Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Чесноков А.Д. Сборник задач по квантовой механике и статистической физике учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

2.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

1.9.2. Рассмотреть расщепление п = 3 квантового уровня атома водорода, который находится в электрическом поле с

напряженностью е, направленном но оси г.

1.9.3. Линейный гармонический осциллятор подвергается воздействию однородного электрического поля, рассматривае мого как возмущение и изменяющегося во времени по за кону

где	А — постоянная. Считая, что до	включения	поля (т. е.
при	t = — оо) осциллятор находится	в основном	состоянии,

вычислить в первом приближении вероятность его возбужде

ния в результате действия				указанного		возмущения,			т. е. при
і —*- оо.
1.9.4. Н а	линейный		гармонический			осциллятор,			находя
щийся в основном состоянии, в -некоторый							момент		времени
накладывается		однородное			и в дальнейшем		постоянное во
времени электрическое			поле.		Найти вероятность			возбуждения
п-то уровня	осциллятора			в	результате	такого		внезапного
включения поля. '
1.9.5. Плоский ротатор с моментом инерции / и электри
ческим дилольным! моментомі					d помещен в однородное элек
трическое поле		е, л е ж а щ е е		в плоскости		вращения .		Р а с с м а т р и -

вая є ка к возмущение, вычислить первые неисчезающие по правки к уровням энергии ротатора .

1.9.6. Используя теорию возмущений, с точностью до ве личин порядка й 2 найти энергию ангармонического осцилля тора, гамильтониан которого равен

	И =		+1	2	—	+1 V,
			2 т 0	2		'
где V = ах3 + fU 4 , а		постоянные а			и	р являются		классиче
скими величинами.
	§	10. Спин		электрона
1.10.1. Найти	явный		вид матриц		П а у л я ох,		ау	и az в	az-
представлении,*	т. е. в		таком	представлении,			в	котором	ог
диагональна .

1.10.2. Найти собственные значения операторов проекции

спина электрона s x ,	sy, sz и	их собственные функции		в sz-
лредставлении.
1.10.3. Вычислить	квадрат	скалярного	произведения	обыч-
		-у
ного неоператорного	вектора	а и вектора	спина электрона.

1.10.4.Вычислить значения скалярного произведения двух векторов спина 1/2 в триплетномі и синглетном состояниях си стемы из этих двух спинов.

1.10.5.Написать в 5г - представлении оператор проекции электронного спина на ось z', составляющую угол а с осью г.

1.10.6. Д а н а

система двух слабо

взаимодействующих

спи

нов

Si = s2 = й/2.

Найти

собственные

значения

соответ

ствующие

имі собственные

функции суммарного

спина

s =

= Si + s2

и выяснить

характер симметрии

этих

спиновых

функций.

1.10.7. Д л я системы

двух слабо

взаимодействующих

спи

нов

«і = s2

— h

найти

собственные

значения

и соответствую

щие

им собственные функции операторов суммарного

спина

s2 =

(si +

s2)2

и sz

s l z +

s 2 z . Выяснить

характер

симметрии

этих

спиновых

функций.

1.10.8.

Показать,

что в нерелятивистской

квантовой

меха

нике

так же , как и

классической

теории,

эффект

З е е м а н а

обусловлен прецессионным движением	орбиты в міагнитном
поле с частотой, равной частоте Л а р м о	р а .

1.10.9. Показать, что в однородном магнитном поле, пере менном лишь во времени, волновая функция уравнения Пау ли распадается на произведение координатной и спиновой функций. Какой вид приміет это решение, если поле не будет зависеть от времени?

1.10.10.Найти собственные значения оператора проекции • спинового момента на направление, характеризуемое сфери ческими углами 6 и ф.

1.10.11.Спин электрона направлен параллельно оси г.

Найти вероятность того, что проекция спина на направление, составляющее с осью z угол 0, будет иметь значения й/2;

—Й/2.

1.10.12.Найти величину расщепления терма ]D2 в магнит ном поле в 20000 гаусс.

1.10.13. Н а сколько компонент расщепится	в опыте	Штер
на и Герлаха пучок атомов, находящихся в	состоянии	2 £>=/ а ?

