воздействия		на	нее
[8]. Внешним воздействием может быть	механическое		поле
напряжений, которое выражается тензором	с тремя-	типами
симметрии. Использование принципа суперпозиции Кюри			по

казывает, что в металлических полуфабрикатах, полученных прокаткой, волочением или прессованием (определенный тип воздействия), не следует ожидать появления криволинейной анизотропии.

Проведенный теоретический анализ [8] и дальнейшая эк спериментальная проверка с помощью рентгенографии и уль тразвука показали следующую картину. Текстура проката имеет совокупность элементов симметрии, присущую спичечно му коробку, а именно: три оси симметрии второго порядка, совпадающие с направлением проката и двумя перпендикуляр

ными ему направлениями; три плоскости симметрии,	одна из
которых совпадает с плоскостью прокатки, а другие	перпенди

кулярны к ней. Подобный вид симметрии характерен для ортотропных сред.

У полуфабрикатов, полученных прессованием и волочени ем, еще более простой вид симметрии из-за наличия кристалло графических направлений, расположенных вдоль оси сжатия или растяжения.

Следовательно, для использования теории пластичности ани зотропных сред при обработке металлов давлением достаточно рассмотреть случай ортотропного тела. Причем для простоты уравнения теории можно записать относительно основных осей

анизотропии. При необходимости					тензорные			преобразования
позволяют определить все величины и для произвольных											осей
анизотропии.								(1.5) выразится
С учетом изложенного условие пластичности								(1.5) выразится
следующим образом:
F — — [^1111 °П + К 2222^22 +^3333 °з3+ 2 (/Сц22°11 °22+
+ К 2:33°22 °33	+ К ъ ъ п	°33 ° 1 і) +	4	( К \ 2 \ 1	° 1	2 +	/^2323 ° 2	3	+	^3131 ° 3і) +
+ К ц °11 +	К 22 °22	+ К 33 а33	+	2 ( К о 1		521 +	К 32 a 32		+	^ 3 1 °3l)>	( 1 - 8 )
где /(ijem — материальный тензор, записанный в главных											осях
анизотропии.

Для установления связи между напряжениями и деформация ми воспользуемся ассоциированным законом течения, согласно которому условие пластичности и скорости или приращения

компонент деформации оказываются		связанными	между со
бой [9]
d e u ^ d l - ^ - ,			(1.9)
где f — рассматриваемое	условие пластичности;		постоянный
d% — неопределенный	множитель	Лагранжа,	постоянный
для данных значений деформаций.
В результате дифференцирования		получим

d z n	II	ft.	Q	+	AC1122 °22		+	K3311 Чзз +
d t 22	—	fl!X	1122 an	+	К	2222 a22	+	К22ЗЗ a33 +
ä s 33	=	efX (АГззи °ii		+	К	2233 322 +		А’зззз °33 +

2 •Kn)

2 K22)

2 •K33)

d s 12 =	2 d X	1212 ai12 H-----2*^12)
d e 23 =	2 ОІХ	2323a::з '1— 2 ~ K23)
d e 31 == 2 dX		^/Сзізі a31 + ТГ ^ 31).

При дифференцировании учтено, что ар и CTJL физически раз личны, хотя и равны по величине.

Для практического использования теории необходимо состав ляющие материального тензора и тензора смещения выразить через технические константы. Здесь возможны различные пути, которые более подробно будут рассмотрены в дальнейшем. Вос-

- пользуемся одним из них.

При линейном напряженном состоянии, растяжении и сжа тии в первом направлении (например, в направлении проката) из (1.8) получим следующую систему уравнений:

F = 4 - (Кии R\ + Кп Яі)

откуда

_ 2F {S\ — R\) ш			2F	( 1. 11)
R\S\	'	^пи — R\S\		( 1. 11)
R\S\	'	^пи — R\S\
где Ri и Si соответственно	пределы текучести на			растяжение
и сжатие.
Аналогично, рассматривая	линейное		напряженное	состояние
в двух других направлениях, находим:
К 22 = 2F (S2 — R2).		К,2222	2F
Ri Si			Ri St

ьг	_ 2F(S 3- R 3),				К зззз —	2F	( 1. 12)
Азз ------------------ .					К зззз —		( 1. 12)
			/\3	Оз	/? з 5 3
Попутно отметим,	что из			выражения		+ 'К22+	/Сзэ = 0 вы-
текает условие
_L + _L + _L = _L + _L + _L							(1.13)
R\	Ri		R3 Si		Si	S3
■Следовательно, если принять условие постоянства объема, то
изотропное тело не может			иметь различные пределы текучести на
сжатие и растяжение,
Из соотношений	(1.7)		и (1.12) определяем			коэффициенты К п22.
К 2233 И КпЗЗ					1
' 1122			(	1	1
' 1122			\R3S3		R1S1
			\R3S3		R1S1
	=	Z7 (		1	1		(1.14)
	=	Z7 (		1	Ri Si		(1.14)
			U1S1		Ri Si
	=	F\f		1	1
	=	F\f		1	R\S\
			U2S2		R\S\

Известно, что пределы текучести на сдвиг у анизотропных материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжа тию, зависят от направления (знака) касательных напряжений. Поэтому существует два различных предела в каждой плоско сти сдвига.

