Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Смирнова Т.А. Определенный интеграл и его приложения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

1.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Е с л и

ф у н к ц и я

•f\-x)

е п

р е р

в н а

н a

з а м к н

у т

о »

т е р в а

[a,h)

т о

п р е д е л

и н т е г р а л ь н о й

с у н н ы ,

п р и

с т р е м л е н и и

н а и б о л ь ш е г о

и з

э л е м е н т а р н ы х

и н т е р в а л о в

н у

л и , с у щ е с т в у е т

н е

з а в и с и т

н и

о т

с п о с о б а

р а з б и е н и я

и н т е р в а -

л a

[й,Ь]

н а

е м е

т а р н ы

и н т

в а л ы ,

н и

о т

в ы б о р а

т о ч е к

к а ж

д о м

и з

н и х .

На доказательстве этой теоремы мы останавливаться не будем. '

Из определения определенного интеграла следует, что

аи а

Возвращаясь к рассмотренным	ранее	задачам, мы можем т е
перь записать их решения с	помощьо	определенного интег
рала.		т
		т
Задача I :

Доказательство этой теоремы мояно найти, например, в книге Г . и . Фихтенгольца "Основы математического анализа".

- 8 -

Задача 2:

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО
	ИНТЕГРАЛА	£
Рассмотрим	определенный интеграл	-J-faj	и
		о.
построим график	подинтегральной функции	^-fl^)	в ин-
тервале

ttAHj

ДЗС2

Û0t3

Разобьем

интервал

на элементарные интервалы û i , ,

АУ*

, в

каждом из них выберем соответствен

но

точки

, Х7

J j

JC^

проведем ордина

ты

£{%,)

, j-

( 3 \ )

j-l^-h)

соответствующих

точек

графика

функции

ij-f(x)

Произведения

-f-faj &

, £fàz) & 3-я

> • • • .

' ^ f i ^ l ^ ^ - H

в н Р а з я т

площади

прямоугольников

основания-

j. ми

ДЗ-",,

и с

высотами

.£1%,,)

С К! = І,

) .

Интегральная

сумма

^ ] Х ( Л г ) д Х

B H ^ a 3 m

п л о ш а Д ь

ступенчатой фигуры, составленной из упомянутых прямоу

гольников.

3;і

величину

площади

криволинейной

трапеции ЯВСЧ) f

естественно принять

т . е . g

аь

Итак,	и н т	е г р	а л J	СІХ	в ы р а ж а е т
п л о щ а д ь		к р и в о л и н е й н о й				т р а п е
ц и и ,	о г р а н и ч е й н о й				к р и в о й	у=	,
о с ь ю	ОX	и	п р я л ы л и X-Cl			и : Г - 6
	СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
I . П о с т о я н н ы й				м н о ж и т е л ь		л о ж н о
в ы н о с и т ь			з а	з н а к	о п р е д е л е н
н о г о		и н т е г р а л а , т . е .
			I	6
	С		CL	а
где	С	- постоянная		величина.

Доказательство. Составил интегральную суллу для функ-

к.

Вынося теперь постоянный лножитель за знак суммы, по лучил

Переходя	в этой равенстве к пределу при	,
получаел	доказываемое свойство.

			- 10	-
2. И н т е г р а л			о т	а л г е б р а и ч е с к о й
о у и и и		к о н е ч н о г о			ч и с л а		ф у н к
ц и й	р а в е н		т о й	ж е	с у м м е		и н т е г
р а л о в		о т	с л а г а е м ы х			ф у к н ц и й ,
т . е .
ь			'		Ъ	Ь	I
\ ff (х)-^у-			•* "\lx)]dx^(x)dx-^xdx-				jpjdx.
а				о-		п.	а.

Доказательство. Рассматривая интегральнус сумму, сос тавленную для функции f-{x)-^f(x)*-*^(x) , получим:

Переходя	к пределу	при	Г П а х Л Х — 0 , получаем до
казываемое равенство.
3. Е с л и	а<с<	Ь	, ю
	Ь	с	g
	(f(x)dx=\f(x)dx*jl(x}dx.
	а	а	с.

Доказательство. Составляя интегральную сумму для функ

ции f-[x)		,	будем	разбивать		интервал [О-,^]	на tl
частей	так,		чтобы	точка	С	была одной из точек де
ления.	Пусть		С -	Хь	. Тогда

		-	I I -
Переходя к пределу			при	f)itt£&%^L> , убеждаемся в
справедливости доказываемого свойства,
	о.
В	этом случае длина интервала интегрирования				(Х-(Х-О	,
а	тогда все элементарные			интервалы А ^ С К -	0
(	к- 1,2,.,.,	Ну ) . Следовательно интегральная			сумма
в	ее предел	равны нули.