1.10.14. Схема расщепления уровней главной серии натрия


приведена	на рис. 6. Д л и н ы		волн		дуплета,		возникающего в
результате	перехода 3/7->-3s,			равны		5895,93 А,			5889,96 А.
П о л ь з у я с ь	схемой расщепления			уровней в			магнитном			поле
(рис.. 6) и	формулой	AG)/(DZ =	m.j =		± ' / 2 , ± 3		/ 2 , • • •,		найти ве
в-о	6*0	личину		индукции			магнитного			поля,
		при	которой			нижний		'подуровень
		терма 2 Р 3 у 2			сольется с верхним					под
	ч	уровнем		терма		2Pi/2-
		1.10.15. П о к а з а т ь ,						что	в	двух

рядных матрицах матрицы АВ и

<ВА имеют одинаковые собственные значения.

Рис. 6. Схема расщепле ния уровней главной се рии натрия

1.10.16. М о ж е т ли быть унитар ная матрица одновременно эрмито вой?

§	11. Задачи	многих тел
1.11.1. Д о к а з а т ь ,	что полный	импульс		системы		частиц
Р= S Я Л =	- »Й S V*	(где k =		1,	2, . . . ,	N)
	k -1
взаимодействующих	м е ж д у собой,		в отсутствие внешних				сил
сохраняется .
1.11.2. Д о к а з а т ь ,	что изменение		момента		импульса в		еди

ницу времени равно моменту внешних сил, действующих на

систему.	П о к а з а т ь ,		что если		момент
внешних	сил равен		нулю, то полный
момент	импульса		системы		сохра
няется.
1.11.3.	Найти		явный	вид		инте
г р а л а перекрывания волновых функ
ций 5, кулоновского К и				обменного			Рис. 7. Условное обозна
А интегралов		молекулы		водорода.
Условное	обозначение			расстояний			чение расстояний между
							электронами		/	и 2 и
м е ж д у электронами 1 и 2 я					я д р а м и		ядрами С и В в молеку
С и В в молекуле			водорода		приве		ле	водорода
дено на рис . 7.
Указание.		Вычисление		S, К		и А проводить		путем		перехода
к эллиптическим координатам						ц —		r e - r	b t	, т (<р -
								Я ~

угол	поворота вокруг		прямой, соединяющей оба я д р а ) . Эле
мент	объема в этих	координатах		имеет вид
	dx	—	(^а _	v 2 \ ^	^ v	^
Интегрирование		должн о проводиться				в пределах:
	l < f x < o o ,		— 1 < V < 1 ,		0 < < р < 2 т с .

При вычислении пользоваться значениями интегралов:

J V ^ - P v rfv = ( _ ї у н і ц , ( - p) - A , ( p ) ,

где p = R/a0; a0 = h2/m0e2 — атомная единица длины.

§12. Квантовая теория магнетизма

1.12.1.Волновая функция атома водорода в основном со

стоянии (Is )	имеет вид	ty(r) = (na03)~ll,e—\'\'a>,	где a 0 =
= 0,52910~8	см. Плотность	з а р я д а p{x, у, z)	= e \|if\| 2 , со

гласно статистической интерпретации волновой функции. По казать, что в указанном состоянии (Is ) г2 = З а 0 2 . Вычислить молярную диамагнитную восприимчивость атомарного водо

рода (—2,36- Ю - 6

с м 3 / м о л ь ) .

1.12.2.

Кубический

кристалл

намагничен

направлении

(Xi, а2,

а 3

до насыщения

Ms. П о к а з а т ь

а)

как зависит

его энергия от направления

а,;

б)

ка к меняются при намагничивании

размеры кристалла

1.12.3.

, Рз

(міагнитострикция).

в направлении р\,

Кт,

Вычислить

коэффициенты

магнитострикции

/.по. Am . Выразить

Я»,,.,,», и

Ы/l через

Хт,

к т

кш-

—>

1.12.4. Найти магнитное

поле

Н, при котором

наблюдают

ся парамагнитный электронный, ядерный и циклотронный резонансы дл я заданной д л и н ы ' в о л л ы .

