книги из ГПНТБ / Сергеев В.И. Исследование динамики плоских механизмов с зазорами

ность воспользоваться библиотекой стандартных программ вычис­ лительной машины. В данной программе используются стандартные программы СП 337 и СП 702 соответственно для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка методом Рунге — Кутта четвертого порядка и вывода результатов расчета в виде гра­ фиков, отпечатанных на алфавитно-цифровом устройстве широкой печати АЦПУ-128 символами кода Гб.

Автокодовая программа была отперфорирована на восьмипо­ зиционной бумажной перфоленте и затем введена в вычислительную машину. После формирования транслятором команд на языке ма­ шины и построения рабочей программы последняя была выведена на перфоратор и в дальнейшем использовалась в качестве основной рабочей программы. Это позволяет сократить непроизводительные затраты машинного времени, необходимого на установку магнитных лент с транслятором, подготовку вычислительной машины к работе в режиме АВТОКОД и трансляцию автокодовой программы.

Для записи автокодовых программ используется второй между­ народный телеграфный код, это накладывает определенные огра­ ничения на использование символов при записи программы. Так, простые переменные можно обозначить только заглавными бук­ вами латинского алфавита и арабскими цифрами. Поэтому все математические формулы необходимо переписать с учетом этих требований. Например, угол поворота кривошипа а был обозначен в автокодовой программе через AL, угол у — через G, длина криво­ шипа I — через EL и т. д. В дальнейшем каждый раз будут да­ ваться соответствующие пояснения.

Автокодовая программа начинается с резервирования ячеек памяти вычислительной машины, необходимых для последующей записи в них результатов расчета при формировании графиков, размещения промежуточных данных при работе стандартных программ СП 337 и для формирования массивов результатов расчета для печати таблиц на АЦПУ-128. Это резервирование ячеек про­ изводится оператором МАССИВ. Затем следует оператор ВВОД, который задает исходную информацию: параметры механизма, начальные условия, точность, с которыми должны решаться уравне­ ния движения, и т. д.

В общем моделирующем алгоритме перечисленные выше опера­ торы соответствуют арифметическому оператору А х. Далее следует оператор ВЫВОД, который строит команды выдачи на печать чис­ ленных значений переменных, перечисленных в операторе ВВОД.

Обращение к стандарной программе СП 337 строится следующим образом. Прежде всего с помощью оператора ВЫЧИСЛИТЬ пере­ менной В2, равной значению независимого переменного, при кото­ ром требуется получить решение системы дифференциальных урав­ нений, присваивается значение Я + АЫ , где Я — постоянный ин­ тервал, через который будут выдаваться на печать результаты ре­ шения системы дифференциальных уравнений, а AL1 — начальное значение независимого переменного.

51

Ранее с помощью оператора МАССИВ были зарезервированы ячейки памяти А (3), в которых должны быть размещены текущие значения независимого переменного AL1, угла т и угловой скорос­ ти т- Теперь же с помощью оператора ВЫЧИСЛИТЬ эти ячейки памяти заполняются соответствующими начальными условиями

«о, То и ТоЗатем с помощью оператора ВЫЧИСЛИТЬ, который производит

операции с переменными целого типа, задается некоторое целое

начальных условий, промежуточных результатов и результатов расчета. Все массивы одномерные и содержат соответственно 3, 27и 3 ячейки памяти. Массив А уже заполнен начальными условиями, массив В используется в процессе работы стандартной программы для хранения результатов промежуточных расчетов, а массив С заполняется при вычислении правых частей системы дифференциаль­ ных уравнений.

После каждого шага интегрирования в ячейках массива А хра­ нятся значения независимого переменного, угла у и угловой ско­ рости f , которые используются в качестве начальных условий при интегрировании уравнений движения на следующем шаге. В мас­ сиве С содержатся значения правых частей системы уравнений, которые можно использовать для дополнительных вычислений, например при вычислении значения реакции в паре 1—2. Кроме того, в ячейках массива В хранятся значения координат и незави­ симого переменного, вычисленные на предыдущем шаге интегри­ рования уравнений движения.

Простая переменная Е задается в операторе ВВОД, ее числен­ ное значение равно требуемой точности решения системы дифферен­ циальных уравнений. Соблюдение заданной точности' проверяется следующим образом. Значения переменных, вычисленные с некото­ рым шагом изменения независимого переменного, сравниваются со значениями тех же переменных, полученных после двух последова­ тельных просчетов, но уже с половинным шагом изменения незави­ симого переменного. Если результаты этих двух расчетов отлича­ ются друг от друга не более чем на Е, то за конечный результат принимаются значения, полученные при расчетах с половинным шагом, а затем выполняется следующий шаг интегрирования.

