книги из ГПНТБ / Тихомиров В.И. Линейное программирование в организации и планировании путевого хозяйства конспект лекций для студентов специальности Стр-во ж. д., путь и путевое хоз-во учеб. пособие

Требуется составить такой план, при котором был бы вы­ полнен максимальный объем работы при имеющихся ограни­ ченных ресурсах.

Исходные данные для составления плана представлены в табл. 10.

ных первым, вторым, третьим и четвертым видами ремонтов обозначим соответственно через хь х2, х3, х4.

Система ограничений и целевая функция будут иметь вид:

1ЗОхj -р 130х2 -р5х3 -р0х4+ х 5 = 5200

2000х, + 1000х2 -р600х3 + 2000х4 + х@= 70000 2000Х) -р2000х2 + 450х3 -р200х4 -рх7 = 90000 35Х] + 35х 2-р2х3 + 0,5х 4-Р х8 = 1500

50Охр -р400х2 -рЗ50х3 -р300х4 -Р Xg = 110000 Х'1^ 0; х2> 0; х3 > 0; х4зг0.

Z=x'i + х2 + х'з+ хр-^-шах.

Переходим к симплексной таблице (табл. 11).

61

Итак, за две итерации получен оптимальный план: 350 км- подъемочного ремонта пути.

З а д а ч а 3

Эта задача о закреплении путевых машинных станций за' участкам» работ.

Допустим имеется я различных категорий ПМС, которые нужно закрепить за определенными участками.

Пусть годовой объем работ ПМС i-того типа на /'-том- участке равен atj км, а связанные с ним годовые затраты ПМС by руб. Определить число хи ПМС i-того типа, ко­ торое следует закрепить за /-том участком для обеспечения, ремонта этого участка в объеме а,;- км (г==1, . . . , «; / = 1,..., т) при минимальных годовых затратах, если известно, что имеет­ ся Nt ПМС i-того типа i= 1,..., п).

Так как объем работ на /-том участке равен

ау ху + . - ■o,njxnj (/ = 1, ... , т). а суммарные расходы состав­ ляют при этом

2 1 /2-1 W

то задача состоит в минимизации линейной формы

Задача решается симплексным методом с учетом целочис­ ленное™ Х у .

Положим, три категории ПМС следует распределить между четырьмя участками. В табл. 12 указаны количества ПМС каждой категории, годовой объем работ для каждой ПМС в: километрах капитального ремонта и соответствующие годовыезатр аты.

63,

соответственно не менее 300, 180, 350, 400 км пути. Обозначим через Хц число ПМС t-той категории (i = 1,2,3),

которое планируется закрепить за /-тым участком (/=1,2, 3,4). Тогда задача сводится к минимизации линейной формы:

Z, = 6 .v 1 1 -}- 10.v12 И- 8 х iз—}—15х] 4 -{-8 х2 1 -Т 7х22 4- 4х2з4-

4- бд'24 4- 6 х31 4-1 х з2 4- 4 .V33 4- 7л'з.|

при следующих ограничениях:

10 0 Х[4 4“ 50х24 4~ 40х34^ 4 0 0

Хц 4-Xi2 4-xI3 4-xI4 = 8

Х21 + х2 2 4-х2 3 4-х24= 1 0

х31 4- Х39 + Х33 4- Х34 = 6

ху > 0 ; ( i= l ,2, 3; /= 1 , 2, 3, 4)

Перепишем ограничения в таком виде:

у 1= 75хи 4“ 60х214- 50х31—300

Уч = 90х12 4- 60х22 4- 45х32— 180 Д-? 0

У з = 50х13 -f- 70х2з4- 35хзз—350 ^ 0

у4 = 1 ООх144- 50х24 -г 4 ОХ3.1—400 0 0 = —Х ц — Х [2—х 13— Хц-р 8

0= —x2i—х22—х2з—х24 4" 10

0 = — Х 31— Х 39— Х 33— х 344 - 6

v,7^ 0 ; (1=1, 2, 3; /= 1 , 2, 3, 4)

€ 4

В этой таблице есть еще отрицательные свободные члены. Это говорит о том, что опорный план еще не получен.

Делаем один шаг модифицированного Жорданова исклю­ чения с разрешающим элементом, находящимся в первом столб­ це и второй строке (—90). В результате получим новую таблицу (табл. 17).

Таблица 17

Вновь полученный план также не является опорным. Де­ лаем еще один шаг модифицированного Жорданова исключе­ ния с разрешающим элементом, находящимся в шестом столбце и четвертой строке. В результате придем к табл. 18.

66

I

Таблица 18

В данной таблице в последнем столбце нет отрицательных элементов, следовательно, получен опорный план.

Взаключительной строке все коэффициенты отрицатель­ ны, значит получен и оптимальный план.

Вданном плане две путевые '.машинные станции из первой группы закрепляются за вторым участком, шесть — за первым

участком (х12= 2 ; Л'ц= 6) .

Из второй группы 8 ПМС закрепляются за четвертым участком п 2—за третьим (л'24= 8; х23= 2). Остальные 6 ПМС

Эта задача о назначениях. Будем рассматривать задачу о распределении п машин (работников) ПМС на п работ, так чтобы каждая машина (работник), каждая ПМС выполняли одну и только одну работу и чтобы при заданной производи­ тельности каждого механизма (работника) ПМС на каждой из работ суммарный эффект был максимальным. Рассмотрим задачу о распределении п ПМС по п работам.

Обозначим через Сп (i, / = 1 ,.. ., п) производительность /-той ПМС на /-той работе.

Тогда рассматриваемая задача будет заключаться в та­ ком выборе п элементов из матрицы ||Ci;-|| по одному из каждой строки и каждого столбца, чтобы их сумма cljl + ctjt+

+ cnjn (/*=/= je при k = l) была максимальной.

Обозначив через х,- переменную, равную единице, если бтая ПМС назначена на /-тую работу, и равную нулю, если она на эту работу не назначена, мы сведем задачу к следую­ щей задаче линейного программирования:

67

означающих, что каждая ПМС выполняет одну работу и что каждая работа обеспечивается одной ПМС, найти такое решение, которое максимизирует линейную форму

Пусть на дороге имеется четыре путевые машинные стан­ ции: ПМС-1. ПМС-2, ПМС-3, ПМС-4.

Каждая ПМС может быть использована на каждом из че­ тырех видов работ:

К\ — капитальный ремонт пути на старом щебне и дере­

Требуется так распределить ПМС по одной на каждую из работ, чтобы суммарная производительность всех ПМС была максимальной.

На основании исходных данных суммарную производитель­ ность ПМС запишем в виде линейной формы

Z = 60* i 1-{-55л:j2+ 50л13Т 45*14+ 65*21 + 60*22Т

+ 75л'2з + 70л.'24+ 70*31 + 65*32 + 62*33 + 57* 3.i +

+ 50*41+ 45*42+ 55*43 + 52*44—>-гпах

68

Таблица 20

Т а б л и ц а 21