книги из ГПНТБ / Филиппов Б.В. Аэродинамика тел в верхних слоях атмосферы
.pdfрис.6 приведены графики плотностей зарядов, рассчитанные для
того же |
примера. |
Из |
опыта отладки программ и результатов численного |
расчета |
следует: |
1 . В ряде условий метод последовательных приближений приводит к потенциалу, являющемуся монотонной функцией расстояния. Есть основания думать, что немонотонные потен циалы могут появиться при наличии отражения или дополнитель ных источников электронов на поверхности.
2. Для больших тел область возмущения можно разделять на относительно тонкий пограничный слой и область квазинейтральности.
3. Пограничный слой характеризуется бодыими градиента-
Зак.352.
- 82 -
ни потенциала, что подтверждает принятое в § I настоящей главы предположение. Характерный размер пограничного олоя
аЯО радиусов Дебая в невозиущенной области.
ч. Предложенная методика пригодна для решения сферичес ки симметричных задач в широком диапазоне условий.
§ 5. Методика расчета сопротивления сферы при малых скоростях
Методика расчета параметров плазмы для сферически оинметричных задач, разработанная в предыдущих двух параграфах, может быть использована при приближенном раочете аэродинамики сферы в плазме при малых скоростях движения. Подобная задача представляет практический интерес при исследовании движения высотные ракет и опутников на сильно вытянутых эллиптических орбитах вблизи точки апогея. Общая постановка задачи здесь аналогична постановке задачи в § I настоящей главы. Имея в ви ду, что ревениа ее при малых скоростях V будет близко к сфе рически-симметричному, естественно записать уравнения Влаоова в сферической системе координат. Ниже выписана постановка ве следуемой задачи
дг)
(95)
- 83 -
|
|
д ф = - 4 х г р ; |
|
|
(96) |
||
|
|
<? = £ e t |
J / t <*v; |
|
|
(97) |
|
|
|
t |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(98) |
|
|
|
|
|
|
|
(99) |
ira>0 |
u T ( u n < 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф | |
- * 0 |
; |
|
|
(ioo) |
|
|
Ф(ЯДч>) = Ф |
о . |
|
|
(101) |
|
Здесь |
Ф |
- электростатический |
потенциал; |
R - |
радиус |
||
сферы; остальные |
обозначения |
имеют тот |
же смысл, |
что |
и в фор |
||
мулах (54) - (60). Задача о движении сферы в разреженной плазме с малой скоростью рассматривалась ранее [ 4 2 ] . Однако разработанная там методика решения пригодна только в том слу
чае, когда для |
предельной |
задачи |
при |
V = 0 |
Ф 0 = |
0. Ре |
|
зультаты § 3,4 |
настоящей |
главы |
позволяют |
снять |
это |
сущест |
|
венное ограничение. |
|
|
|
|
|
|
|
Будем искать решение |
системы (95) |
- |
(101) |
в виде |
|||
ф = ф«»(г) + ф т ( г ) , |
(108) |
|
|
|
|
|
- |
84 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
, f( 0 \ |
|
Ф ( 0 ' |
- речения сферически симметричной зада |
|||||||||
чи с |
граничными |
условиями |
|
(98) |
- (101) |
при |
V |
= 0, |
/ ^ « / ( 0 | |
|||||
фС> |
« |
ф1°) > |
|
Подставляя |
выражения |
(102), |
(103) в формулу |
|||||||
(95) |
и проводя линеаризацию относительно . / С 1 ) |
и |
Ф ' Ч |
|||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Uf, |
|
"г |
• |
• |
— + |
|
|
~ • |
~г |
I |
|
|
|
|
|
дг |
|
г |
|
dv |
rslnv |
d(f |
V |
г |
|
|
|
||
т |
|
дг |
I |
|
dvr |
V |
|
г |
г |
|
) |
дщ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(104) |
Здесь |
мы использовали |
тот |
факт, что |
/ ( |
