
книги из ГПНТБ / Тихомиров В.И. Линейное программирование в организации и планировании путевого хозяйства конспект лекций для студентов специальности Стр-во ж. д., путь и путевое хоз-во учеб. пособие
.pdfНовые значения поставок заносим в табл. |
39. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 39 |
|
|
|
22 |
|
29 |
|
18 |
15 |
|
25 |
|
7 |
|
|
|
01 |
|
02 |
|
0з |
0* |
|
05 |
|
0в |
|
15 ы, |
|
32 |
|
28 |
|
3 |
10 |
|
25 |
|
18 |
10 |
|
|
|
|
|
|
1 ю |
|
|
|
|
|
|
'25 и3 |
|
27 |
|
4 |
|
И |
2 |
|
17 |
|
9 |
15 |
|
|
|
|
1 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
•17 и, |
5 |
|
|
12 |
|
1 |
22 |
8 |
|
|
16 |
25 |
|
|
1 |
9 |
1 |
2 |
1 12 |
|
|
1 2 |
|
|
|
Оut |
|
13 |
|
21 |
|
19 |
15 |
25 |
|
|
7 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
133 |
|
1 |
1 |
1 6 |
|
19 u5 |
|
20 |
|
14 |
|
29 |
26 |
6 |
|Н |
24 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
9 |
|
17 |
|
22 |
33 |
|
14 |
6 |
|
|
Вновь |
определяем |
потенциалы строк |
и столбцов, |
решая |
||||||||
•систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Ьу—иг= 5 |
«4— «4= |
15, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
v2—«2= |
4 |
^5—«3= |
8 |
|
|
|
||
|
|
|
|
v 2— u3= 12 |
V3—«4= 25 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
v з— и ,= |
3 |
v5—u5= |
6 |
|
|
|
||
|
|
|
|
v 3— u3— |
1 |
^6—«4= |
7. |
|
|
|
||
Потенциал строки 4 примем за 0, т. е. «4 = 0. |
|
|||||||||||
Тогда потенциалы других строк и столбцов |
определятся |
|||||||||||
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ою1О = 25; |
|
25—и3= |
8 ; |
1О = 15; |
|
«з—17= |
1; |
18—их= |
3 ; |
v5 = 25;
и3= 17; '
v4 = 15;
03= 18;
ц , = 15;
о2—17=12;
to CD 1 |
II |
|
0 ,-1 7 = |
5; |
|
25—« 5 |
= |
6; |
о6— 0= |
7; |
«2= 29
«2= 25
«1=22
« 5 = 1 9
«е= 7
Полученные значения потенциалов |
проставлены в левой |
и верхней части таблицы. |
. . |
90
С помощью потенциалов исследуем на оптимальность каж-
.дую свободную клетку. |
|
|
|
Для клеток 1.1 V\—«1 = 22—15= |
7<32; |
|
|
2.1 |
Щ—«2= 22—25= |
- 3 < 27; |
|
4.1 |
щ—«4 = 22— 0 = |
22> 13 нарушено |
уело- |
5.1 |
щ—«5= 22—19= |
вне оптимальности |
|
3<20 |
|
||
1.2 «2—«1 = 29—15= |
14< 28 |
|
|
4.2 |
«2—«4= 29— 0= |
29>21 нарушено |
уело- |
5.2 «2—«5= 29—19= |
не оптимальности |
||
10< 14 |
|
||
2.3 |
«з—«2=18—25 = — 7< 11 |
|
|
4.3 «з— 0= 18— 0= |
. 18< 19 |
|
|
5.3 |
ц3—«5= 18—19= |
— 1 <29 |
|
1.4 «4—«1 = 15—15= |
0<10 |
|
|
2.4 |
«4—^2=15—25= |
—10< 2 |
|
3.4 |
«4—«з= 15—17= |
— 2<22 |
|
5.4 |
«4—«5= 15—19= |
— 4<26 |
|
1.5 «5—«1 = 25—15= |
10<25 |
|
|
2.5 |
«5—«2 = 25—25= |
0< 17 |
|
1.6 «6—«1= 7—15= |
— 8< 18 |
|
|
2.6 |
«6— «2 = 7—25= |
—18< 9 |
|
3.6 |
Vq—«3= 7—17= |
—10 < 16 |
|
5.6 |
v6—u5= 7—19= —12<24. |
|
Расчеты показали, что и этот план не является оптималь- 'ным: нарушено условие оптимальности в двух клетках — 4.1 и 4.2. Наиболее нарушены условия оптимальности в клетке 4.1.