1.12.5. Рассмотреть предельный случай циклотронного ре зонанса .

§13. Основы квантовой теории твердых тел

1.13.1.Вычислить энергию электрона, используя резонанс

ные интегралы С и Апо в решетках: простой кубической, объемоцентрированной кубической, гранецентрированной куби

ческой. Резонансные интегралы имеют следующий вид:

	j f0	(7) [ V(7)		- U (г)] % (г) Л		=	-	С <	0;
	j ? 0	Й [УЙ		- U(Pn0)} %(9п0)		&	=	- Л „ 0 ,
где	тро — волновая		функция электрона			в	изолированном			ато
ме;	V(r)—самосогласованный				периодический				'потенциал;
£ / ( г ) — с ф е р и ч е с к и			симметричное поле			изолированного				иона
										->
(металл) или		нейтрального			атома	(полупроводник);				р„ =
=	(г — а я ) ; п0	— узел		решетки.
	1.13.2. Определить			энергию	е электрона в центре бриллю -

эновской золы (минимальное значение) и максимальное зна чение на краях зоны, ширину зоны. Вычисления проделать на

примере сильно связанных электронов в простой			кубической
решетке; є отсчитывать от	уровня єо — С,	где єо — энергия
р а с с м а т р и в а е м о г о состояния	электрона в	ионе	(атоме) .

Определить среднюю квантовомеханическую скорость элек тронов и ее значения у нижнего и верхнего края зоны.

1.13.3. Построить волновую функцию р-состояния элек трона в кристалле с простой кубической решеткой в прибли жении сильной связи дл я изолированного атома (иона) .

Ч А С Т Ь IF

ЗА Д А ЧИ ПО Т Е Р М О Д И Н А М И К Е И СТАТИСТИЧЕСКОЙ

ФИ З И К Е

§ 1. Элементы теории вероятности. Примеры законов распределения случайных величин

2.1.1. Д о к а з а т ь		теорему о	среднем	произведения		и сум
мы двух .независимых случайных величин х и у.
2.1.2.	П о к а з а т ь ,	что (А — А) (В — В)		^АВ	— АВ.
2.1.3.					а*
2.1.3.	Показать,	что закон	Пуассона	в	виде	где
а — некоторая постоянная,			удовлетворяет		условию	норми
ровки.

2.1.4.Найти среднее значение случайной величины, под чиняющейся распределению Пуассона .

2.1.5.Найти значение х и х2 при равномерном распреде лении величины х между х = а и х = Ь.

2.1.6.Найти дисперсию Ад:2 при равномерном распределе

нии величины х	в интервале	от а д о 6.		_	_
2.1.7. Найти	постоянную	нормировки,		х,	х2, Ах	и диспер
сию Ах 2 д л я	экспоненциального		распределения			const е~ а х ,
( 0 < х < о о ) .
•2.1.8. Найти	постоянную	нормировки,		х,	х2, Ах2,	флуктуа
цию и относительную флуктуацию для гауссового						распреде
ления const е - " * 2 .
2.1.9. Получить в ы р а ж е н и е дл я			вероятности нахождения

гармонически колеблющейся точки в интервале dx на линии колебания между крайними значениями +А и — А .

§2. Элементарная кинетическая теория газов

2.2.1.В сосуде объемом V содержится N молекул газа.

Пусть п—число

молекул в части сосуда, имеющей объем* v.

Считая, что в состоянии теплового равновесия вероятность обнаружения определенной молекулы в объеме v равна v/V,

а) найти распределение вероятностей f(n) для числа п;

б)	вычислить п и (п — /г)2 ;
в)	показать,	пользуясь		формулой Стирлинга
	Г (л 4- \) =				п\~п+~Ге~пУ2к
	(In п ! ~ п In п — п+				. . . при п > 1),
что если Nun		достаточно		велики, то распределение прибли
женно	является	гауссовым;			v/V —vO и	V - > o o при N/V—
г)	показать,	что в	пределе
= const распределение			f(n)	приближается		к распределению
Пуассона:

/( я ) = * - " ( « ) " - т г -

2.2.2.Пусть в идеальном газе имеется некоторый элемент поверхности. Предположив, что благодаря проникновению мо

лекул газа через этот элемент поверхности происходит пере нос иміпульса, найти формулу для определения давления, ко торое оказывают обе стороны поверхности друг на друга .

