книги из ГПНТБ / Тихомиров В.И. Линейное программирование в организации и планировании путевого хозяйства конспект лекций для студентов специальности Стр-во ж. д., путь и путевое хоз-во учеб. пособие
.pdf5. Все элементы новой таблицы делятся на разрешающий элемент ars.
П р и м е р. Для таблицы
|
ЛТ |
л*2 |
л'з |
>1 = |
3 - 2 |
3 |
|
Уа = |
- 2 |
1 |
U |
Уз = |
3 - 3 |
-3 |
|
один шаг обыкновенного Жорданова исключения с разреша ющими 2-й строкой и 3-м столбцом приводит к следующей таблице:
|
-v' l |
-Vg |
tjn |
У| = |
12 |
-7 |
3 |
л3 — |
2 |
—1 |
1 |
Уз = |
0 |
-3 |
--3 |
и окончательно получаем таблицу
|
|
|
-V| |
Д-"о Уз |
|
У1 = |
6 |
|
7 |
3 |
|
~~2 |
2 |
||||
|
|
||||
А'з = |
1 |
|
1 |
1 |
|
~ |
2 |
2 |
|||
|
|
||||
Уз = |
0 |
|
3 |
3 |
|
~ |
2 |
2 |
|||
|
|
||||
2. Геометрический смысл обыкновенного Жорданова исключения
Каждый |
набор значений х,, |
. . . . |
хп будем рассматривать |
как координаты точки х(х,, . .. , |
х„) |
евклидова «-мерного про |
|
странства |
R„, а уравнения: |
|
|
yt= ап а, + а,-2 *2 + • •• + а1п хп = 0 (t = 1, . .. , m)
рассматривать как уравнения плоскостей («—1)-мерных, про
ходящих через начало координат. Для каждой точки х'(х',,...,х'„) величина у,{х')=ап х \ + . . . + ciinх 'п означает взятое с опреде
30
ленным знаком взвешенное расстояние от точки х' до плоскости- yt => 0; термин «взвешенное расстояние» означает расстояние*.
помноженное на величину (вес) |
/-1 |
|
Величину у, (х') будем |
|
|
называть уклонением точки х' от |
||
плоскости (или уравнения) |
I/, = |
0. |
В прямоугольной системе, заданной п ортогональными ко |
||
ординатными плоскостями |
л*, = |
0 ... хп = 0, каждая точка |
,v(.v,, . . . . хп) задается своими я уклонениями от всех коорди
натных плоскостей, т. е. числами х,, |
хп, .равными взятым |
с определенными знаками расстоянием |
до соответствующих |
координатных плоскостей (веса равны единице).
Один шаг Жорданова исключения с разрешающим элемен том ars означает замену координатной плоскости л^= 0. новой плоскостью уг =0 вообще говоря, уже не ортогональной остальным координатным плоскостям, так что в наборе коор динат (уклонений) каждой точки пространства уклонение от старой координатной плоскости x s =0 заменяется уклонением от новой координатной плоскости уг = 0.
Таким образом, Жордановы исключения позволяют от случайно взятой декартовой системы координатных плоскос тей перейти к новой системе, в которой координатами точек являются их уклонения от более интересной для этой или другой задачи системы плоскостей; п,ри этом в новой таблицеуклонения точки от всех остальных плоскостей системы (29) выражены через уклонения от основных плоскостей, располо женных наверху таблицы.
Этим объясняется та важная роль, которую играют Жордановы исключения во всех задачах, связанных с уклонением! точек от плоскостей, к которым относятся задачи линейного, программирования.
При решении задач линейного программирования сим плекс-методом (о существе которого будет сказано ниже) пользуются так называемыми модифицированными Жордановьгми исключениями, при KOTqpbix элементы разрешающей; строки сохраняют свои знаки, а элементы разрешающего, столбца изменяют знаки на противоположные.
В таких случаях систему (29) записывают в виде
У1 = — <*н(— х,) — ал (— х,) — ... — ain(— х„) (30)
и составляют таблицу (табл. 4).
31,
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
— А ,,— -V- , . . , -Tv. - - , X n |
|||
У\ = |
“ и “ и |
• |
• 21S • • а1)7 |
|
Уг = |
«п аг1 |
■ . . |
. • ■а гп |
|
Ут = |
а пп ат2 |
• |
•a m s • |
•а тп |
где для удобства обозначений положено
ч 1к = — a lk ( i = 1 , . . . , m ; |
k = 1 ................. |
/ г ) . |
Один шаг модифицированного Жорданова исключения с раз решающим элементом ars означает переход к новой таблице
(табл. 5).
|
|
|
|
Т а б л и ц а 5 |
|
— Х х— х 2 . |
■— Уг ■ • •— х п |
||
У1 = |
6,1 613 . . |
• |
b is |
• • • п |
X s — |
а21 а22 ■ |
|
1 |
а гп |
Ут ~ |
bffil ^шз - ' |
* |
b m s |
* * • Ьт п |
Эта таблица получается из предыдущей по правилам 1—5 обыкновенного Жорданова исключения, с тем лишь измене нием, что правила 1 и 3 меняются ролями, а именно:
2)остальные (кроме разрешающего) элементы разрешаю щей строки остаются без изменения;
3)остальные элементы разрешающего столбца меняют свои знаки.