Вновь строим замкнутый контур.
Причем начальную вершину контура помещаем в свобод ной клетке с наибольшим нарушением условия оптималь ности, т. е. в клетку 4.1 (рис. 15).
+
91
Новый план поставок с учетом перераспределения по кон туру представлен в табл. 40.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 40' |
|
13 |
20 |
|
9 |
15 |
|
16 |
7 |
|
|
V.j |
v 3 |
V i |
|
"5 |
Чв |
|
6 Uj |
32 |
28 |
3 |
1 ю |
10 |
|
25 |
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 и 2 |
27 |
4 |
11 |
2 |
|
17 |
9 |
|
|
|
115 |
I |
|
|
|
|
|
8 и2 |
5 |
12 |
1 |
112 |
22 |
8 |
1 з |
16 |
|
1 8 |
1 2 |
|
|
|
|
||
0 ut |
13 |
21 |
19 |
15 |
|
25 |
7 |
|
|
, 1 |
|
|
|
133 |
|
|
1 6 |
10 иь |
20 |
14 |
29 |
26 |
6 |
|П |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
17 |
22 |
33 |
|
14 |
6 |
|
Определяем потенциалы строк и столбцов. |
|
|||||||
Для |
этого составляем систему уравнений: |
1 |
||||||
|
|
«1—Из— 5 |
|
03—03 = |
1 |
|||
|
|
l>i—«4= 13 |
|
04— |
04 = 15 |
|
||
|
|
02— |
02= |
4 |
05— |
^3= 8 |
|
|
|
|
t>2—^з= i2 |
|
v5—us= |
6 |
|
||
|
|
03— |
ttj = |
3 |
06— |
|
«4= 7 |
|
Потенциал строки 4 принимаем за нуль, т. е. |
= О'.. |
|||||||
ТбтДа |
о6—0 = 7; |
о6= 7; |
|
|||||
|
|
|
||||||
|
|
о4—0=15; |
04=15; |
|
||||
|
|
01—0=13; |
01= 13; |
|
||||
|
|
13—«3= 5; |
03= |
8; |
|
|||
|
|
о5—8 = |
8; |
05=16; |
|
|||
|
|
16—05= 6; |
05= 10; |
|
||||
|
|
03—8 = |
1; |
03= |
9; |
|
||
|
|
9—0i =3; |
0i= |
6; |
|
|||
|
|
02— 8 = |
12; |
02= 20; |
|
|||
|
|
20— 02= |
4 ; |
02= |
16. |
|
92
Полученные потенциалы проставлены в левой и верхней частях таблицы.
Проверка на оптимальность каждой свободной клетки по казала, что нарушения условия оптимальности нет. Отсюда ■следует, что получен оптимальный план поставок, по которо му суммарная стоимость перевозок составляетД=5• 8+13 • 1+ + 4 -15+12 • 2 + 3 •10+1 ■12+15" 33 + 8-3+ 6" 11 + 7 • 6= 806 еди ниц стоимости, что на 29 единиц стоимости меньше, чем по опор ному плану перевозок.
На рис. 16 представлена блок-схема алгоритма оптимиза ции плана перевозок по методу потенциалов.
Рис. 1G
Нам остается пояснить, что же такое потециал, какова его экономическая интерпретация.
Для каждой занятой клетки мы имеем ul + сtj = vL.
