книги из ГПНТБ / Сергеев В.И. Исследование динамики плоских механизмов с зазорами
.pdfконтакта, которое представим так:
Т = Фі0‘, Т, Т)/АФа V, у, у), |
(76) |
где
Ф2 = М2 sin2 у + М3tg ß sin 2у + М0cos2 у -
_________ т -і (feTp sign т + ^Tpj + ferpj2)
2 [sin X -j- (6Tpi sign у ■ Лр,Т+^гр1Ті)5>п‘'і]
X
X |
cos 7 |
COST |
tg |
ß) sin т + |
cos 7 |
COS ß ]. (77) |
|
|
[ 6cos ß - \ Sln T ^ |
~ 2 ~ |
16 |
*4 |
1 |
~ 2 |
|
В (76) через Фх обозначено выражение, стоящее в правой части уравнения (75).
Исследование неопределенных положений кривошипно-ползунного механизма с зазором и преобразование уравнений движения
Входящая в (76) функция Ф2 (t, у, у) сложным образом зависит от обобщенных координат и параметров механизма. В процессе дискретного счета на ЭЦВМ возможны такие сочетания текущих значений координат и параметров механизма, при которых Ф2 (t, у, у) может обратиться в нуль или оказаться настолько малой ве личиной, что произойдет переполнение разрядной сетки вычисли тельной машины при расчетах текущего значения у по формуле (76). Это характерно для так называемых неопределенных положе ний механизма, в которых кривошип и шатун расположены на од ной прямой.
Если Ф2 = 0 при некотором значении независимого перемен ного t, координаты у и ее производной у, то при тех же самых зна чениях независимого переменного, производной у и сколь угодно мало отличающемся значении координаты у это равенство нарушит ся. Это следует из кусочной непрерывности функции Ф2 (t, у, у). Таким образом, достаточно изменить только одну координату у, чтобы нарушилось равенство Ф2 = 0 и оказалось возможным про водить вычисления по формуле (76).
Аналитически определить точки, в которых функция от трех переменных Ф2 (t, у, у) обращается в нуль, в рассматриваемом случае представляет очевидные трудности [67]. Поэтому в нестан дартную часть общего моделирующего алгоритма следует вклю
чить |
специальный оператор, проверяющий это условие, иначе при |
Ф2 = |
0 будет происходить останов вычислительной машины по пере |
полнению. Можно предложить несколько способов функциониро вания моделирующего алгоритма при обращении Ф2 (t, у, у) в нуль.
В настоящей работе используется следующий алгоритм изме нения у. Если при некоторых текущих значениях переменных tk,
У*, У& оказывается, |
что Ф2 = 0, то управление передается |
опера |
тору, проверяющему изменение координаты ук по формуле |
|
|
У* = Та+ Та{h ~ |
4-і)- |
(78) |
41
Таким образом, вместо прежних текущих величин у*, уй,- 4
вформулу для вычисления Ф2 будут подаваться новые их значения ffe. Т*. 4. в которых изменена только координата на величину, равную произведению скорости ее изменения на приращение неза висимого переменного на предыдущем шаге. Поскольку это прира щение достаточно мало, то оно не может оказать какого-либо су щественного влияния на величину второй производной у. Однако этого изменения достаточно, чтобы избавиться от неопределенности
вформуле (76).
Таким образом, оказывается возможным пройти неопределен ные положения рассматриваемого механизма.
Включение в моделирующий алгоритм указанного выше опера тора изменения координаты у позволяет также не проводить пред варительного анализа возможных комбинаций исходных начальных условий. Останова вычислительной машины не произойдет при любых физически допустимых начальных условиях.
Следует сказать, что при численном решении большого количе ства вариантов рассматриваемой задачи не наблюдалось ни разу обращения Ф2 в нуль в процессе счета. Это говорит о том, что либо при рассматриваемых сочетаниях параметров механизма знамена тель в выражении (76) нигде в нуль не обращается, либо, что более вероятно, при дискретном счете численными методами решение не попадало в те точки, где Ф2 (t, у, у) = 0.
Однако при задании некоторых исходных начальных условий, в частности соответствующих неопределенному положению меха низма, работа вычислительной машины оказалась возможной толь ко после того, как в программу был введен описанный выше алго ритм изменения координаты у, и после проверки условия Ф2 = 0.