Рассматривая, аналогично линейному напряженному состоя нию, чистый сдвиг, получим

K a =

to co I

АГзі =

F	S 12 — R 12.	ZC1212 —	F
F	S 12 R 12	ZC1212 —	2R 12 S 12
	*S23-- ^23 .	К 2323 =	F
	S23 R23	К 2323 =	2Ri3S23
F	S31 — ^31 _	ТСзізі =	F
F	S31 R$ 1	ТСзізі =	2R3iS31

(1.15)

где Rij — предел текучести на сдвиг соответствует	схеме (а)
(рис. 1. 2), a Sij — схеме (б).
Найденные значения коэффициентов 70jem и К Рд	позволяют
записать условие пластичности в следующем виде:

"і1	, °22	. °зз	V 1	р 1	1 ^
RiSi	Ri Si	R3 S3	UiSi	R2S2	R3S3)	1
f - i - +	1				'	ä % ‘ " +
f - i - +	R3 S3
\Ri Si	R3 S3
+	S				5г )°1+
	S				5г )°1+

Рис. 1.2. Схемы нагружения при чистом сдвиге

12	+	“23	“31	1			+
/?іг5і2	+	Rzz S23	+	R 12	S 12	1 2	+
/?іг5і2		Rzz S23	R з1S,i	R 12	S 12
+ М ____ L			J23	31	= 1 .		(1-16).
			1	1
\/?2з		523	R 3 1	5з 1

Как показывают эксперименты [3], разница между предела ми текучести на сдвиг при схемах (а) и (б) невелика, и, по-ви- димому, их значения можно осреднить. Тогда для расчетов мо жет быть использовано условие пластичности, представленное в такой форме:

—ау)2+

[Ri Si

R i S 2

R 2

S 2

R 3 S 3

R i S i

(Oy— CZ ) 2

J I

RiS-, К - Sr) 2

z x y ,

tjz

Z Z X

"^2' -

( ÄS S

ÄiSi

“

о------ Г

------г

Г 31

где Ту — предел текучести на сдвиг в соответствующей пло скости.

Отметим, что если выражение (1.16) рассматривать относи тельно главных напряжений, то оно приобретает уже знакомый вид (1.4).

Параметры анизотропии в условии пластичности можно запи сать и через деформационные показатели. Но аналогии с тео- '-рн£й упругости анизотропных сред в качестве таких показателей

примеЗикоэффициенты поперечной деформации р.ке—----—-

Здесь -первый индекс показывает направление поперечной де формации; а второй — направление действия силы. Напряжен ное состояние при этом линейное.

16 ' ....

Не вдаваясь в подробности вывода, запишем условие пла стичности для частного случая, когда главные напряжения сов падают с основными осями анизотропии:

			и	I	с
	[( njj] + Н-2і) (°1 — Чо)2 + ( іа21 + ^21) Г			+I	32
Si = —	[( njj] + Н-2і) (°1 — Чо)2 + ( іа21 + ^21) Г		Р	+I	(ХС	X
		Н-12 + г-12
, X (з2 — Зз)2^+ (і^зі + ІАзі)(°з		Gi)2] + (^i ^л)(аі		°з) +
+	4 LT J? ( ^	- ^ ) ( 32 -° 3 ).				(1-18)
	Г 12 + Г 12

Между коэффициентами поперечной деформации, определен ными при растяжении цке и сжатии р,£е, существует ряд соот ношений

И*21 +

!Л31 =

1 >

Ри +

Рзі =

1 -

tA12 + ^32 =

(Tj2 т

Г32 =

1 >

І^із + И-93=

1 >

Г13 Т- Г23 =

R ,S ,

R 1 S 1

^21 + Р-21 — 1 + R.2

S 2

R 3S 3

Г2 1 + Г2 1 _ R \ S I

Г3 1 + Г3 1 = R i S i

(1.19)

r?2 + Г12

Г13 + Г13

R3 S3 .

3 2 + Г3 2

)i(

Г?з + Г1 3

)

( Г

)

( Г

+ Г P

) .( Г c + Г

Г2 3

+ Г2 3

Г2 1

+ Г2 1

Явно выраженным различием пределов текучести на растяже ние и сжатие обладают полуфабрикаты только некоторых метал лов, в основном — алюминиево-магниевых [6] и магниевых сплавов [10]. В частности, пределы текучести на сжатие (ката ные плиты) у этих сплавов приблизительно в 2 раза ниже, чем при растяжении. Подобное явление объясняют различием меха низмов пластической деформации. Так, при растяжении наблю дается процесс скольжения, а при сжатии — двойникования.