Если же результаты двух последовательных расчетов с целым и половинным шагами разнятся более чем на Е, то вычисления вновь повторяются, но теперь в качестве целого шага интегрирования вы­ бирается половинный шаг, с которым производился расчет до этого. Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будут получены

52

результаты двух последовательных просчетов, удовлетворяющих заданной точности.

При этом, если заданная точность слишком мала, происходит останов вычислительной машины, поскольку дробление шага изме­ нения независимого переменного не может быть сколько угодно малым. Иногда оказывается возможным избежать подобного рода остановов машины подходящим изменением масштаба независимого

переменного. Так, в настоящей задаче замена і = У А f приводит к тому, что не происходит останова машины при точности интегри­ рования уравнений движения до КГ®. При подобном масштабиро­ вании независимого переменного значения второй производной у, определяемые по формуле (79), уменьшаются по сравнению со зна­ чениями, вычисленными по формуле (76), в ІО4—ІО5 раз, т. е. на четыре, пять порядков.

Вычисление правых частей уравнений движения, соответствую­ щих замкнутой кинематической цепи, производится в подпрограм­ ме, обозначенной в автокодовой программе меткой 3. В этой же под­ программе, носящей название НЕСТАНДАРТНЫЙ БЛОК 1, зна­ чения правых частей дифференциальных уравнений записываются в соответствующие ячейки массива С.

Последним оператором, которым заканчивается формирование обращения к стандартной программе СП 337, является оператор ВЫЧИСЛИТЬ, который присваивает простой переменной В2 новое значение В2 + Я, при котором необходимо получить решение на следующем шаге. Таким образом, в процессе работы стандартной программы СП 337 будут получены решения уравнений движения через равные интервалы Я изменения независимого переменного. Величина этого интервала задается в исходной информации. Не­ стандартная часть I общего моделирующего алгоритма и блок-схемы программы на рис. 6 соответствует набору операторов автокодовой программы, объединенных в подпрограмму НЕСТАНДАРТНЫЙ

БЛОК 1.

Недостатком стандартной программы СП 337 является невоз­ можность получить решение с переменным шагом, что значительна) увеличивает машинное время. В пределах заданного интервала не­ зависимого переменного решение уравнений движения произво­ дится с переменным шагом с заданной точностью, однако результаты этих расчетов невозможно вывести на устройство печати. Поэтому нельзя задавать достаточно большой шаг изменения независимого переменного, поскольку в этом случае в выходной информации бу­ дут отсутствовать данные о резких изменениях искомых функций, если таковые имеются в промежуточных точках, а при очень малом шаге изменения независимого переменного приходится мириться с увеличением машинного времени. Можно с помощью дополни­ тельных логических операторов организовать выдачу результатов расчета через неравные интервалы изменения независимого пере­ менного, однако это приведет только к сокращению объема печати, но не машинного времени.

53

Аналогично строятся команды обращения к СП 337 при реше­ нии уравнений движения, соответствующих разомкнутой кинема­

и (4), а в четвертую и пятую— начальные условия г/0 и у 0 согласно

мы программы на рис. 6, описывающая динамику конкретного меха­ низма при разомкнутой кинематической цепи, соответствует опе­ раторам автокодовой программы, объединенным в подпрограмму НЕСТАНДАРТНЫЙ БЛОК 2.

При решении уравнений движения при замкнутой кинематиче­ ской цепи на каждом шаге интегрирования уравнений движения вычисляются значения реакции R (в обозначениях автокодовой программы — REAK)- Затем с помощью оператора ЕСЛИ это зна­ чение сравнивается с нулем следующим образом:

ЕСЛИ REAR (= О ТО 5х,

т. е. если значение R меньше или равно нулю, то управление пере­ дается оператору с меткой 5. Таким оператором в автокодовой программе является оператор печати координат точки отрыва. Затем управление передается оператору, вычисляющему началь­ ные условия для уравнений свободного движения. Если же значе­ ние R больше нуля, то управление передается оператору, непосред­ ственно следующему за оператором ЕСЛИ, т. е. продолжается дальнейшая обработка результатов решения уравнений движения с контактом. Передается управление подпрограмме ВЫЧИСЛЕНИЕ RD, в которой определяется значение реакции в шатунном под­ шипнике идеального механизма, вычисляются значения ошибок положения, скорости и ускорения механизма с зазором.