Это означает, что цена продукта в пункте производства и, плюс стоимость перевозки с,у- равна цене продукта в пункте потребления Vj. Это аналогично потенциалам в электротех нике, механике и гидравлике, так что можно построить элек
93
трическую, механическую или гидравлическую модель, кото рая будет полностью соответствовать транспортной задаче.
Метод коэффициентов
Метод коэффициентов (в литературе часто называется ме тод МОДИ, или модифицированный распределительныйметод).
Этот метод аналогичен методу потенциалов, однако вместо
расчета потенциалов строк и столбцов |
определяют |
коэффи |
||||||
циенты строк и столбцов. |
|
|
|
|
|
|||
Поясним идею этого метода на примере. |
|
|
||||||
Исходную матрицу задачи возьмем из табл. 33, элементы |
||||||||
этой матрицы будем называть показателями |
критерия опти |
|||||||
мальности. |
|
|
|
|
|
|
Таблица 41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поставщики |
|
Потребители |
и их спрос |
|
Коэффици |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
и их |
|
|
|
|
|
|
||
Б, |
Б., |
Бз |
Б, |
Б6 |
Бс |
енты строк. |
||
производственная |
||||||||
9 |
17 |
22 |
33 |
U |
6 |
Астр |
||
мощность |
А, |
10 |
32 |
28 |
00 |
| |
|
|
|
|
: |
О о |
|
|
|
|
|
10 |
25 |
18 |
0 |
|
|2 |
|
|
А2 |
15 |
27 |
4 |
11 1 2 |
17 |
|
9 |
- 1 0 |
|
|
|
|
i 15j |
|
I |
|
|
|
|
A3 |
25 |
5 |
12 |
1 |
22 |
8 |
|
16 |
—2 |
|
|
19 |
: 2 |
114 |
|
|
|
|
|
Ач |
40 |
13 |
21 |
19 |
15 |
25 |
1 7 |
> |
5 |
|
|
|
|
|
131- |3 |
| |
|6 |
|
|
А6 | |
11 |
20 |
14 |
29 |
26 |
6 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
HI |
|
|
|
Коэффициенты |
7 |
14 |
3 |
10 |
20 |
|
2 |
|
|
столбцов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АСтГ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первоначальный план перевозок устанавливаем одним из; известных нам методов. В данном случае этот план установ лен по минимальному элементу столбца.
Для проверки полученного плана на оптимальность опре деляем коэффициенты строк и столбцов.
Определение коэффициентов можно начинать с любойстроки или столбца, принимая в качестве начального коэффи циента любое произвольно выбранное число. Для упрощения рекомендуется вести расчет, начиная с первой строки, приняв; коэффициент этой строки равным нулю.
В дальнейшем, при определении коэффициентов, следует
94
соблюдать условие, чтобы сумма коэффициентовстроки и столбца была равна соответствующему критерию оптималь ности в занятой клетке, находящейся на пересечении данных: строки и столбца.
В данном примере коэффициент строки Ai равен 0, поэтомукоэффициент столбца Бз равен 3, ибо 0+ 3= 3; коэффициент, столбца Б4 равен 10; так как 10+ 0= 10.
В столбце Б3 кроме клетки А]—Б3 есть еще занятая клетка, А3—Б3 с показателем критерия оптимальности 1. Следова тельно, коэффициент третьей строки должен быть равен; 1—3= —2.
В столбце Б4 кроме клетки Ai—Б4 имеется еще одна за
нятая |
клетка |
А4—Б4 с |
показателем |
критерия оптималь |
ности |
15. |
|
|
(10). |
Коэффициент этого столбца известен |
||||
Отсюда, |
коэффициент |
четвертой |
строки будет равен. |
|
15—10= 5. |
|
|
|
Аналогичным образом получены и все остальные коэффи циенты.