0 ) |
находится |
по ме |
|||||||
тодике |
§ 3,4 |
|
я удовлетворяет |
уравнению |
(95) |
оо |
с^еричеоки |
|||||||
симметричными условиями на |
бесконечности |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(105) |
Для поглощающей сферы граничные условия для функции распределения можно переписать в виде
|
I |
= 0. |
|
(107) |
Основная задача состоит в отыскании |
решения уравнения |
|||
(104) при граничных условиях |
(106), (107) |
. Воспользуемся кон |
||
кретным видом функций |
д(°) |
(си.формулу |
(81) настоящей главы). |
|
Тогда уравнение (104) |
можно переписать в |
|
виде |
|
|
|
|
|
|
- |
85 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
- = - - ^ l v r — — |
+ |
- ± . - — \ , |
|
|
(108) |
|
||||||||
где |
d / d L ^ |
|
- полная производная |
по траектории |
в |
по |
|||||||||
ле |
Ф с о ) |
. Так |
как |
/ i ( 0 |
^ |
постоянна |
вдоль |
траектории |
в |
||||||
поле |
Ф С о ' |
, |
то |
решение |
уравнения |
(108) |
для |
граничных |
ус |
||||||
ловий |
(106), |
(107) |
можно зависать в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|||||
ff\r,vr) |
= |
#0 , (г,1ж) Г гхр (- |
|
е |
х |
р р |
^ |
^ ) |
- |
|
|||||
|
|
|
|
|
е г Ф ( < ) ( г , » ) |
|
|
|
|
|
(109) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для |
окончательного |
построения |
зависимости |
|
|
|
от |
|||||||
Ф ^ |
необходимо |
найти |
« " ^ ( г , ^ |
|
в |
поле |
|
Ф ( 0 ) . В |
|||||||
действительности, как видно |
из |
выражения |
(109), |
достаточно |
|||||||||||
найти |
скалярное |
произведение |
. В работе [42J |
для |
него |
||||||||||
получено следующее выражение через основные интегралы движе ния:
|
V o o ' V |
= VV1HcosJ> cos*+ elnjsinftsuup), |
(И0) |
|
где fl = |
Z . ( f , - V ) ; |
|
|
|
|
£ = |
T ^ + |
v ^ + V ) + e ф № |
( Ш ) |
- энергия |
частицы в поле |
Ф^ 0 ) |
|
|
а.
|
- |
86 - |
|
|
|
d |
r |
|
|
* |
(112) |
« * = |
та,хг*(»£ |
+ |
i r * ) |
(113) |
|
- квадрат момента количества движения. |
|
||||
Подставляя формулу |
(110) |
в |
выражение (109), |
получаем |
|
х (cos р cos* + siu£ smftstttif) Ь_ 1 I (114)
При К-»-О
е,ФС1>
так как искажение потенциала, возникшее вследствие движения,
стремится к нулю. Область ненулевого |
значения |
ftm |
совпада |
ет с областью ненулевого значения |
/ / 0 > . Так |
как |
нас инте |
ресуют аэродинамические характеристики, определяемые в ос новном ионной компонентой, рассмотрим методику их вычисле
ния через |
/ „ ' |
. Как будет |
видно |
из |
дальнейшего, для |
|
определения |
искоммх характеристик |
достаточно |
знания |
f§\ |
||
поля |
и граничного значения |
Ф й ' . |
|
|
|
|
Рассмотрим случай |
большой сферы |
R » |
D .В этом |
слу |
||
чае влиянием пролетающих ионов на аэродинамические характе ристики можно пренебречь. Средний импульс, передаваемый иона ми, попадающими после столкновения на площадку поверхности в
окрестности |
точки с радиус-вектором r s , можно, как и ранее, |
представить |
в виде |
p o = m j fu Cr?»v) к J f ( t i , v ) u du. - v l dv;
Функция |
fjf1 |
на поверхности металлического |
тела |
|
|||
должна учитывать, как и ранее, потенциал |
поляризации |
\ . |
|||||
Вследствие очень малого |
радиуса действия |
сил поляризации |
|
||||
( ~ 10~5ом) |
можно считать^ что они направлены по радиусу |
|
|||||
сферы. Поэтому их учет |
сводится |
к |
замене |
потенциала |
Ф*9 |
|
|
в выражении (Н4) и ыи (т*5 1 |