Для большинства металлов и сплавов пределы текучести на растяжение и сжатие примерно равны. Причем, если наблюда ется небольшое расхождение между ними, то для технологиче ских расчетов обработки давлением это различие не имеет суще ственного значения.

Таким образом, наибольшую практическую ценность будет иметь теория пластичности ортотропных сред с одинаковыми пределами текучести на сжатие и растяжение, которая и рас смотрена ниже.

§I. 4. ТЕОРИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ ОРТОТРОПНЫХ СРЕД

СОДИНАКОВЫМИ ПРЕДЕЛАМИ ТЕКУЧЕСТИ НА СЖАТИЕ И РАСТЯЖЕНИЕ

(Общий случай)

Если пренебречь различием пределов текучести на сжатие и растяжение, то в уравнении (1.5) исчезнет тензор смещения и оно примет вид

F = _1_	klJem а(V ает-	( 1 . 2 0 )
'2
Уравнения связи между	напряжениями и	деформациями
можно представить в форме
dz-ij —dXk-ljem Gem-		(1;21)
При простом нагружении,	когда отношение	компонент на

пряжений в процессе деформирования не изменяется, между приращениями деформации наблюдается линейная зависимость

типа dei=const	Она будет иметь место и при	конечных
деформациях, если	компоненты Aijem сохраняют свое	значение.

Тогда приращение деформаций можно заменить деформация ми, а вместо dX использовать X.

Учитывая изложенное, для ортотропных тел при записи отно сительно основных осей анизотропии находим

F = —	[К п и	°И + /С2222 °22 + ^3333 033 + 2 (ft\l22 а11 °22				+
+ ^2233 а22 033	+ ^"3311 °33 ° 1і) + 4 ( К		1212 ° і 2 + ^2323 агз + ^3131 °з і)]			(1-22)
	£11 =	^ ( К ”п п а11 +		К*Ц22 а22 +	ДГ.3311°3.з)
	е22 =	^ ( К ц 2 2 аИ +		/С2222 а22 +	^5233 а3з)
	езз =	МК3311 ап	+	ЛГг233с22 +	А’зззз'^зз)
	е12 = 2^/Сі212°12
	е 2Ь =	2 ^ К 2323 а 23
	е 31 =	2^ /^ 3131 а 31-

Таким образом, получено условие пластичности, аналогичное условию Р. Мизеса (1.2а), однако представленное в тензорной форме.

Как-уже отмечалось, для практического использования урав нений теории необходимо составляющие материального тензора выразить через, технические константы. Покажем несколько воз можных вариантов такого выражения.

1.Если принять F величиной безразмерной, то коэффициен

Kijem получат размерность, обратную квадрату напряжения, а X — напряжения.

Условие пластичности примет вид
т^ '[fr-' Si	t *°5а - ?)<•■■Us/				я)2	+	4	-	4	(	J33,)2. +
+ ( 4		+	“ Г	Г г ) ( ° 33~	°п) +	І	2 +	І	3 +	І = 1	(l-2 0 a )
' Gs.			Gf.	as-		7 12		7 23		7 31

2. Представим, что F имеет размерность квадрата напряже ния. Тогда /Cijem суть величины безразмерные, а %должна иметь размерность, обратную напряжению.

Этот путь и использован в теории пластичности изотропных сред. Оставляя такой подход для теории пластичности анизо тропных тел, получим аналогичную запись основных соотноше ний (табл.2).

Таблица 2

изотропное тело	анизотропное тело
	условие пластичности

—	tjaem		= КIftmG цвет
Уравнения связи между напряжениями и деформациями
®і/ “	^//еш ^em	r‘eij	'^ijemaem
	интенсивность деформаций
8t ^ijem ®// ееш		sl	^//em zij ®em

Здесь ( Ьцет } и (5 г;гт)—материальные тензоры изотропной среды,

у которых	ЬШІ = \, buj j = ---- 2~ ,	— -4- .	=	Biiee =
2	4
= — g -,	В и и = -g-, а остальные компоненты равны нулю.

Фактически получены общие выражения теории пластичности как изотропных, так и анизотропных тел вследствие того, что тен зоры {5г;ет} и [Врет] являются частными видами аналогичных

тензоров \Kliem], \Aijem] ■■

■ Для установления технических констант анизотропии вос пользуемся уравнениями связи между напряжениями и дефор мациями, из которых определим так называемые «деформаци онные» показатели. С этой целью последовательно рассмотрим линейное растяжение во всех главных, направлениях симметрии материала. При этом получим

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