С помощью коэффициентов строк и столбцов проверяемвсе свободные клетки на оптимальность, при которой должнособлюдаться условие
|
|
|
^стр + ^стб ^ c i j - |
|
|
(44)- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 42 |
Поставщики |
|
Потребители и их спрос |
|
Коэффици |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
и их |
|
|
|
|
Бб |
|
|
|
Б! |
Б0 |
Б3 |
б 4 |
Б6 |
енты строк |
||
производственная |
||||||||
мощность |
9 |
17 |
22 |
33 |
14 |
6 |
Астр |
|
Ai |
10 |
32 |
28 |
3 |
10 |
25 |
18 |
0 |
|
|
|
|
110 |
|
|
|
|
Аз |
15 |
27 |
4 |
11 |
2 |
17 |
9 |
—10 |
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
Аз |
25 |
5 |
12 |
1 |
22 |
8 |
1G |
—2 |
|
|
19 |
1 * |
112 |
|
г г |
|
|
А, |
40 |
13 |
21 |
19 |
15 |
25 |
7 |
15 |
|
|
|
|
|
133 |
1 1 |
16 |
|
А5 |
11 |
20 |
14 |
29 |
26 |
6 |
24 |
—4 |
|
|
|
|
|
|
|Н |
|
|
Коэффициенты |
7 |
14 |
3 |
0 |
10 |
- 8 |
|
|
столбцов |
|
|
|
|
|
|
Астб
95,
Проверка показала, что во всех клетках кроме клетки Аз—Б5 это условие соблюдается. Это дает нам основание .ска зать, что план не является оптимальным. Его можно улучшить
.путем перераспределения поставок.
Перераспределение поставок делается так же, как и в ме тоде потенциалов— по замкнутому контуру (см. рис. 14).
С учетом перераспределения поставок получим новую таблицу (табл. 42).
По известному правилу вновь устанавливаем коэффициен ты строк и столбцов и проверяем все свободные клетки на оптимальность. В клетках А4—Bi и А4—В2 нарушено условие
•^Стр "Ь A c Tfj А ; Суу.
В самом деле, для клетки А4—Bi : Астр + Кстй=7+15 = = 22>13; для клетки А4—В2: 14-Ы5 = 29>21.
Вновь строим контур (см. рис. 15) и перераспределяем поставки. Получим новую таблицу (табл. 43).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 43 |
Поставщики |
|
Потребители и их спрос |
|
Коэффици |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
и |
их |
|
|
|
|
|
|
|
|
Б, |
Б, |
Б3 |
Б* |
|
б 5 |
Б6 |
енты строк |
||
производственная |
|
||||||||
мощность |
9 |
17 |
22 |
33 |
|
14 |
6 |
Астр |
|
А, |
10 |
32 |
28 |
3 |
10 |
|
25 |
28 |
0 |
|
|
|
|
НО |
|
|
|
|
|
Аз |
15 |
27 |
4 |
11 |
2 |
|
17 |
9 |
—10 |
|
|
|
Ц5 |
|
|
|
|
|
|
Аз |
25 |
5 |
12 |
1 |
22 |
8 |
13 |
16 |
—2 |
|
|
I» |
12 |
U? |
|
|
|
|
|
А. , |
40 |
13 |
21 |
19 |
15 |
|
25 |
7 |
6 |
|
|
П |
|
|
133 |
|
|
16 |
|
а 5 |
11 |
20 |
14 |
29 |
26 |
6 |
|Ч |
24 |
—4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
7 |
14 |
3 |
9 |
|
10 |
1 |
|
|
столбцов |
|
|
|
|
|
|
|
|
Лстб
Вданной таблице во всех свободных клетках условие оп тимальности выполнено, следовательно, получен оптимальный план.
Вчем разница этого метода от предыдущего?
:96
В методе потенциалов проверка оптимальности'свободных клеток производится по критерию
V]— ui < ctf<
а в методе коэффициентов по критерию:
|
|
^Сстр Н" ^ с т б ^ |
^ i j ' |
|
Если в первом |
случае |
о;- — стоимость продукта в пункте |
||
потребления, |
а |
«, -—в пункте отправления, то их разность |
||
дает затраты |
на перевозку |
этого |
продукта с,-у. Во втором |
случае, приняв /Сстр за стоимость продукта в пункте отправ ления, а Кстб— стоимость продукта в пункте потребления, их сумма дает затраты «а перевозку этого продукта, т. е. в пер вом случае условие Vj— и, ctJ-имеет больший экономический смысл, чем во втором. Однако во втором случае для определе ния коэффициентов строк и столбцов не требуется решать систему уравнений, что ускоряет процесс решения задачи. В дальнейшем мы будем использовать метод коэффициентов.