Уравнение (76) имеет еще одну особенность — в знаменателе в качестве общего множителя стоит малая величина А, равная за зору и имеющая порядок ІО-4—ІО-5. Это приводит к тому, что при расчете на ЭЦВМ также могут происходить остановы при обращении к стандартной программе решения дифференциальных уравнений методом Рунге — Кутта. Остановы происходят в тех местах тра екторий движения, где вторая производная достигает своих макси мальных значений. Во избежание этого, требуется провести масшта бирование в формуле (76) так, чтобы избавиться от малой величины А в знаменателе. Это достигается заменой либо независимого пере менного t, либо функции у. В первом случае целесообразно сделать
следующую замену: t — Y A4. Тогда у, = т>/|/"Д и |
уtt = уш'/Д |
|
и уравнение (76) можно записать в виде |
|
|
т' = Фі (*', |
т. тО/ф ^ ' . т, V'), |
(79) |
где штрихом |
обозначено дифференцирование по новому |
аргументу |
t'. Во втором случае следует перейти к новой функции ело формуле у = е/А. Подобным масштабированием удается избежать останова вычислительной машины, однако' в первом случае при замене не-
42
Зависимого переменного еще происходит и сокращение машинного времени примерно в два раза. Подобного ускорения расчетов при замене функции не наблюдалось.
Окончательные результаты расчетов удобнее представить в виде
зависимостей от угла поворота кривошипа а |
= соt или а = со У At'. |
В уравнении движения с контактом (75) |
и в уравнениях свобод |
ного движения (73) в знаменатель некоторых слагаемых входит тригонометрическая функция вида cos ß. Поскольку из условия проворачиваемое™ рассматриваемого механизма следует, что не равенство I ß I <С я /2 выполняется при любых значениях угла по ворота ведущего звена а, то cos ß нигде в нуль не обращается. Из геометрических соотношений в механизме можно выразить его значение через параметры механизма и обобщенные координаты следующим образом:
cos ß = -j- Y Р — (г sin а + г/)2
или в полярной системе координат
cos ß = Y Р — (r sin а + Д sin у)2.
Соответственно tg ß определяется формулами
tgß = |
г sin а |
у |
|
— (г sin a -j- у)* |
|||
|
|||
tgß = |
г sin ot + |
A sinT |
|
V Іг— (г sin а -j- Д sin Т)2 |
|||
Большинство стандартных программ решения обыкновенных дифференциальных уравнений построено таким образом, что для применения их требуется привести исходное дифференциальное уравнение к нормальной форме Коши. Вводя новые переменные
f ,:= Ti. X = xlt у = уъ приведем полученные дифференциальные уравнения движения второго порядка к системе дифференциаль ных уравнений первого порядка, записанных в нормальной форме Коши:
t = |
Т ь |
Т і = ' Ф і (t', г , Г і) / Ф 2 (t', Г , r'i) |
(80) |
и |
х1г |
i'l = (Mab2 tg ß — VW0)/D, |
у = ylt |
X = |
|||
Ух = |
(M.aba |
tVlab1 tg ß)/72. |
(81) |
Можно было бы для получения явной зависимости старшей производной у от координат и параметров механизма воспользо ваться также стандартной программой решения линейной системы алгебраических уравнений, однако при этом непроизводительно увеличиваются затраты машинного времени. Поэтому целесообразно
43
вначале аналитически привести уравнений движения к нормальной форме Коши, а затем решать полученную систему дифференциаль ных уравнений на ЭЦВМ.
В рассматриваемой задаче кинетическая энергия звеньев меха низма, выраженная через обобщенные координаты, является квад ратичной функцией от обобщенных скоростей, поэтому в уравне ния движения, полученные из уравнений Лагранжа второго рода, вторая производная от обобщенной координаты входит в первой степени, следовательно, эти уравнения легко разрешимы относи тельно старшей производной. Введением новых переменных, как было показано ранее, исходное уравнение движения просто преоб разовать к нормальной форме Коши.
Прежде чем решать задачу на ЭЦВМ, следует ее максимально упростить с аналитической точки зрения и поручать вычислитель ной машине только те операции, которые либо невозможно выпол нить аналитически, либо требуется значительное время. Это сокра щает непроизводительные затраты машинного времени и упрощает отладку программы.
При определении координат нарушения контакта и восстановле ния последнего следует воспользоваться формулами (2) — (7), опуская всюду индекс 1. При этом нужно иметь в виду, что произ водная jt, полученная из решения уравнения (75), связана с про
изводной j't соотношением ft = ту/ДЧ
Остановимся теперь более подробно на анализе формулы (74) для вычисления значения реакции в паре 1—2 при замкнутой ки нематической цепи. В этой формуле при некоторых значениях углов ß и і возможно обращение в нуль знаменателя
T i = sin (ß + Г) + (£TPl sign у + £трj + &трj 2) cos (ß + i). (82)
Поскольку значение реакции R, определяемое формулой (74), является непрерывной функцией обобщенных координат и пара метров механизма, то в указанной формуле возможна неопределен
ность только вида -jj-при обращении правой части (82) в нуль.