Пр и м е р 1. Рассмотрим систему:
2а , + 2х -2 — А'з + а, — 4 = О 4а , + За, — л'з + 2а , — 6 = 0 8а , 4- 5а , — За3 + 4а, — 12 = 0
За , + За2 — 2а 3 -|- 2а , — 6 = 0
32
З а п и ш е м э т у с и с т е м у в ви д е :
—X, — Хо —х-3 -X., + 1
0 =
0 =
0 =
0 =
- 2 |
- 2 |
—4 |
—3 |
со 1 |
Ю 1 |
—3 |
- 3 |
1 Н |
1 — 2
тг 1 со
2 — 2
-4
—6
-1 2
-6
Сделав один шаг модифицированного Жорданова исклю |
|
чения с разрешающим элементом а.и = —1 и вычеркнув |
стол |
бец под переброшенным на верх таблицы нулем, т. е. |
разре |
шающий столбец, получим таблицу
|
— Х\ — Х у —Ху |
1 |
||
*1 — |
2 |
2 |
- 1 |
4 |
|
|
|
|
|
0 = |
0 |
1 |
- 1 |
2 |
0 = |
0 |
3 |
— 1 |
4 |
0 = |
1 |
1 |
0 |
2 |
Следующий шаг сделаем с разрешающей второй строкой
и третьим столбцом. После |
вычеркивания разрешающего |
||
столбца и деления всех вновь полученных членов на—I, полу |
|||
чим новую таблицу |
|
|
|
— X, |
—Л'j |
1 |
|
-*• = |
2 |
1 |
2 |
Д'з = |
2 -1 |
_9 |
|
0 = |
° | |
2 | |
2 |
0 = |
1 |
1 |
2 |
Третий шаг произведем с разрешающими третьей строкой |
|||
и вторым столбцом, что даст |
|
|
|
|
—-Vi 1 |
|
|
х, = |
2 |
1 |
|
Л'з = |
0 |
—1 |
|
Л'ч- |
0 |
1 |
|
0 = |
1 |
1 |
|
3 - 9SI |
33 |
После четвертого шага найдем окончательно
|
1 |
x t — |
— 1 |
*3= |
— 1 |
Л*2 = |
1 |
•*i = |
1 |
Пр и ме р 2. Решить систему: |
|
|
||||
У\ = 2л:, -f- л*, 4~ 4х3 |
4 = 0 |
|||||
уг = Ху — Зха — л.'з 4~ 5 = 0 |
||||||
Уз — 3-V-, — 2л'2 4~ 2.v3 4 - 1 = 0 . |
||||||
Соответственно изложенному |
выше переходим |
|||||
|
—Л-, —Хо |
— х 3 |
1 |
|||
0 = |
|
—2 —1 |
- 4 |
- 4 |
||
0 = |
| —1 |
| 3 |
1 |
5 |
||
0 = |
|
—3 |
2 —2 |
1 |
||
Первый шаг: |
|
|
|
|
|
|
|
—х3 —х3 |
|
1 |
|||
0= |
|
- 7 |
— 6 |
— 14 |
||
ЛГ,= |
|
— 3 |
- |
1 |
—5 |
|
0 = |
1 - 7 |
— 5 |
— 14 |
|||
Второй шаг: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—*з |
1 |
|
|
|
0= |
1- |
И |
|
0 |
|
•*1 = |
8/7 |
|
1 |
|
||
х 3= |
|
5/7 |
|
2 |
|
|
Третий шаг:
|
1 |
*3= |
0 |
А '| = |
1 |
■*.= |
о |
Жордановы исключения с успехом используются не толь ко для решения системы линейных уравнений, но и для ис следования этой системы — совместна или несовместна она, имеет единственное или множество решений, или вообще не имеет решений, для нахождения обратной матрицы, ранга ма трицы (число линейно независимых строк).
з;?
Л Е К Ц И Я |
2 |
ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
ИМЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ
§1. Основная задача линейного программирования
1.Формулировка основной задачи
Основная задача линейного программирования |
формули |
||
руется следующим образом. |
|
|
|
Дана линейная форма (целевая функция) |
|
|
|
Z = с, x'i + с2 х2 |
+ с„хп |
|
(31) |
и задана система т > п линейных |
неравенств |
(ограничений): |
|
ап х, + а-Лх2 -Т . . . + а1пхп < ^ ( 1 = 1, |
. .., |
т), |
|
* ,> 0 , х3> 0 , |
, хп^ 0 . |
|
|
Эту систему перепишем в таком виде:
у1= |
с/ц х1 ci-12 х2 ... |
citnлл 4* cii ^ 0, |
(32) |
х, > 0 , ха > 0, .. ., хп> 0.