Предполагать, что молекулы газа имеют

максвелловское

распределение скоростей.

2.2.3. Р а з р е ж е н н ы й

газ находится в сосуде

объемом

V при

давлении р.

Предполагая, что

мюлекулы

газа

имеют

макс

велловское

распределение

скоростей,

вычислить

скорость

проникновения газа в вакуум из небольшого

(площадью

А)

отверстия в сосуде. Приняв

стенку с отверстием

за

плоскость

у, —z,

найти распределение

молекул

газа,

вылетающих

из

отверстия, по скоростям в х-направлении.

2.2.4. Найти число N молекул азота,

сталкивающихся

площадкой

в 1 с м 2

за

1 сек при нормальных

условиях, при

нимая міаксвелловское распределение скоростей.

2.2.5. Определить

среднюю

скорость

молекул

водорода,

азота и кислорода при 273К-

2.2.6. П р е д п о л а г а я

максвелловское

распределение

скоро

стей молекул газа, вычислить среднюю v, среднюю

квадра

тичную

V.v'1

и наивероятнейшую

скорости.

П о к а з а т ь , что

м е ж д у

ними

имеет место следующее

соотношение:

vH:v:V~W=

1 : 1,13:1,22.

2.2.7.	Найти	часть		молекул,	имеющих		модуль		скорости
меньше	средней	v.	Пр и решении		пользоваться				значением
интеграла ошибок:
			2
2.2.8. Найти		часть		молекул,	скорость		которых		больше
наивероятнейшей скорости.
2.2.9.	К а к а я	часть		молекул имеет		модуль		скорости, л е ж а
щей между v = vJ2			и и = 2v„?
2.'2.10. К а к а я		часть		молекул	газа	имеет		кинетическую

энергию поступательного движения выше средней кинетиче ской энергии 3/2 /г7"?

2.2.11. Оценить, какая часть молекул водорода при темпе ратуре 300К обладает скоростями, л е ж а щ и м и в интервале от 1800 до 1810 м/сек.

2.2.12.Найти, какая часть молекул азота при 273К обла дает скоростями в интервале от 250 д о 255 мі/сек.

2.2.13.П р е д п о л а г а я максвелловское распределение скоро стей молекул газа, вычислить среднее значение проекции скорости, среднее значение квадрата проекции скорости,


средний квадрат флуктуации (Avx)2						проекции		скорости дл я
выбранного направления /.
2.2.14.	Сравнить		число	молекул		кислорода		0 2	при 27°С,
имеющих	проекцию		скорости vt		от	500 до	501 м/сек, и мо
дуль скорости v		от>500 до 501.
. 2.2.15. Найти среднюю энергию,						средний	квадрат энергии,
средний квадрат флуктуации кинетической энергии									атома.
2.2.16. Найти		распределение			вероятностей			дл я	кинетиче
ской энергии атома.
2.2.17.	Вывести		теорему	вириала		дл я макроскопического

тела, у которого потенциальная энергия взаимодействия ча

стиц есть	однородная функция n-го порядка от их координат.
	§ 3. Статистическое распределение
2.3.1.	Построить	фазовую	траекторию	д л я частицы,	дви
ж у щ е й с я	по инерции.
2.3.2.	Построить	фазовую	траекторию	д л я свободно	па
д а ю щ е й	частицы.

2.3.3.

Точечная

масса т движется

в интервале

O ^ x ^ / и

о т р а ж а е т с я от стенок при х = 0 и х = /:

а)

изобразить

траекторию

точечной міассьі

ф а з о з о м

пространстве

х, —р;

Г0(Е),

б)

найти

объем

фазового

пространства

соответ

ствующий энергии,

меньшей

Е;

в)

показать, что значение

Г0(Е)

остается

постоянным при

. медленном,

движении стенки

х =

(адиабатическая

инва

риантность) .

2.3.4.