Можно аналитически раскрыть эту неопределенность и показать, что в этом случае R = 0. В принципиальном отношении указанный вид неопределенности может быть разрешен путём введения соот ветствующих корректив в программу. Однако, по-вйдимому, про ще всего поступить следующим образом.
Для того чтобы при вычислениях на ЭЦВМ не произошло оста нова по переполнению, необходимо проводить проверку условия T-L = 0 до вычисления R по формуле (74). И если окажется, что на данном шаге вычисления 'Fx = 0, то вычислять значение R по дру гой формуле, в которой бы отсутствовала указанная неопределен ность. Для вывода ее приравняем нулю сумму проекций сил на ось X, действующих на шатун и ползун с учетом сил инерции ползуна и шатуна. Согласно рис. 3, получим
— R cos у — Frр sin і + Рях +.РЯЗХ+ F = 0, |
(83) |
44
где Р»х = —т2Х 3,Р„ал-= —т3Х 3,а FTp определяется равенством
(1). Из геометрических соотношений для рассматриваемого меха низма координата центра масс ползуна Х 3 определяется следующим образом:
Х3 = г cos a + A cos у -f- I cos ß.
Дважды дифференцируя последнее равенство по времени, полу
чим |
|
|
|
|
|
|
|
Хз = |
— reo2 cos а — Д (у sin у + |
у2 cos у) — / (ß sin ß + ß2 cos ß). |
|||||
Проекция |
ускорения |
центра |
масс шатуна X s, |
угловая |
ско |
||
рость |
ß |
и угловое ускорение ß вычисляются по формулам (25), |
|||||
(21) и |
(27), |
в которых |
следует |
положить Д3 = 0, |
ij3 = 0, |
х = |
|
= — Д(у sin у + у2 cos у). Разрешая уравнение (83) относительно R, получим другую формулу для определения величины реакции в паре 1—2:
F |
— m2Xs — т 3Х з |
R = (feTPi sign г + |
(84) |
kTpj + krpj 2) sin T - cos r |
Знаменатель этого выражения также может обратиться в нуль при
определенных значениях углов а и у |
и производной ф, однако |
эти значения будут не такими, как те, |
при которых обращается в |
нуль знаменатель формулы (74). Вычисления по |
формуле (84) |
проводятся только в малых окрестностях точек, где |
= 0. |
Для того чтобы иметь возможность сравнивать величину реак ции в механизме с зазором с величиной реакции в идеальном меха низме, воспользуемся кинетостатическим анализом идеального кривошипно-ползунного механизма [10]. Разложим реакцию в шатунном подшипнике на две составляющие: одну вдоль шатуна
Ru, а вторую— перпендикулярно к н ей — RI (рис. 5). Тогда, приравнивая нулю сумму моментов сил, действующих на шатун
45
относительно точки В , согласно принципу Даламбера, получим
2 ЭЛВ= |
RH + М„ + Рвх |
sin ßo — m2g |
cos ß0 + |
|
|||
|
|
|
|
|
+ |
Р„у4р cos ßo, |
(85) |
где M K= |
— m2l2ß/12 |
— момент инерции |
шатуна относительно его |
||||
центра масс; Р„х = |
—т2Х\ |
и |
Рпу = |
— /л3У? — проекции |
сил |
||
инерции шатуна на оси X и Y . |
Проекции ускорения центра масс |
||||||
шатуна на оси координат X и У соответственно X® и У?, а также угловое ускорение ß3 определяются из геометрических соотноше ний в рассматриваемом механизме аналогично тому, как определя лись соответствующие ускорения в механизме с зазором. Разре
шая уравнение (85) относительно Ru, найдем тангенциальную составляющую реакции в шатунном подшипнике:
Я” = Т - (тг + sin ßo + s cos ßo + Y°s cos ß) .
Теперь приравняем нулю сумму проекций на ось X сил, дей ствующих на шатун и ползун. Получим
2х = — Я„ COS ßo + Ra sin ßo + PнХ + Риз X + F — 0,
где P Bзх = |
— m3X3 — сила инерции ползуна. Разрешая это |
уравнение |
относительно^ R„, получим формулу для определения |
другой составляющей реакции в шатунном подшипнике: |
|
Я2 = |
(RI sin ßo - т2 X® - /п3Х® + F). |
Полная реакция в шатунном подшипнике идеального криво-
шипно-ползунного механизма определяется по формуле |
|
Я„ = V(RI)2 + (Я,")2. |
(86) |
Для вычисления этой реакции в нестандартную часть общего моделирующего алгоритма следует добавить соответствующий опе ратор.