Дополнительные замечания
Отметим дополнительно ряд моментов, относящихся к ре шению транспортной задачи по методу коэффициента (это от носится и к методу потенциалов).
1. Если при первоначальном распределении поставок в столбце есть два или несколько одинаковых по величине эле ментов матрицы, поставку можно записать в любую произ вольно выбранную соответствующую клетку таблицы.
2. Количество занятых клеток всегда должно быть равно
т + п—1. |
Если это условие |
не |
выполняется, то необходимо |
|
дописать |
нулевую поставку |
(.или поставки) в такие клетки, |
||
чтобы начиная с них |
нельзя было построить контур, все вер |
|||
шины которого были |
бы также |
в занятых клетках. |
3.При распределении поставок может оказаться, что в от рицательных вершинах контура находятся две или более оди наковых по величине минимальных поставки. В этом случае поставка снимается только с одной вершины контура, а в другой такой вершине (или других вершинах) поставка сохра няется, но в этом случае она будет равна нулю.
4.Если наименьшая поставка в отрицательных вершинах контура равна нулю, перераспределение поставок состоит в
следующем. Нулевая поставка снимается, а в клетке, к кото рой строится контур, записывается нулевая поставка.
5. При нарушении условия оптимальности в нескольких свободных клетках контур строится, как правило, к клетке с
7 - 9 8 1 |
9 7 |
наибольшим нарушением. Кроме того, необходимо стремиться, чтобы конфигурация контура была более простой.
6. Общая сумма затрат (или общий грузооборот) по лю бому распределению, в том числе и оптимальному, может быть определена не только суммированием произведений по казателей критерия оптимальности на соответствующие по казатели поставок, но и другим способом. Он заключается в том, что каждый показатель мощности умножается на коэф фициент соответствующей строки, а каждый показатель спро с а — на коэффициент соответствующего столбца. При умно жении учитываются знаки коэффициентов. Алгебраическая сумма всех этих произведений равна сумме затрат или общему грузообороту по данному распределению.
Л Е К Ц И Я 5
ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ОРГАНИЗАЦИИ И ПЛАНИРОВАНИИ ПУТЕВОГО ХОЗЯЙСТВА
Рассмотрим несколько практических задач, встречающих ся в организации и планировании ремонтов и текущем содер жании пути.
З а д а ч а I
На дороге имеется четыре путевые машинные станции; выполняющие капитальный ремонт пути; имеется также три щебеночных завода, обеспечивающие участки работ щебнем. Требуется так прикрепить заводы к участкам работы, чтобы был обеспечен минимум тоннокилометровой работы по пере возке щебня. Исходные данные задачи приведены в табл. 44.
Наименова ние постав щиков
|
|
|
|
Таблица 44 |
Производст |
|
Потребители и их спрос; |
|
|
|
|
|
|
|
венная |
ПМС-1 |
ПМС-2 |
ПМС-3 |
ПМС-4 |
мощность |
|
|
|
|
поставщиков, |
|
|
|
|
гп |
2Q0 000 m |
150 000 m |
220 000 m |
120 000 m |
А, |
250 000 |
10 |
20 |
8 |
15 |
а 2 |
200 000 |
7 |
25 |
11 |
17 |
А, |
240 000 |
6 |
18 |
12 |
10 |
По строкам в таблице распределены поставщики, по столб цам — потребители.
Суммарная производственная мощность заводов-постав- щиков (690 000 т) равна суммарному спросу всех потребите лей. На пересечении строк и столбцов указаны расстояния в условных единицах (это могут быть километры, десятки, сот ни их и т. д.) между соответствующими поставщиками и по требителями .
7 * |
99 |