Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Тихомиров В.И. Линейное программирование в организации и планировании путевого хозяйства конспект лекций для студентов специальности Стр-во ж. д., путь и путевое хоз-во учеб. пособие

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
23.10.2023
Размер:
3.99 Mб
Скачать

Новые значения поставок заносим в табл.

39.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 39

 

 

22

 

29

 

18

15

 

25

 

7

 

 

 

01

 

02

 

0з

0*

 

05

 

0в

 

15 ы,

 

32

 

28

 

3

10

 

25

 

18

10

 

 

 

 

 

 

1 ю

 

 

 

 

 

 

'25 и3

 

27

 

4

 

И

2

 

17

 

9

15

 

 

 

 

1 15

 

 

 

 

 

 

 

•17 и,

5

 

 

12

 

1

22

8

 

 

16

25

 

 

1

9

1

2

1 12

 

 

1 2

 

 

Оut

 

13

 

21

 

19

15

25

 

 

7

40

 

 

 

 

 

 

 

133

 

1

1

1 6

 

19 u5

 

20

 

14

 

29

26

6

24

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

9

 

17

 

22

33

 

14

6

 

Вновь

определяем

потенциалы строк

и столбцов,

решая

•систему уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ьу—иг= 5

«4— «4=

15,

 

 

 

 

 

 

 

v2—«2=

4

^5—«3=

8

 

 

 

 

 

 

 

v 2— u3= 12

V3—«4= 25

 

 

 

 

 

 

 

v з— и ,=

3

v5—u5=

6

 

 

 

 

 

 

 

v 3— u3—

1

^6—«4=

7.

 

 

 

Потенциал строки 4 примем за 0, т. е. «4 = 0.

 

Тогда потенциалы других строк и столбцов

определятся

так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ою1О = 25;

25—и3=

8 ;

1О = 15;

«з—17=

1;

18—их=

3 ;

v5 = 25;

и3= 17; '

v4 = 15;

03= 18;

ц , = 15;

о2—17=12;

to CD 1

II

 

0 ,-1 7 =

5;

25—« 5

=

6;

о6— 0=

7;

«2= 29

«2= 25

«1=22

« 5 = 1 9

«е= 7

Полученные значения потенциалов

проставлены в левой

и верхней части таблицы.

. .

90

С помощью потенциалов исследуем на оптимальность каж-

.дую свободную клетку.

 

 

Для клеток 1.1 V\—«1 = 22—15=

7<32;

 

2.1

Щ—«2= 22—25=

- 3 < 27;

 

4.1

щ—«4 = 22— 0 =

22> 13 нарушено

уело-

5.1

щ—«5= 22—19=

вне оптимальности

3<20

 

1.2 «2—«1 = 29—15=

14< 28

 

4.2

«2—«4= 29— 0=

29>21 нарушено

уело-

5.2 «2—«5= 29—19=

не оптимальности

10< 14

 

2.3

«з—«2=18—25 = — 7< 11

 

4.3 «з— 0= 18— 0=

. 18< 19

 

5.3

ц3—«5= 18—19=

— 1 <29

 

1.4 «4—«1 = 15—15=

0<10

 

2.4

«4—^2=15—25=

—10< 2

 

3.4

«4—«з= 15—17=

— 2<22

 

5.4

«4—«5= 15—19=

— 4<26

 

1.5 «5—«1 = 25—15=

10<25

 

2.5

«5—«2 = 25—25=

0< 17

 

1.6 «6—«1= 7—15=

8< 18

 

2.6

«6— «2 = 7—25=

—18< 9

 

3.6

Vq—«3= 7—17=

10 < 16

 

5.6

v6—u5= 7—19= —12<24.

 

Расчеты показали, что и этот план не является оптималь- 'ным: нарушено условие оптимальности в двух клетках — 4.1 и 4.2. Наиболее нарушены условия оптимальности в клетке 4.1.

Вновь строим замкнутый контур.

Причем начальную вершину контура помещаем в свобод­ ной клетке с наибольшим нарушением условия оптималь­ ности, т. е. в клетку 4.1 (рис. 15).