Далее следуют операторы, строящие обращение к стандартной программе построения графиков СП 702. Эта стандартная програм­ ма позволяет получать результаты расчетов в виде графиков, от­ печатанных на АЦПУ-128 символами кода Гб. Масштаб этих гра­ фиков выбирается автоматически самой машиной по максимальной и минимальной величинам изображаемых функций. Поэтому, если максимальные значения выводимых на график функций намного отличаются друг от друга, следует производить масштабирование переменных. Так, при выводе на один график координаты х точек контакта пальца шатуна и поверхности подшипника кривошипа в подвижной системе координат хоу и угловой скорости т максималь­ ные значения этих функций могут отличаться примерно в ІО7 раз. Следовательно, для того чтобы представить результаты расчетов

54

в наглядной форме, требуется на график вывести не координату х, а величину ІО7 х. Пример такого графика дан на рис. 7.

Прежде чем строить непосредственное обращение к СП 702, требуется заполнить данными расчетов зарезервированные ячейки памяти и сформировать соответствующие одномерные массивы дан­ ных. Графики будут отпечатаны только тогда, когда полностью за­ полнятся указанные ячейки памяти. Эта часть автокодовой програм­ мы имеет вид

ВЫ ЧД£А/<2///=300. COG AL2/J/=Y3RD/K/—Aß/. 0M:DEL'

(1 : 2) X

С помощью этих операторов строится обращение к СП 702. После просчета уравнений движения в 150 точках на АЦПУ-128 будут

При решении поставленной задачи требовалось, предусмотреть задание произвольной функции F. Если известно аналитическое выражение для этой функции, то она вычисляется в автокодовой программе довольно просто с помощью оператора ВЫЧИСЛИТЬ. Так, кусочно-постоянная функция Е (а), равная некоторому зна­ чению Q при а ;> я и — Q при а ■< я, задается следующим обра­ зом:

ЕСЛИ SIAL (0 ТО 11х ВЫЧ F = Qx

ПЕР 20х

55

Г л а в а III

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ КРИВОШИПНО-ПОЛЗУННОГО МЕХАНИЗМА С ЗАЗОРОМ В КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ПАРЕ КРИВОШИП - ШАТУН

Сравнение динамических характеристик идеального механизма и механизма с зазором

Для идеального механизма при заданном законе движения его ведущего звена можно вычислить положения, скорости, ускорения всех его звеньев или произвольных точек последних. Зная парамет­ ры механизма и ускорения центров масс отдельных звеньев, можно также найти силы инерции звеньев, а затем из кинетостатического расчета определить силы реакции в кинематических парах в любом положении механизма.

Сила реакции в шатунном подшипнике идеального кривошипноползунного механизма вычисляется по формуле (86) одновременно с решением уравнений движения рассматриваемого механизма с зазором. На рис. 8 показаны графики реакции R „ в шатунном подшипнике идеального механизма (рис. 8, а) и составляющие этой

реакции: R " — вдоль шатуна (рис. 8, в) и Rl — перпендикуляр­ но к нему (рис. 8, б). Кривая 1 соответствует кривошипно-ползун­ ному механизму со следующими параметрами: длина кривошипа

теми же значениями параметров, за исключением величины со, ко­ торая в этом случае равна 3 сект1. Эти расчеты проведены для ненагруженного механизма. Следовательно, в данном случае при расчете силы реакции в шатунном подшипнике следует учитывать только силы инерции ползуна и шатуна. О величине этих сил инер­ ции, а также о величине момента сил инерции шатуна можно судить по значениям соответствующих ускорений поступательного движе­ ния центра масс шатуна и ползуна и углового ускорения шатуна.

Графики угловой скорости ß0 и углового ускорения ß0 шатуна в зависимости от угла поворота кривошипа а при со = 3 сек;-1 приведены на рис. 9, а графики ускорения центра масс ползуна

Аз, проекций на оси X и Y ускорения поступательного движения центра масс шатуна приведены на рис. 10. Из анализа этих рисун­ ков следует, что угловое ускорение шатуна ß0 и проекции ускоре­

ния шатуна на ось Y (К°) достигают минимального (отрицатель-

57

ного) и'максимального (положительного) значений при углах пово­ рота кривошипа а, равных соответственно 90 и 270°, а ускорения

ползуна; Х3 и проекция ускорения центра масс шатуна на ось X

(Xs) при этих значениях а близки к нулю. Следовательно, величина реакции в этих точках определяется главным образом моментом сил инерции шатуна и проекцией его силы инерции на ось Y. Это замечание понадобится в дальнейшем при анализе движения паль­ ца шатуна в поле зазора подшипника.

