Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Смирнова Т.А. Определенный интеграл и его приложения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

1.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

- 57 -

для верхней полуокруяности и

для нижней. Производные этих функ ций соответственно равны:

-X

Ï . fr-

Искоиая поверхность

-я

I R

	- 58	-
I I I . ПРИБЛИЖЁННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ
	ИНТЕГРАЛОВ
При вычислении определенных интеграции нередио
приходится	сталкиваться с одной из следующих трудностей:
1)	соответствующий неопределенный интеграл не вы
ражается через элементарные		функции в конечном виде, или
2)	неизвестно выражается он через элементарные

функции или не выражается, а попытки использовать знако

мые приемы интегрирования не достигает цели,	или
3) процесс вычисления .неопределенного	интеграла
оказывается слишком громоздким и потому неудобным.

В таких случаях пользуются приближенными методами вычисления, обеспечивающими достаточную точность резуль тата .

Рассмотрим некоторые из ѳтих методов.

ФОРМУЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
Пусть дана	функция lj=j-^J	, непрерывная и
иятеовале [іІ,Ь~]	и требуется вычислить	интеграл
	Б

Разделии интервал f u , ê j					точками	Й=.Т„		,	Л*.,	, .Л'
Х}		Х-	5	на И	равных частей		длины		Д.Х	:
	Ь CL
Д Х ~ - — ^ —		.	Обозначим		далее через	1/о	,	і/(	,	ij^
. . . .		значения		функции $-(х)		в точках		Х„ ,		J'{
....	Хк	, т . е .

Составим сумма

LjjX^JX

+ ^àX^

IJH.^X

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для функции f(x) на интервале [Ч,$] и поэтому прибли

женно выражает интегоал:

• г

•и

Это и есть формулн прямоугольников. Вычисление определен ных интегралов но этим формулам геометрически означает, что мы площчди члвментзрных полосгк заменяем ллиіад.о';' соответствующих прямоугольников. Ошибка ^десь будет тем

иеиьше, ѵ м больше Н. , т . е . меныш? ira г деления Л'*'

Погрешность результата, полученного по формуле прямоуголь ников, можно оценить по формуле

						і 1
где	-	наибольшее значение			I f ' W /		в	интерва-
ле [а,Ь]		.
			«ОРМШ ТРАПЩИЙ
				Более		точный	результат
				(при		фиксированном		Я	)
				мы получим,			запенив кривую
				(j=	j-	Iх)	не	ступен
				чатой		линией, как		это	было
				в	формуле прямоугольников,
I — 1 — 1	1	1	1 —і—к	"
х0=а *,	Xj, > • •		и-і гі*в	* а	вписанной		ломаной. Таким
				образом, каждую из элемен
тарных полосок мы заменяем соответствующей							трапецией.
Т . к . сумма		площадей этих		трапеций равна
2

то Е

Эта и есть формула трапеций. Погрешность для формулы трапеций можно оценить по формуле

M 1

« , ,

где

наибольшее

значение

интервале

ФОРМУЛА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ТРАПЕЦИЙ

(Фориула Сиипсона)

Разобьем

интервал

^ Й , $J

на

четное

число

lt-ll+t

равных

частей.

Заменим

дугу

Л^Л(-г

кривой

V ,

соответствующую

двум

интервалам

/ ^ „ . C C j

дугой

параболы,

проходящей

через

три

точки

JlL,(XB,tja)

•

' У/і

/~*"2 ' ^г/

и и

е г ш е

о с

симметрии

параллельную

оси

О У .

Подобные замены произведем также в каждой следую

щей паре интервалов. Тогда заданная криволинейная тра

пеция

заменится

параболическими трапециями,

число

кото-

рых

будет

-с-

• Сумма

площадей

этих

параболичес

ких

трапеций

и дает

приближенное

значение

интеграла

\fix)dz.

- 62 -

Вычислим площадь одной параболической трапеции.

