книги из ГПНТБ / Тихомиров В.И. Линейное программирование в организации и планировании путевого хозяйства конспект лекций для студентов специальности Стр-во ж. д., путь и путевое хоз-во учеб. пособие

обозначающие неиспользуемую для перевозок часть запасов.

Сумма этих дополнительных переменных должна быть рав­ на разнице между общим запасом и общей потребностью:

Таким образом, в данном случае в открытую транспорт­ ную задачу как бы включается условный потребитель (полу­ чатель), которому в качестве спроса приписывается разница между наличием груза и фактической потребностью в нем.

Как и в общей задаче линейного программирования, до­ полнительные переменные входят в целевую функцию с нуле­ выми коэффициентами.

.Модель открытой транспортной задачи с включением ус­ ловного потребителя представлена в табл. 32.

ность

■ 60

При введении условного получателя открытая модель пре­ образуется в закрытую и решается как обычная транспортная задача.

Открытая транспортная модель чаще всего используется при определении наиболее .рационального размещения произ­ водственных предприятий (щебеночных, щпалопропиточных заводов, производственных механизированных баз и т. д.).

Порядок решения транспортных и сводящихся к ним задач аналогичен порядку решения симплекс-методом:

1) составляется исходная матрица перевозок;

2 ) отыскивается опорный план;

3) полученный опорный план проверяется на оптималь­ ность и в случае неоптимальности цикл повторяется.

§ 2. Методы нахождения опорного плана

Диагональный или метод северо-западного угла

Одним из первых в литературе был описан метод северозападного утла, который дает возможность построить началь­ ный план. Поясним его на примере (табл. 33).

Назначение поставок (корреспонденций) начинают с клетки 1.1 (первая цифра означает строку, вторая-—столбец).

Размер их определяется минимальной величиной отправле­ ния (первая строка) или прибытия (первый столбец). В дан­ ном случае первый столбец (9< 10). Затем остаток отправле­ ния первой строки сравнивают с величиной прибытия второго столбца; наименьшую величину 1 помещают в клетку 1 .2 .

Отправление первой строки исчерпано.

Переходим ко второй строке. Размер отправления второй строки сравниваем с остатком прибытия второго столбца. Наименьшую величину 15 помещаем в клетку 2.2. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будут удовлетворены все пункты потребления и не вывезен весь запас продукта из: пунктов отправления.

Итак, получен опорный план ш> методу северо-западного

При таком методе назначения постановки мы не обращаем внимания на их стоимость. Поэтому начальный план, постро­ енный методом северо-западного угла, обычно далек от опти­ мального.

Метод минимального элемента по столбцам (строкам)

Сущность данного метода поясним, используя данные пре­ дыдущего примера.

Рассматриваем первый столбец (строку). Отыскиваем ми­ нимальный показатель критерия оптимальности. В данном примере он находится в клетке 3.1. Сравниваем размер от­ правления с размером потребления. Меньшее из этих чисел (9) принимается в качестве размера соответствующей постановки. Первый столбец из рассмотрения исключается, так как по­ требитель полностью обеспечен продуктом.

Переходим к рассмотрению второго столбца. Отыскиваем в нем минимальный элемент. Он находится в клетке 2.2. Срав­

82

ниваем размер отправления с размером потребления. Мень­ ший из них (15) принимаем за поставку. Однако мы видим, что потребитель еще удовлетворен не полностью. Поэтому ищем в этом столбце следующий по величине минимальный элемент. Он находится в клетке 3.2. Сравниваем остаток по отправлению с размером неудовлетворенного спроса и мень­ ший из них (2) помещаем в систему 3.2. Подобным образом поступаем и в дальнейшем, просматривая оставшиеся столбцы.

Сравним стоимость перевозок по планам, рассчитанным методами северо-западного угла и минимального элемента столбца.

Zc3 = 32-9 + 28- 1+4- 15+12-1 + 1-22 + 22 + ■2 + 15 ■31 +25 • 9+

+ 6-5 + 24-6=1318 единиц стоимости.

ZMC= 5-9 + 4- 15+12-2 + 3-8+1 • 14+10-2+15-31+25-3 +

+ 6 -11 + 7- 6= 835 единиц стоимости.

Как видим, опорный план, рассчитанный по второму ме­ тоду, оказался лучшим.

А1етод наименьшей стоимости в матрице (табл. 35)

Воспользуемся данными табл. 33.

элемент. Он находится в клетке 3.3. В эту клетку помещаем максимально возможную перевозку — 22 единицы. Третий

столбец исключаем из рассмотрения. В оставшейся матрице опять находим минимальный элемент. Он находится в клет­ ке 2.4. В эту клетку помещаем максимум перевозки — 15 еди­ ниц. Вторую строку исключаем из рассмотрения. Процесс пов­ торяем до тех пор, пока не распределим весь объем перевозок.

Общая стоимость по данному плану получилась: 2ММ= = 905 единиц.