Найти максимум (минимум) формы (31) при выполнении условий (32). Другими словами, среди решений системы (32) надо отыскать такое, для которого форма (31) принимает на ибольшее (или наименьшее значение).
2. Геометрическая интерпретация
Основную задачу линейного программирования можно ин терпретировать и геометрически.
Геометрическое изображение дает ясное представление о ходе решения задачи линейного программирования. Прежде чем перейти к изложению геометрической интерпретации, на-
36
до геометрически осмыслить те три звена, из которых состоит задача линейного программирования: 1) целевую функцию; 2) систему линейных ограничений; 3) требование неотрица тельности искомых параметров. С этой целью мы будем далее рассматривать геометрические образы, возникающие на ко ординатной плоскости двух переменных — Х\ и х2.
3. Геометрический смысл линейных неравенств
Как известно, линейное уравнение а1х ]+ а2х2 = Ь изобража ется на плоскости Ох]Х2 прямой линией I, все точки которой имеют координаты Х\ и х2, удовлетворяющие этому уравнению.
Прямая / делит плоскость Ох\Х2 на две полуплоскости. |
Для |
|||
точек одной пз этих |
полуплоскостей ahY, + а2х2<Ь |
для |
точек |
|
другой а,х, + а2х2>Ь, |
а если |
причислить прямую / |
(границу |
|
этих полуплоскостей) |
к ним |
самим, то для точек одной из них |
||
alx l + a2x2^.b, а для точек другой а\Хх+ а2х2^ Ь .
Для того чтобы узнать, с какой стороны от прямой I выра жение aiX'| + a2x'2 меньше 6 н с какой стороны оно больше, чем 6, достаточно в выражение а\Х]+а2х2 вместо х { и х2 под ставить координаты какой-нибудь точки, не лежащей на пря мой 1.
Пусть, например, имеем неравенство 3x1+ 2.v2^ 6 . Очевидно, сначала надо построить прямую /, соответствую
щую уравнению 3xi + 2х2 = 6. Эта прямая легко строится по двум точкам, которые находятся из решения уравнения путем последовательного .приравнивания х, и х2 нулю.
В данном случае х, = 2, х2=3. Следовательно, / отсекает на оси Х\ отрезок ОА,= 2, и на оси х2 отрезок ОЛ2 = 3 (рис. 4).
37
Встает вопрос: с какой стороны от полученной прямой бу
дет иметь место неравенство 3*i + 2х2^ 6 ? |
координатами |
||||
-X'1 |
Для |
этого возьмем, например, точку М с |
|||
= 3; |
х2 = 0. Тогда 3a', + 2x2 = 3-3 + 2 |
-0 = 9>6. |
Значит 3*1 |
+ |
|
+ |
2х2;^6 для то-чек той полуплоскости, |
ограниченной прямой |
I, |
||
в которой лежит точка М и которая показана на рис. 4 штри
ховкой |
вдоль прямой I. |
неравенство |
aj-v, -|-a2x2;^k |
|||
Итак, |
всякое |
линейное |
||||
(^ Ь ), |
изображается |
на плоскости Oxtx2 некоторой полуплос |
||||
костью, |
|
которую можно найти, построив прямую а]Х\ + а2х2 = Ь |
||||
(границы этой полуплоскости) |
и подставив в левую часть ее |
|||||
уравнения координаты какой-нибудь |
точки, не |
лежащей на |
||||
этой прямой. |
|
|
|
|
||
Пусть теперь имеем систему двух линейных неравенств: |
||||||
|
|
|
| Яи хх+ |
а,2 х2^ |
6, |
|
|
|
|
{ (1}j Ху -{- С122 ха ^ |
b3. |
|
|
Каждое из этих неравенств изображается некоторой по луплоскостью, а система обоих неравенств, очевидно, изобра жается общей частью этих двух полуплоскостей (заполняю щей соответствующий угол между ними).
Например, система неравенств:
Х\ -f-х2 7
х 1-f-Зх2 9
изображается областью, заполняющей угол АМВ (рис. 5).
38
Система неравенств
Гjc, > О
1Х2 О,
выражающих требование неотрицательности параметров за дачи линейного программирования, изображается первым квадрантом координатной плоскости Ох,хг (рис. 6).
Для случая любого числа линейных неравенств:
йц Xl -f- |
ха |
Xj j £Z2a X2 ^
®mi M "Ь ^m2Xj ^
Можно сказать, что она изображается на плоскости неко торой многогранной областью и во многих случаях оказывает ся многоугольником (рис. 7).
4. Геометрический смысл целевой функции
Рассмотрим целевую функцию:
|
Z= cIx1-t-c2x2. |
|
Если приравнять ее какой-нибудь постоянной |
величине, |
|
т. е. |
рассмотреть те члены х и х2, при которых целевая функ |
|
ция |
сохраняет одно и то же значение Z=const, то |
получим |
39