на |
Ф1 0 ^-%. Вектор |
Р0 |
х а |
|||
рактеризует средний |
локальный импульс, передаваемый |
нейтра |
|||
лизовавшимися ионами |
за |
счет |
столкновений, |
вектор |
Р1 - им |
пульс, передаваемый |
за |
счет |
взаимодействия |
с электрическим |
|
полем ионов, попадающих на рассматриваемую площадку. При пе
реходе к безразмерным единицам вследствие малой скорости |
те |
|||||
ла удобнее |
относить поток импульса к |
щкТ |
. В сферичес |
|||
кой |
сиотеме |
координат о локальным |
базисом ( |
г*°,й°, <е° |
) |
|
для |
безразмерных потоков импульса |
получай |
|
|
||
2 1 " ( ш * * |
* ; |
( П 6 > |
- 88 -
ZkT |
sincp J U K |
s' |
dv>; |
(II7) |
1 |
n |
|
|
|
ui(rs) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(118) |
Здеоь
p = P / n 0 n ; p = - t ( * ) * 0 - p ( * ) r 0 ;
p(*)=PoW - p ' w ; |
* w = « o w |
- |
; |
|
pj» = W |
Г - j |
f («,u) ^ d u |
4 -2-1 ; |
|
|
L (un>0) |
|
J |
|
Ф - угол между |
координатной плоскостью, |
параллельной VjS |
||
локальном бааисе |
и проекцией вектора скорости на координатную |
|
плоскость, перпендикулярную |
г ° , конпоненты |
|
- |
значения радиальной |
и касательной составляю |
щих вектора скорости вне области возмущения, третья составляю щая не рассматривается, так как ее среднее значение равно нулю.
Для |
Pf(0) |
и |
т 6 в д |
будем использовать ранее предложен |
|||||||
ное представление |
(см.формулы |
(7?) и |
(78)). |
Из формул |
(115) - |
||||||
(118), |
(114) |
и ( I I I ) - |
(ИЗ) |
видно, |
что удобно функцию распре |
||||||
деления |
записать в |
пространстве |
е |
, |
Мг |
, |
ц> |
, |
|||
Из вида |
преобразований |
( I I I ) |
- (113) |
с |
учетом выражения |
(105) |
|||||
следует, что полная функция распределения |
/ м ( 0 1 |
+ / и Л ) |
в |
новой |
|||||||
системе |
переменных |
может быть записана |
в виде |
|
|
|
|||||
- 89 -
/ H ( e , « , V , r ) = < |
еФ 'У . А) |
|
|
(И9) |
||
|
|
|
|
( e , W ^ ) e f i ( r ) ; . |
||
|
|
Vo |
|
|
|
|
В представлении (H9) |
учтен |
и якобиан преобразования |
элемента |
|||
скоростного объема, так что |
оно определено в пространстве |
|||||
(е ,М\ |
Ц1 ) . |
Область |
й(т») |
строится по тому хе |
алгоритму, |
|
что и |
сОиСг) |
с учетом |
соотношений ( I I I ) - ( И З ) . |
На |
основании |
|
ранее полученных результатов можно предложить упрощенную мето
дику |
построения |
£ |
, что существенно сокращает время вычисле |
||||
ний |
аэродинамических |
характеристик. Область |
й $ г < е > о |
мож |
|||
но разбить на |
две: |
|
|
|
|
||
|
а ) г о о <; |
т~ < |
о° |
, где поведение |
потенциала |
описы |
|
вается достаточно простым аналитическим законом |
|
||||||
|
|
|
е Ф ( 0 ) = - с ( / г * - . |
|
|
||
|
б) R $ |
г |
$ |
г |
|
|
|
Рассмотрим эффективную потенциальную энергию
- 90 -
В зависимости |
oi |
величины |
Мх |
реализуются два одучая: |
||||
I ) Мх-1т |
|
сЛ > 0, |
|
Ц>ф<р |
будет |
иметь макоимум |
при |
|
re\R,r^i |
2) |
M l - |
Zmo<<0, |
1У,фф монотонна. В первом |
||||
случае тела достигнут |
лииь частицы, |
у |
которых энергия боль |
|||||
ше максимума |
Уэфф |
. Окончательно |
ffi= Л . , + Й а , |
где |
||||
|
|
Im^cL |
^ М 1 < с о , |
|
|
|
||
а 4 |
: |
•( |
^ ( М * ) < б < о о , |
|
||||
Оц> ^ 2.x ;
Произведенное разбиение области [Л,оо) позволяет упростить и вычисление J>:
r a V а т „ [ б - е < р ( г ) ] - « * / г г '
где
1 J г Ч am M [e + e « p ( r ) ] - M V a