книги из ГПНТБ / Смирнова Т.А. Определенный интеграл и его приложения

17

-

Если ввести обозначение

F(b)-F(&} = F (х) ff

'а.

Примеры: I )

г

ч і 1

.

ь

°

3AUEHA ПЕРЕИЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОЙ ИНТЕГРАЛЕ

g

Пусть

требуется

вычислить

J u

j^JCJ et JC .

г д е ^ ( х /

непрерывна

на

f e i ,

. Сделаем

замену X

-

. Будем считать, что функция

непрерывна

в

интервале

[Л,рЗ

, вместе со своей произ­

водной и что

W«f-j ~ Я-

,

f(P)sb

I а

все промежуточ­

ные значения

функции

f(t)

не

выходят за пределы интер-

Г І . О публичная вал^

. При

этих условиях

иііучгіо - і ѳ хни

. е - к а я

В

р

Окблиот ѳ ка

c o c r

Э К З Е М П Л Я Р

Ч И Т А Л Ь Н О Г О З А Л А

л.

Доказательство.

Пусть

F

-

первообразная для ^-(OC^J

, т . е .

F'(Ь}={(3.),

тогда

функция

4>(tJ = F[f(i)]

будет

первообразной

для f

lf(t)]

Y

'

•

т«к-

Вычислим теперь

оба

интеграла,

входящие

в доказываемуо

формулу :

-

19

-

РЕШЕНИЕ. Сделаем

замену Х ' - а Л «

t ,

тогда

d'X-=(X Costctt

. Вычислим новые пределы ин­

тегрирования

по переменной ~Ь

;

при

3-0

,

£ = Р , т . к . t = сіге

при

•у. п

,

4

£

.

JC-U-

о

°

*

I

1

6

«

f

d[ui))4

[udf+Mit],

а.

.

a

-

Uli I

= F UdÏÏ- Г TfdlL,

f ЫѴ-\іѴІ-\

if dit.

J

V

Jo.

I '

Пример. Вычислить

интеграл

f CoJX-à^-fi^

X<tX.

і

^о!хНт-ИіІ

РЕШЕНИЕ. Полагаем

Тогда CwxdX^dlf,

î T - ^ t K X .

- 21

-

I I . Г Е О М Е Т Р И Ч Е С К И Е

И М Е ­

Х А Н И Ч Е С К И Е

П Р И Л О Ж Е Н И Я

О П Р Е Д Е Л Е Н Н О Г О

И Н ­

Т Е Г Р А Л А

трапеции, ограниченной

кривой

y = £ { r t j

,

осьв ѴХ

и пря­

мыми 3t-CL , "Х=Ь

, выражаетоя

интегралом':

Если 0 > а

и

j.(x)>0

в

интерва-

ле [а,Ь]

,

то

}

f(x)cùr-*p

[й.Ь]

, то }

1[$)<ІХ*0.

a. J

Если функция

j - ( ' £ J

конечное

чис -

^=jT^c) '

л о

Р а з

и е

н я е т

з н а

к в интервале [й,Ь]^

то

нувно

разйить

интервал

[ f l , 6 ]

на

части,

в

каждой

из

которых

J-(x)

-

22 -

не меняет

знака.

Рассмотрим,

например,

функцию изображенную

на чертеже:

• L[%}t-0

в

интервале

f a , c b [ d , 6 j и . p f j c ^ D

в интервале

[c,cij

. В

этой

олучае

площадь,

ограниченная

t Зс" кривой

і

осью

öit

и прямыми Х = \Х

і

,

определяется

следующим

обра-

зом:

л

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой си­

нусоиды

y=JlUX-B

интервале

£(?, \ѣ]

,

ось*

и

пряной

•

РЕШЕНИЕ. Из уравнения

найдем

авйціс~

сы

точек

Пересечения

в з я ­

той

дуги

синусоиды

о о с ь в

ох

Х*0

,

XfX

i t

=- fax] +j- Coi±Jr=i+

l+\-o-

*/=5*R tq.

Часто

кривая,

ограничивающая криволинейную

трапецию,

состоит из нескольких

дуг различных

кривых,

заданных

р а з ­

ными уравнениями. Например>

кривая

состоит из двух дуг,

заданных уравнениями

ij=^('X)

и

tj=ß^(xj

Г Пло­

щадь криволинейной

трапеции

в этом

случае

выразится

оуіі-

23

-

«ой

интегралов:

t

t

Абсцисса "с" точки пересече­

ния дуг находится из уравне­

ния

^ ( ' ^ } =

| ч 1%)

•

<Для

нахождения

абсциссы

"с"

точки

пересечения дуг

нужно решить

совместно уравнения

у =

fj^j

я

^ft(±)

) .

Пример. Вычислить площадь

фигуры,

ограниченной

дугой

пара­

болы

!^2:t*

(±ъО

) ,

прямой

РЕШЕВИЕ. Решая совместно урав ­

нения

t^ =

%*у-3

•

,

находим

абсциссу

точки

пересечения:

(вторая

точка

пересечения

с

отрицательной

абсциссой

нас нё

ЗГ"

интересует).

Очевидно, что абсцисса точки ß

пересечения заданной прямой с осью

ОХ

равна

Ь .

Вычислим

теперь

искомую

площадь:

і-

5

і

о

1

°

i

Плонадь

фигуры,

ограниченной

сверху

кривой

<j=£,(x)

к

снизу кривой

^ = £±(х)

,

как

показано

на чертеже,

оп-

-

2<i -

ределяется как разность

площадей двух криволинейных т р а ­

пеций:

Абсциссы " 0- " и " Ь •• нахо­

дятся из

совместного

решения

£

уравнений

^~ft

'№)

и

В заключение рассмотрим случай, когда

криволинейная

тра ­

пеция ограничена осьв О У

,

пряными

»

(

Ы < Я

)

у

кривой

*

= W y )

(уравнение

кривой

разрешено

относительно

X

).

х = < р ф

Очевидно,

что

площадь такой

трапеции

выражается

интегра­

m

лом:

•jc + i

/ -

2= с

.

РЕШЕНИЕ. Решая

совместно

уравнения параболы

и пряной

f

= X

находим

точки

пересечения:

" ( I ,

I )

и 0», - 2 ) .

В данном^

при

х=а

,

t^o

Следовательно,

когда

изменяется

в интервале

[о,

Ci] ,

t

меняется

в интервале

f j - , p j .

Итак,

IL

Ь

1

f

и S - £ # - 6

к в . е д .

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Рaccuотрип криволинейный

сектdp

,

ограничен­

ный дугой

i ß кривой,

заданной

уравнением

p =

^!^f)

в

полярных

координатах,

и двумя

радиусами

векторам

ѴЛ

и

С б с

полярными углами

и

|3

(

о

і <

^

) .

g

Разооьеи

рассматриваемый

сектор

на

И,

элементар­

ных частей,

имеющих такие

форму

секторов. Пусть

A *Д,

-

центральный угол

элементарного

сектора,

заключенного

между

р а ­

диусами

векторами

Заменяя

каждый

из

эле -