+

91

Новый план поставок с учетом перераспределения по кон­ туру представлен в табл. 40.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 40'

 

13

20

 

9

15

 

16

7

 

 

V.j

v 3

V i

 

"5

Чв

6 Uj

32

28

3

1 ю

10

 

25

28

 

 

 

 

 

 

 

 

16 и 2

27

4

11

2

 

17

9

 

 

115

I

 

 

 

 

 

8 и2

5

12

1

112

22

8

1 з

16

 

1 8

1 2

 

 

 

 

0 ut

13

21

19

15

 

25

7

 

, 1

 

 

 

133

 

 

1 6

10 иь

20

14

29

26

6

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

17

22

33

 

14

6

Определяем потенциалы строк и столбцов.

 

Для

этого составляем систему уравнений:

1

 

 

«1—Из— 5

 

03—03 =

1

 

 

l>i—«4= 13

 

04—

04 = 15

 

 

 

02—

02=

4

05

^3= 8

 

 

 

t>2—^з= i2

 

v5—us=

6

 

 

 

03

ttj =

3

06—

 

«4= 7

 

Потенциал строки 4 принимаем за нуль, т. е.

= О'..

ТбтДа

о6—0 = 7;

о6= 7;

 

 

 

 

 

 

о4—0=15;

04=15;

 

 

 

01—0=13;

01= 13;

 

 

 

13—«3= 5;

03=

8;

 

 

 

о5—8 =

8;

05=16;

 

 

 

1605= 6;

05= 10;

 

 

 

038 =

1;

03=

9;

 

 

 

9—0i =3;

0i=

6;

 

 

 

028 =

12;

02= 20;

 

 

 

20— 02=

4 ;

02=

16.

 

92

Полученные потенциалы проставлены в левой и верхней частях таблицы.

Проверка на оптимальность каждой свободной клетки по­ казала, что нарушения условия оптимальности нет. Отсюда ■следует, что получен оптимальный план поставок, по которо­ му суммарная стоимость перевозок составляетД=5• 8+13 • 1+ + 4 -15+12 • 2 + 3 •10+1 ■12+15" 33 + 8-3+ 6" 11 + 7 • 6= 806 еди­ ниц стоимости, что на 29 единиц стоимости меньше, чем по опор­ ному плану перевозок.

На рис. 16 представлена блок-схема алгоритма оптимиза­ ции плана перевозок по методу потенциалов.

Рис. 1G

Нам остается пояснить, что же такое потециал, какова его экономическая интерпретация.

Для каждой занятой клетки мы имеем ul + сtj = vL.

Это означает, что цена продукта в пункте производства и, плюс стоимость перевозки с,у- равна цене продукта в пункте потребления Vj. Это аналогично потенциалам в электротех­ нике, механике и гидравлике, так что можно построить элек­

93

трическую, механическую или гидравлическую модель, кото­ рая будет полностью соответствовать транспортной задаче.

Метод коэффициентов

Метод коэффициентов (в литературе часто называется ме­ тод МОДИ, или модифицированный распределительныйметод).

Этот метод аналогичен методу потенциалов, однако вместо

расчета потенциалов строк и столбцов

определяют

коэффи­

циенты строк и столбцов.

 

 

 

 

 

Поясним идею этого метода на примере.

 

 

Исходную матрицу задачи возьмем из табл. 33, элементы

этой матрицы будем называть показателями

критерия опти­

мальности.

 

 

 

 

 

 

Таблица 41

 

 

 

 

 

 

 

Поставщики

 

Потребители

и их спрос

 

Коэффици­

 

 

 

 

 

 

и их

 

 

 

 

 

 

Б,

Б.,

Бз

Б,

Б6

Бс

енты строк.

производственная

9

17

22

33

U

6

Астр

мощность

А,

10

32

28

00

|

 

 

 

 

:

О о

 

 

 

 

 

10

25

18

0

 

|2

 

 

А2

15

27

4

11 1 2

17

 

9

- 1 0

 

 

 

i 15j

 

I

 

 

 

 

A3

25

5

12

1

22

8

 

16

—2

 

 

19

: 2

114

 

 

 

 

 

Ач

40

13

21

19

15

25

1 7

>

5

 

 

 

 

 

131- |3

|

|6

 

А6 |

11

20

14

29

26

6

24

 

 

 

 

 

 

 

HI

 

 

 

Коэффициенты

7

14

3

10

20

 

2

 

столбцов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АСтГ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первоначальный план перевозок устанавливаем одним из; известных нам методов. В данном случае этот план установ­ лен по минимальному элементу столбца.

Для проверки полученного плана на оптимальность опре­ деляем коэффициенты строк и столбцов.

