книги из ГПНТБ / Тихомиров В.И. Линейное программирование в организации и планировании путевого хозяйства конспект лекций для студентов специальности Стр-во ж. д., путь и путевое хоз-во учеб. пособие

Единичная матрица. Если в диагональной матрице все эле­ менты являются равными единице, то мы получим единичную матрицу, которую обычно обозначают буквой Е.

Ленточная матрица. Если в квадратной матрице порядка т отличными от нуля являются лишь элементы, расположен­ ные на главной диагонали и на примыкающих к ней с каждой из сторон (сверху и снизу) к параллельных линиях, то такую матрицу называют ленточной (2 к + 1) -членной матрицей по­ рядка т, так при к=1 матрица будет являться трехчленной ленточной и иметь вид:

(m - i ) d ' m m

В литературе такие матрицы встречаются под названием «якобиевы матрицы».

Верхняя и нижняя треугольные матрицы. Квадратная матрица, в которой все элементы, расположенные ниже глав­ ной диагонали, равны нулю, называется верхней треугольной матрицей.

20

§ 4. Алгебраические операции над матрицами

1. Сложение и вычитание матриц

Складывать и вычитать можно лишь матрицы, имеющие одинаковое число строк и столбцов. Суммой матриц А и В на­ зывается матрица С, элементы которой C,j (i=l, 2,..., m; j= 1, 2,..., n) связаны с элементами a,j и ft,,- матриц А я В равенством:

Си = аи + Ьц.

2. Умножение матрицы на скаляр

Произведение матрицы А на скаляр а представляет собой матрицу В, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на скаляр а, т. е. bij = % а.

21

Ь m l b m 2 ■ * • ^ m n

3.Умножение прямоугольных матриц

Пусть имеем матрицы типов ш Хп и pXQ-

Если число столбцов матрицы А равно числу строк матри­ цы В, т. е. п = р, то для этих матриц получается матрица С типа m</, называемая их произведением:

22

Из определения вытекает следующее правило умножения матриц.

Чтобы получить элемент, стоящий в г'-той строке и в /-том столбце произведения двух матриц, нужно элементы t-той строки первой матрицы умножить на соответствующие эле­ менты /-того столбца второй и полученные произведения сложить.

Произведение АВ имеет смысл тогда и только тогда, ког­ да матрица А содержит в строках столько элементов, сколько элементов 'имеется в столбцах матрицы В.

Матрицы, которые можно перемножать, называются соот­ ветственными.

11 0

7 14

Произведение двух матриц, как правило, не обладает пе­ реместительным свойством, т. е. АВф ВА .

23

т. е. здесь АВф ВА .

В тех случаях, когда АВ = ВА, матрицы А и В называются перестановочными (коммутативными). Так, например, не трудно убедиться, что единичная матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей А того же порядка.

5. Транспонирование матриц

Положим, 'имеем матрицу

Если в этой матрице переменить местами строки и столбцы, то получим матрицу А \ которая называется матрицей, транс­ понированной по отношению к матрице А.

6. Обратная матрица

Обратной матрицей по отношению к данной называется матрица, которая, будучи умноженной как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу.

Для матрицы А обозначим обратную ей матрицу через А"1. Тогда в соответствии с указанным выше определением имеем:

АА~1=:А-' А = Е,

где Е — единичная матрица.

24

Всякая неособенная (невырожденная) матрица А (при Б[А]фО) имеет одну и только одну обратную матрицу Л-1.

Пусть, например, дана система

Det А

Здесь в числителе стоят определители, раскрывая которые по элементам Ht, получим:

25

в результате чего получим Е.

Сопоставляя матрицы А и В, нетрудно заметить, что каж­ дый элемент (а^-1) обратной матрицы В представляет собой алгебраическое дополнение элемента ам матрицы А, делен­ ное на детерминант этой матрицы, т. е.

А ы

Det А

где Akl—алгебраическое дополнение (адъюнкта) элемента матрицы А или определитель п—1 порядка, образованный из данного определителя зачеркиванием к-той строки, и /-того

•столбца, взятого со знаком, определяемым формулой (—1)*+/. К обратной матрице часто прибегают при решении системы

линейных уравнений.

П р и м е р . Пусть дана система уравнений:

X1+ Х%—3

Ах\ + х%—5х3 ——9

Х{ + 2хг+ 4хз= 17.

26

27

Решение системы уравнений:

х = A~l Н

или

§5. Жордановы исключения

1.Обыкновенные Жордановы исключения

Для решения систем линейных уравнений и задач линей­ ного программирования используется метод последователь­ ных исключений, или как его называют, метод Жордана, пред­ ставляющий собой совокупность удобных вычислительных алгоритмов, построенных на последовательном применении, эквивалентных преобразований системы уравнений или сис­ темы векторов.

Пусть рассматривается система:

у1= ап х1+ аи*а + . . . + alnxn; (t — 1, . . . . т). (29>

Эта система состоит из т линейных форм с п независимым» переменными х,, *2, *„• Запишем эту систему в виде следующей таблицы (табл. 2):

28

цом, называется операция перемены ролей между зависимой

относительно xs подстановка его во все остальные уравнения

•системы (29) и запись полученной системы в виде новой таблицы, аналогичной табл. 2. Легко проверить, что получен­ ная таким образом новая таблица (табл. 3) будет иметь вид:

1.Разрешающий элемент заменяется единицей.

2.Остальные элементы разрешающего столбца (s-того) остаются без изменения.

3.Остальные элементы разрешающей строки (r-той меня­ ют лишь свои знаки.

4.Элементы, не принадлежащие к разрешающей строке или столбцу, вычисляются по формуле

Ь-^= аи Qrs uls cirj.

29