Какой вид имеет поверхность постоянной энергии на

фазовой

плоскости

дл я одномерного

осциллятора

часто

той v? Найти объем фазового

пространства

Г0(Е),

соответ

ствующий энергии,

меньшей

Е.

2.3.5.Подтвердить теорему Лиувилля для материальной точки, движущейся по инерции.

2.3.6.Идеальный газ, состоящий из N точечных молекул,


заключен	в сосуд объемом V. Найти				число	состояний (фазо
вый интеграл)		Qo( £ ) в классическом			случае	и, пользуясь	им,
получить	уравнение		состояния.
Указание.		Объем	Сп	единичной	сферы	в n-мерном	про
странстве	равен \| Г ( „ * 2 +			1 ) ] •

2.3.7. Имеется идеальный газ, состоящий из N одноатом ных молекул, и система из N осцилляторов. П р е д п о л а г а я ка ноническое распределение этих систем при температуре Т, найти наиболее вероятное значение £ * полной энергии Е рас сматриваемых систем и показать, что полученное в ы р а ж е н и е согласуется со средним значением Е в каноническом распре делении.

2.3.8. Показать, что статистическая сумма большого кано нического ансамбля классического идеального газа из одно атомных молекул имеет вид е1*. Какой смысл имеют величи ны X и /?

2.3.9. Показать, что для идеального газа вне зависимости

				2	Е
от статистики справедливо соотношение р =						где ЕК11Н—
его полная кинетическая энергия.
Указание.		Воспользоваться соотношением! р =				(dE/dV)s.
2.3.10. Д о к а з а т ь д л я идеального газа				следующие соотно
шения	большого канонического		распределения:
а )	(N-N)*	= kT±N;
б)	в классической статистике		(N — N)2	=	N.

§ 4. Статистическая и феноменологическая термодинамика

2.4.1. Пусть рассматриваемая система помещена в сосуд с теплонепроницаемыми стенками и закрыта сверху подвиж ным поршнем, на котором помещен груз весом W. П о л а г а я , что вся система, включая груз, является изолированной, вы

вести,

пользуясь

микроканоническим ансамблем, соотношение

Р =

—

• Применить

эту

формулу

к идеальному

одно

атомному

газу

и доказать

уравнение состояния

р =

3/2 (E/V) .

2.4.2.

Система

состоит

из

осцилляторов,

частота

коле

баний

которых

равна

Р а с с м а т р и в а я

эту систему

класси

чески,

необходимо:

а)

найти

число

состояний

системы:

б)

используя

полученный результат,

вывести

соотношение

между

энергией

и температурой

системы.

2.4.3. Вычислить классически статистическую сумму осциллятора с массой т и угловой частотой со. Найти темпе ратурную зависимость внутренней энергии, энтролии и тепло емкость системы, состоящей из N таких осцилляторов.

2.4.4. Рассмотрим	идеальный	газ, состоящий из	N ча
стиц, подчиняющихся	классической статистике. Пусть		энер
гия частицы є пропорциональна		импульсу р, г — ср.	Найти

термодинамические функции такого идеального газа, не учи тывая внутренней структуры частиц.

2.4.5. Найти работу, производимую					на д идеальным			газом,
при изотермическом изменении объема от V\ до V2 или дав
ления от Pi до Р 2 .
2.4.6. Д в а	одинаковых		идеальных		газа	с одинаковыми
температурами	Т и числами частиц N,				но с разными			давле
ниями Pi и Р 2	находятся в двух сосудах. Сосуды						соединяют.
Определить изменение энтропии.
2.4.7. Найти	энергию	идеального		газа, который			находится
в цилиндрическом сосуде		с радиусом		R и длиной			/, в р а щ а ю
щемся вокруг	своей оси с угловой скоростью					(о. Учесть цен
тробежную силу.
2.4.8. Д в а	одинаковых		идеальных		газа	с одинаковыми
давлениями и числомі частиц			N, но с разными			температурами
Ті и Т2 находятся в сосудах с объемами					V] и W З а т е м			сосуды
соединяют. Найти изменение энтролии.
2.4.9. Найти	работу, производимую				над идеальным			газом

при адиабатическом сжатии.

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