Определение коэффициентов можно начинать с любойстроки или столбца, принимая в качестве начального коэффи­ циента любое произвольно выбранное число. Для упрощения рекомендуется вести расчет, начиная с первой строки, приняв; коэффициент этой строки равным нулю.

В дальнейшем, при определении коэффициентов, следует

94

соблюдать условие, чтобы сумма коэффициентовстроки и столбца была равна соответствующему критерию оптималь­ ности в занятой клетке, находящейся на пересечении данных: строки и столбца.

В данном примере коэффициент строки Ai равен 0, поэтомукоэффициент столбца Бз равен 3, ибо 0+ 3= 3; коэффициент, столбца Б4 равен 10; так как 10+ 0= 10.

В столбце Б3 кроме клетки А]—Б3 есть еще занятая клетка, А3—Б3 с показателем критерия оптимальности 1. Следова­ тельно, коэффициент третьей строки должен быть равен; 1—3= —2.

В столбце Б4 кроме клетки Ai—Б4 имеется еще одна за­

нятая

клетка

А4—Б4 с

показателем

критерия оптималь­

ности

15.

 

 

(10).

Коэффициент этого столбца известен

Отсюда,

коэффициент

четвертой

строки будет равен.

15—10= 5.

 

 

 

Аналогичным образом получены и все остальные коэффи­ циенты.

С помощью коэффициентов строк и столбцов проверяемвсе свободные клетки на оптимальность, при которой должнособлюдаться условие

 

 

 

^стр + ^стб ^ c i j -

 

 

(44)-

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 42

Поставщики

 

Потребители и их спрос

 

Коэффици­

 

 

 

 

 

 

 

и их

 

 

 

 

Бб

 

 

Б!

Б0

Б3

б 4

Б6

енты строк

производственная

мощность

9

17

22

33

14

6

Астр

Ai

10

32

28

3

10

25

18

0

 

 

 

 

110

 

 

 

 

Аз

15

27

4

11

2

17

9

—10

 

 

 

15

 

 

 

 

 

Аз

25

5

12

1

22

8

1G

—2

 

 

19

1 *

112

 

г г

 

 

А,

40

13

21

19

15

25

7

15

 

 

 

 

 

133

1 1

16

 

А5

11

20

14

29

26

6

24

—4

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты

7

14

3

0

10

- 8

 

столбцов

 

 

 

 

 

 

Астб

95,

Проверка показала, что во всех клетках кроме клетки Аз—Б5 это условие соблюдается. Это дает нам основание .ска­ зать, что план не является оптимальным. Его можно улучшить

.путем перераспределения поставок.

Перераспределение поставок делается так же, как и в ме­ тоде потенциалов— по замкнутому контуру (см. рис. 14).

С учетом перераспределения поставок получим новую таблицу (табл. 42).

По известному правилу вновь устанавливаем коэффициен­ ты строк и столбцов и проверяем все свободные клетки на оптимальность. В клетках А4—Bi и А4—В2 нарушено условие

•^Стр "Ь A c Tfj А ; Суу.

В самом деле, для клетки А4—Bi : Астр + Кстй=7+15 = = 22>13; для клетки А4—В2: 14-Ы5 = 29>21.

Вновь строим контур (см. рис. 15) и перераспределяем поставки. Получим новую таблицу (табл. 43).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 43

Поставщики

 

Потребители и их спрос

 

Коэффици­

 

 

 

 

 

 

 

и

их

 

 

 

 

 

 

 

Б,

Б,

Б3

Б*

 

б 5

Б6

енты строк

производственная

 

мощность

9

17

22

33

 

14

6

Астр

А,

10

32

28

3

10

 

25

28

0

 

 

 

 

НО

 

 

 

 

 

Аз

15

27

4

11

2

 

17

9

—10

 

 

 

Ц5

 

 

 

 

 

 

Аз

25

5

12

1

22

8

13

16

—2

 

 

12

U?

 

 

 

 

А. ,

40

13

21

19

15

 

25

7

6

 

 

П

 

 

133

 

 

16

 

а 5

11

20

14

29

26

6

24

—4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коэффициенты

7

14

3

9

 

10

1

 

столбцов

 

 

 

 

 

 

 

 

Лстб

Вданной таблице во всех свободных клетках условие оп­ тимальности выполнено, следовательно, получен оптимальный план.

Вчем разница этого метода от предыдущего?