5. П р и	п е р е с т а н о в к е						п р е д е л о в
и н т е г р и р о в а н и я						и н т е г р а л					м е
н я е т	з н а к , т . е .
		в
Действительно,		разделим интервал [tij'^						на		И.	равных
частей . Тогда в первом					случае
hX = ^j^~		>Ö I			т . к .	b'p-Q. , а		во	втором -
Û ^ = ^ Ô - <		Q	t	а	значения		функции	I	(Хл)		оди-
	Н
наковы. Поэтому		интегральные суммы, а следовательно,
1 рассматриваемые			определенные				интегралы,			оставаясь
равными по абсолитной					величине,		будут	противоположны
по знаку.
б . ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ.				Е с л и		ф у н к ц и я				f	( х )
н е п р е р ы в н а					в з а м к н у т о м					и н -
т е р в а л е						в	э т о м			и н т е р
в а л е	н а й д е т с я					п о	м е н ь ш е й				м е
р е	о д н о	з н а ч е н и е					£ ~ С , д л я				к о
т о р о г о		с п р а в е д л и в о						с л е д у ю -

-12 -

ще е р а в е н с т в о :

				b-a		'
Доказательство. Функция					£ ( т - )	,	непрерывная		на замкну
том интервале				, принимает			на этой интервале
наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соот
ветственно		через	Ці	и	ж , .
	Тогда	ln*£(T.)4jL			и
ИЛИ
		Х-		К.				*С	.
Т.к.	/ /\% =V~Cl			,	то переходя			к пределу при
и и і х О		• получаем:
					6
		ni(h-a)*\				{(x.)dx<jll(ê-a)
или
				.		-	i	t .
				6 -	a
Знаки	неравенств		не изменились,			т . к .		Ь-~&~УС
Осіознвчих		f

Г - a

Тогда lUAjlLiM.

Т Р Ч , непрерывная на замкнутом-интервале [й,$] функция

			13	-
j.[Je)	примет по крайней нере один раз значение равное
в	некоторой	точке	интервала		\| u , Ь]	, т . е . найдется
тако е	С	« <С	<Ь	),	что	f.(c)°fll
или		Ь

	о-а	•..fie),	(а^с.
	о-а
Отношение, стоящее в левой части доказанного равенства
называется	с р е д н и й	з н а ч е н	и е н	функции
^{•х} на	интервале
Теорема о среднем имеет простой геометрический смысл:
если кривая	fl& является	графиком функции		у=£(х)	,

то всегда	найдется, по крайней		мере,одна точка с абсциссой
Х=С (	0.£С&Ь	) такая,	что площадь прямоугольника с
основанием ( Ь-О.		) и высотой	£ ( c j	будет равна плоша-
ди криволинейной		трапеции fljHBBi		, т . к .

О ВЫЧИСЛИМ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Определение понятия определенного интеграла содержит в себе прямое указание и на способ его вычисления, а именно, нужно составить соответствуищус ему иятегрр тьнуо сумму я вычислить ее предел.

- lu -

Однако, этот путь приводит к громоздкий вычислениям, причем во многих случаях вычислительные трудности стано вятся практически непреодолимыми.

Указанные соображения толкаю; на поиски иного, как

мы увидим, принципиального					нового пути			вычисления опреде
ленного	интеграла.
Этот новый путь опирается на связь определенного ин
теграла	с неопределенным. К установлению								этой	связи мы
сейчас	и перейдем.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ. ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ
			ПРЕДЕЛОМ
					•fc
Рассмотрим			интеграл		j j.[x)dx			с	переменным		верх
ним пределом		"t	от функции					непрерывной			на
[Cl, I].	Этот	интеграл		является		функцией			переменной		"t .
Обозначим эту		функцив		через			,	т . е .
				і
ТЕОРЕМА . П р о и з в о д н а я							о п р е д е л е н н о г о
	и н т е г р а л а				п о			в е р х н е м у
	п р е д е л у				р а в н а			п о д и н т е г -
	р а л ь н о й				ф у н к ц и и , в					к о т о
	р у ю		в м е с т о			п е р е м е н н о й					и н
	т е г р и р о в а н и я						п о д с т а в л е н о
	з н а ч е н и е				в е р х н е г о					п р е д е
	л а	,	т . е .		(.

		15
Доказательство. Производная		<р(і)--&.t*i			.
				At -"О	At
Дадим переиенной t	приращение		àt	. Тогда
a		i '	i i	t.

аФ(Ь)=Ф(ЬМ]-*(і)-\ fh.}dx-jf(x)dx-

Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получим it at.

Разделив на Д £

находим

b<t>(t)._J±JJc) _,, ,

	АН~0	A t	АІ~6		'
	t û t .
Следовательно,	c ^ f ' t ) = / f t j			• Теорема доказана.
ЗАМЕЧАНИЕ. Из доказанной теоремы,				в частности,		следует,
что	всякая	непрерывная		функц"	имеет	первооб
разную. Действительно,				если £('х}		непрерыв
на на [а,%]		,	то существует		определенный
		X
интеграл IfMdx\L{X-)d.X				, т . е . существует

функция Ф l'XJ - J j(-xjdx

					-	16	-
		ФОРМУЛА НЬЮТОНА -					ЛЕЙБНИЦА.
	Функция			Ф(і)"-" J ^.(TJdx					есть первообразная		ДЛЯ
0	,	т . е .		411)^1*.)
	Пусть		F (h) -		какая	нибудь		из	первообразных	для
		, тогда		Ф (lj	содержится			среди функций F		(і)+С	,
т . е .
ИЛИ				і
где	Сj	- некоторая			определенная			постоянная. Для ее отыс
кания	положим		в	последней		равенстве			Ь - CL '•
				а.
Отсюда		C-JÏ-F/Û.)			и

. получим формулу

a	1
\|которая называется	формулой	Н ь в т о н а - Л е й б н и -
і.ц а .

Из этой формулы следует, что величина определенного интеграла равна разности значений любой из первообразных подинтегральной функции, вычисленных при верхнем й нижнем пределах.

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