мечены двумя знаками— XX. В данном случае такими клет­ ками являются 3.3; 2.4; 4.6; 5.5. Помещаем в эти клетки мак­ симально возможную корреспонденцию. Остальные распреде­ ляем в клетках с одним знаком, а также в неотмеченных с воз­ можно меньшей стоимостью, соблюдая при этом баланс от­ правления и прибытия.

Суммарная стоимость перевозок по этому плану составляет 2Дп = 905 единиц. Получилось совпадение со стоимостью пе­ ревозок по плану, построенному методом минимального эле­ мента матриц. Это случайное совпадение.

Сравнение методов построения опорного плана

При решении задач вручную можно выбрать любой из опи­ санных методов построения опорного плана. Однако следует отдать предпочтение методу наименьшей стоимости по столб­ цам (строкам). Этот метод прост и хорошо поддается авто­ матизации.

84

что им следовало. Однако, число занятых клеток равно 8 вместо 10. Следовательно, необходимо назначить две нулевые тщставки. Для выбора клеток'следует обратиться к записямсправа матрицы: третья строка вычеркивалась одновременно с первым столбцом, пятая строка — с пятым столбцом. Выбе­ рем столбец, где находится корреспонденция, назначенная в последнюю очередь, и найдем клетки пятой и третьей строк; или выберем строку последнего распределения и в ней найдем

Остановимся на первых двух наиболее эффективных методах.

Метод потенциалов

Метод потенциалов — первый точный метод решения транспортной задачи — был предложен в 1949 г. Л. В. Канто­ ровичем и М. К- Гавуриным.

Покажем нахождение оптимального плана методом потен­

86

Алгоритм решения задачи следующий:

1.По одному из известных методов находим опорный план ;{в данном случае по методу минимального элемента столбца).

2.Определяем потенциалы строи и столбцов.

ciJ-

Задача заключается в отыскивании такой системы потен­ циалов, при которой соблюдаются условия оптимальности плана:

при % > 0.

Для определения значения потенциалов столбца и строки составляем уравнение вида V] — ut = Сц для каждой занятой клетки

В этих десяти уравнениях содержится одиннадцать неиз­ вестных:

« 1 , * > 2 , V3t. V i, t ) 3 , U 6 , UU U2, a 3 , « 4 , « 5 -

Одну из них примем за нуль. Для того чтобы меньше было отрицательных потенциалов за нуль примем потенциалы чет­ вертой строки ц4 с большей стоимостью из всех . занятых клеток.

В связи с этим остальные потенциалы определятся так:

87

Соответствующие потенциалы проставлены Ь левой и верх­ ней части таблицы. Пользуясь значениями потенциалов строк

истолбцов, исследуем каждую свободную клетку матрицы.

3.Исследуем свободные клетки на оптимальность. При о тимальном плане должны соблюдаться условия

Vj — «, < C[j.

При несоблюдении данного условия план считается не оп­

5:3 У3—«5— ;8—19 = —11 < 29

5.4 у4—«5=15— 19 = — 4<26.

Проверка показала, что условие оптимальности нарушено в клетке 3.5 и поэтому план не Я'вляется оптимальным. Его можно улучшить, перераспределив поставки.

Перераспределение поставок производим с помощью так называемой цепи Шли замтсИутого -контура. К.о'нтур должен представлять собой прямоугольный многоугольник с четным

числом чйфйшн, ‘Йрйчем одна из нйх должна обязательно на­

88

дратом, а остальные кружками.

На рис. 14 представлен замкнутый контур, который был построен следующим образом: из клетки 3.5, где нарушены угловые оптимальности плана (см. табл. 39), мы провели пер­ вое звено контура, идущее вдоль третьей строки до занятой клетки 3.3 следующее звено построено между клетками 3.3 и 1.3. Третье звено построено между клетками 1.3 и 1.4, четвер­ тое между клетками 1.4 — 4.4, пятое — между клетками 4.4— 4.5 и, наконец, шестое—между клетками 4.5 и 3.5. При этом мы соблюдали условия, чтобы все вершины контура, кроме одной,, находились в занятых клетках, звенья располагались относительн'о друг друга под углом 90° и чтобы было четное число вершин.

+

Обход построенного контура начинаем с вершины, обозна­ ченной квадратом. В этой вершине ставим знак + , далее, сле­ дуя по направлению стрелок, в следующей вершине знак —г затем снова + и т. д. (знаки чередуются). У Каждой верши­ ны внизу ставим размер поставки.

Просматриваем вершины контура с отрицательными пока­ зателями. В нашем примере их три с размерами поставок

2,14 и 3.

Меньшую из них 2 отнимаем гот размеров поставок в от­ рицательных вершинах и прибавляем к размерам поставок в пМбжи'тельйкх ёе'ршинак, т. е. 0+2=ь2-, 14—2 —12, 8+ 2=10, 2—2= 0,31+2 = 33,3—2=1.

89