Из анализу графиков изменения реакции Ru в шатунном под­ шипнике (см. рис. 8) следует, что она достигает своих минимальных значений при углах поворота кривошипа, несколько меньших 90° и несколько больших 270°. Реакция R„ может обратиться в нуль только в тех точках, где одновременно обращаются в нуль нормаль­ ная и тангенциальная составляющие. Как следует из рис. 8, этого нигде не происходит при заданных параметрах механизма. Ес­ тественно, при следующем обороте кривошипа графики изменения реакции R„ и ее составляющих будут теми же самыми, что и на первом обороте. Максимальное значение величины реакции Ru при данных параметрах механизма и со — 5 сект1 составляет немногим больше 5 000 я.

Как следует из графиков на рис. 8, основной вклад в значение

58

генциальной составляющей и совпадает с нею по направлению. Таким образом, сила, действующая на шатун в этом положении механизма, направлена вертикально вниз, и“если бы в этот момент произошло нарушение удерживающей связи между шатуном и кривошипом, то палец шатуна продолжал бы двигаться в вертикаль­ ном направлении.

На рис. 11 показаны направления и величины реакции в паре кривошип — шатун, построенные в соответствии с графиками на рис. 8 для некоторых положений ведущего звена механизма.

Ниже показано, что при наличии зазора в паре кривошип — шатун эта картина существенным образом изменится, так как дви­ жение пальца шатуна в подшипнике будет описываться дифферен­ циальными уравнениями относительно добавочных координат и определяться при прочих равных условиях величиной зазора и силами трения в паре 1—2. При этом обращение реакции в нуль, размыкание кинематической цепи и переход к бесконтактному дви­ жению вероятнее всего ожидать в окрестностях углов поворота кривошипа а = 90 и 270°.

Как следует из рис. 8, б (кривая 2), тангенциальная состав­

ляющая реакции в шатунном подшипнике Rl при меньшей угло­ вой скорости вращения кривошипа имеет постоянный знак, а имен­ но всегда положительна. Это говорит о том, что в рассматриваемом случае при относительно малой угловой скорости вращения криво­ шипа силы инерции шатуна недостаточны для того, чтобы при на­ личии неудерживающей связи в паре кривошип — шатун вызвать продолжение движения пальца шатуна внутри поля зазора, т. е. привести к размыканию кинематической цепи.

Перейдем к исследованию влияния зазора в шатунном подшип­ нике кривошипно-ползунного механизма, сделав предварительно некоторые замечания, связанные со специфическими условиями рассматриваемого типа механизма.

При решении уравнений движения механизма с зазором в ка­ честве исходной информации для вычислительной машины задаются параметры механизма и начальные условия, при которых начи­ нается движение механизма. Для сравнения с результатами расче­ та идеального механизма воспользуемся теми же его параметрами. В качестве начальных условий выберем нулевые, при которых криво­ шип и шатун расположены на одной прямой и зазор полностью

59

выбран. Наличие в моделирующем алгоритме соответствующих операторов анализа особых положений механизма дает возможность выбирать любые начальные условия. Угловая скорость относитель­ ного движения пальца шатуна по поверхности подшипника прини­ мается в начальный момент также равной нулю. Таким образом, выбранные начальные условия соответствуют тому случаю, когда движение начинается при а = у = у = ß = 0 .

Для решения рассматриваемой задачи необходимо еще задать значения коэффициентов трения kTP£, точности интегрирования

уравнений движения Е и приращения независимого переменногоДалее выбору приемлемой точности интегрирования уравнений

Рис. 11

движения будет посвящен специальный параграф. Здесь положим ее равной ІО“4. Шаг изменения независимого переменного Я вы­ бирается на основе предварительных расчетов траекторий движе­ ния. При этом, с одной стороны, он должен быть относительно большим, поскольку при очень малом шаге изменения независимого переменного резко возрастают затраты машинного времени. С дру­ гой стороны, этот шаг должен быть достаточно малым, чтобы не происходило потерь необходимой информации на отдельных участ­ ках решения уравнений движения.

Так как заранее ничего не известно о частотных свойствах иско­ мых зависимостей величины реакции в шатунном подшипнике кривошипно-ползунного механизма с зазорами и соответственно угловой скорости у, а также ряда других искомых функций, то предварительно проводился просчет отдельных вариантов задачи с разными шагами изменения независимого переменного. В резуль­ тате предварительных расчетов была принята величина Я =

поворота а в программе была предусмотрена возможность запол­ нять ячейки памяти соответствующих массивов расчетными дан­ ными, через заданное число точек, выбирая тем самым соответствую­ щий масштаб изображения по оси а. Кроме того, этот масштаб мо­ жет быть изменен выбором другого значения Я.

Коэффициенты трения /гтр/ в паре кривошип — шатун входят в качестве сомножителя при определенных членах уравнения дви­

60