:96

В методе потенциалов проверка оптимальности'свободных клеток производится по критерию

V]— ui < ctf<

а в методе коэффициентов по критерию:

 

 

^Сстр Н" ^ с т б ^

^ i j '

Если в первом

случае

о;- — стоимость продукта в пункте

потребления,

а

«, -—в пункте отправления, то их разность

дает затраты

на перевозку

этого

продукта с,-у. Во втором

случае, приняв /Сстр за стоимость продукта в пункте отправ­ ления, а Кстб— стоимость продукта в пункте потребления, их сумма дает затраты «а перевозку этого продукта, т. е. в пер­ вом случае условие Vjи, ctJ-имеет больший экономический смысл, чем во втором. Однако во втором случае для определе­ ния коэффициентов строк и столбцов не требуется решать систему уравнений, что ускоряет процесс решения задачи. В дальнейшем мы будем использовать метод коэффициентов.

Дополнительные замечания

Отметим дополнительно ряд моментов, относящихся к ре­ шению транспортной задачи по методу коэффициента (это от­ носится и к методу потенциалов).

1. Если при первоначальном распределении поставок в столбце есть два или несколько одинаковых по величине эле­ ментов матрицы, поставку можно записать в любую произ­ вольно выбранную соответствующую клетку таблицы.

2. Количество занятых клеток всегда должно быть равно

т + п—1.

Если это условие

не

выполняется, то необходимо

дописать

нулевую поставку

(.или поставки) в такие клетки,

чтобы начиная с них

нельзя было построить контур, все вер­

шины которого были

бы также

в занятых клетках.

3.При распределении поставок может оказаться, что в от­ рицательных вершинах контура находятся две или более оди­ наковых по величине минимальных поставки. В этом случае поставка снимается только с одной вершины контура, а в другой такой вершине (или других вершинах) поставка сохра­ няется, но в этом случае она будет равна нулю.

4.Если наименьшая поставка в отрицательных вершинах контура равна нулю, перераспределение поставок состоит в

следующем. Нулевая поставка снимается, а в клетке, к кото­ рой строится контур, записывается нулевая поставка.

5. При нарушении условия оптимальности в нескольких свободных клетках контур строится, как правило, к клетке с

7 - 9 8 1

9 7

наибольшим нарушением. Кроме того, необходимо стремиться, чтобы конфигурация контура была более простой.

6. Общая сумма затрат (или общий грузооборот) по лю бому распределению, в том числе и оптимальному, может быть определена не только суммированием произведений по­ казателей критерия оптимальности на соответствующие по­ казатели поставок, но и другим способом. Он заключается в том, что каждый показатель мощности умножается на коэф­ фициент соответствующей строки, а каждый показатель спро­ с а — на коэффициент соответствующего столбца. При умно­ жении учитываются знаки коэффициентов. Алгебраическая сумма всех этих произведений равна сумме затрат или общему грузообороту по данному распределению.

Л Е К Ц И Я 5

ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ОРГАНИЗАЦИИ И ПЛАНИРОВАНИИ ПУТЕВОГО ХОЗЯЙСТВА

Рассмотрим несколько практических задач, встречающих­ ся в организации и планировании ремонтов и текущем содер­ жании пути.

З а д а ч а I

На дороге имеется четыре путевые машинные станции; выполняющие капитальный ремонт пути; имеется также три щебеночных завода, обеспечивающие участки работ щебнем. Требуется так прикрепить заводы к участкам работы, чтобы был обеспечен минимум тоннокилометровой работы по пере­ возке щебня. Исходные данные задачи приведены в табл. 44.

Наименова­ ние постав­ щиков

 

 

 

 

Таблица 44

Производст­

 

Потребители и их спрос;

 

 

 

 

 

венная

ПМС-1

ПМС-2

ПМС-3

ПМС-4

мощность

 

 

 

 

поставщиков,

 

 

 

 

гп

2Q0 000 m

150 000 m

220 000 m

120 000 m

А,

250 000

10

20

8

15

а 2

200 000

7

25

11

17

А,

240 000

6

18

12

10

По строкам в таблице распределены поставщики, по столб­ цам — потребители.

Суммарная производственная мощность заводов-постав- щиков (690 000 т) равна суммарному спросу всех потребите­ лей. На пересечении строк и столбцов указаны расстояния в условных единицах (это могут быть километры, десятки, сот­ ни их и т. д.) между соответствующими поставщиками и по­ требителями .

7 *

99

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