Предположим, что основанием параболической трапеции слу

жит интервал		[~Н,		h,]	, симметричный относительно нача
						ла координат. Уравнение					п а
						раболы	с	осью	параллельной
\						оси О У имеет			вид
\
\
\
Уцон.				W		Искомая		площадь параболичес
						кой трапеции			равна:
						к.
						-к
Коэффициенты						определяются из				условий
прохождения параболы через начальную «очку									дуги	( -А-	,
if	) ,	через		ее	среднюю	точку	(	0, Î/
-'иач.	точку		(	/г '	J icon.	) :
конечную	точку		(	/г '	J icon.	) :
при	J C = - k				У
					\	1
при		£=	0			- с
при		Х = к			1
					4P».
Откуда вытекает, что
		•у				=Ык;+ес,			•
		как			кон.

тогда площадь параболической трапеции будет равна

- 63 -

[h	*чч + 4 )
I - W	JCf. J « W .

Эта формула справедлива для параболической трапеции с лю бым основанием, не симметричным относительно начала коор динат. Действительно, площадь такой трапеции неизменится, если перенести ее параллельно самой себе вдоль оси тан, чтобы середина основания совпала с началом координат.

Возвращаясь		к	первоначальной задаче, найдем	по этой форму
ле	площадь	$	, параболической трапеции,	опирающейся
на	интервалы

и, Аналогично выражаются площади

последующих параболических трапеций:

Сложив почленно все эти равенства, получим выражение,

- б о

дающее приближенное значение рассматриваемого интеграла:

Это и есть формула параболических трапеций (формула Симпсона). Погрешность для формулы параболических трапе ций можно оценить по формуле

где м ч	- наибольшее значение
Если	при приближенном интегрировании задаться опре

деленной степенью точности, то приведенные оценки погреш

ностей позволяют		найти	значение	И.	,	обеспечивающее
эту	точность.
	Заметим, что	для	вычисления	с заданной			степенью	точ
ности по формуле		прямоугольников		надо,	как правило,			взять
большее число точек деления, чем				при вычислении с той же
степенью точности		по формуле трапеций,'			а	для	вычисления
с помощью формулы трапеций - большее число точек, чем'
для	вычисления с	той же степенью		точности по			формуле

Симпсона. Если же мы во всех трех формулах будем произ

водить вычисления с одним и тем же числом точек деления,

то формула Симпсона дает обычно значительно более точный

резжльтат, чем	формула трапеций, а формула трапеций -
более точный,	чем	формула прямоугольников.
' і и и е р . Вычислить		приближенно

		65	-
РЕШЕНИЕ. Разделим			интервал	ft), } ] на 10 рав
ных	частей .	W = o,i ; i		L	5 1
		W = o,i ; i		L	5 1
	і			3	3
					3

					0,90909
4°	I			%	0,76923
	0,50000			fr	0,66667
	1,50000			.4'	0,5082ч
	1,50000				0,52631
				V«	0,52631
				G",	3,4595t
				G",
У»	0,83333			о;	1,50000
У»
	0,71429				13,83816
	0,62500				5,45636
Ht	0,55556			Г	20,79ч52
	2,72818			Г	20,79ч52
в ,	2,72818
в ,
	ftt 2 аг-у-		= " T " 2Ö,WW2*0,693/5".

При том не числе делений по формуле		трапеций
мы бы получили	l i t 2 * 0,69377. На самом
же деле	0,69314718... Таким	образом,

более точный результат дает формула Сймпсона. Точно так se можно вычислить j T = Ч I — 3 ûfcc~--

J l+X

- 66 -

ІУ . Н Е С О Б С Т В Е Н Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы

Понятие определенного интеграла было установлено

для конечного		интервала f < A , 6 j	и Непрерывной	на нем
функции	Цх)	. Однако, нередно	встречается	необходи-
				і

мость обобщения понятия определенного интеграла на случай бесконечного интервала и на случай неограниченной функции.

ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕД ЕМКИ

Пусть

функция

j - f j t )

определена

непрерывна

для всех

значений

Х ^ С І

т . е .. для

Х<

°°

Тогда интеграл

имеет смысл длявсякого

6 >

является

зе.

функцией

от

При

Ь-*

'этот

интег

рал

может

стремиться к

конечному

пределу,

но

может

не

стремиться

ни

какому

пределу или стремиться

к . «>

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

ІІШ

f f W r f x

н а з ы в

а е

т с

н е с о б с т в е н н ы м

и н т е г р а л о м

о т

ф у н к ц и и

(з)

б о

з н

а е

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