Определение ошибок положения, скорости и ускорения кривошипно-ползунного механизма с зазором в паре кривошип — шатун
Методы линейной теории точности механизмов позволяют опре делять ошибки положения и перемещения аналитическим или графо аналитическим путем при заданном положении механизма [11]. Для механизмов с зазорами в низших кинематических парах в рамках линейной теории точности можно вычислить ошибки ско рости и ускорения их ведомых звеньев, однако при этом указанные ошибки должны быть малыми величинами [37, 38].
46
В работах по нелинейной теории точности [17, 18] разработа ны методы определения ошибок положения, скорости и ускорения механизмов без каких бы то ни было ограничений, накладываемых на их величины. Эти методы основаны на применении средств вы числительной техники при решении задач точности механизмов. Совместное решение уравнений движения идеального механизма и механизма с зазорами при одном и том же законе движения ве дущего звена позволяет находить зависимость ошибок положения, скорости и ускорения от координаты ведущего звена.
Применим методы нелинейной теории точности к определению ошибок положения, скорости и ускорения кривошипно-ползунного механизма с зазором в паре кривошип — шатун. Положение ведомого звена, в данном случае ползуна, в неподвижной системе координат,
согласно рис. 3, определяется формулой |
|
Х 3 = г cos а + х + / cos ß. |
(87) |
Дифференцируя (87) по времени, найдем скорость и ускорение ползуна:
Х3 = — гео sin а ф- х — /ß sin ß
и
Х 3 = — гео2 cos а ф- X — / (ß sin ß ф- ß2 cos ß).
Для идеального кривошипно-ползунного механизма будем иметь
Л?®= г cos а 4 -/ cos ßo, |
Х 3 = — гео sin а — /ß0 sin ß0 |
и
Х 3 — — гео2 cos а — / (ßo sin ß0 ф- ßocos ß0).
Угловая скорость ß0 и угловое ускорение ß0 для идеального механизма можно определить из геометрических соотношений сог ласно рис. 5:
ßo = гео cos а// cos ß0
и
ßo = (— гео2 sin а ф- /ßo sin ßo)// cos ß0.
Угловая скорость ß и угловое ускорение ß для механизма с за зором находятся, как показано ранее, из решений уравнений дви жения по формулам (21) и (27) соответственно.
Тогда, используя полученные выражения, согласно [17], ошиб ки положения, скорости и ускорения рассматриваемого механиз ма можно записать в следующем виде:
ДХ3 = |
Х3 — Xi = X + / (cos ß - cos ßo), |
(88) |
|
ДХ3 = |
Хз — X°3= X — / (ß sin ß + |
ßosin ßo), |
(89) |
Д^з = |
X 3— X3 — X — I (ß sin ß + |
ß2 cos ß + ßosin ßo + |
ß2 cos ß). |
|
|
|
(90) |
47
Для вычисления по формулам (88) — (90) в общий моделирую щий алгоритм следует добавить соответствующие арифметические операторы.
Моделирующий алгоритм исследования динамики кривошипно-ползунного механизма с зазором
После соответствующих изменений в нестандартной части об щего моделирующего алгоритма его подробная операторная схема для рассматриваемой задачи может быть записана в следующем виде:
A Q 22’ 3M 3Q4< .M M *P eleQ7’ .»Л ІМ в/ю Л цЛ йРиіиЛ ІГ
13Л х 4 |
14 ’ 15 Q щР17 |
18S Q I 0 ^ 2 0 ^ 2 1 ~1 ’ 27 / 22 - ^ 2 3 ^ 2 4 Q 25 |
||
p t 2 9 p t |
22/-)8 17 26 Д D , СГ |
31- |
||
^ 2 6 |
“ 27 |
4 2 8 |
-'Н29“ 3 ( Ц З / 1 |
|
Соответствующая блок-схема программы приведена на рис. 6. Пунктиром обозначены нестандартные блоки программы, которые соответствуют операторам / 3 и / 8 блок-схемы на рис. 4.
После подготовки исходных данных, перевода их из десятичной системы счисления в двоичную, задания начальных условий, пе чати конкретных расчетных параметров механизма и выбранных на чальных условий управление передается арифметическому опера
тору Л 5, где вычисляются значения функции Ф2 по формуле |
(77), |
а затем работает логический оператор Р в, который проверяет |
ус |
ловие Ф2 = 0. Если это условие выполнено, т. е. знаменатель |
вы |
ражения (76) при заданных параметрах механизма и выбранных начальных условиях обращается в нуль, то управление передается последовательно оператору печати Q,, который отмечает на выход ном устройстве момент обращения Ф2 в нуль, арифметическому опе ратору Ag для изменения координаты у по формуле (78) и, наконец, вновь оператору А ь.
В начале работы программы, когда еще не просчитан ни один шаг и нет значения независимого переменного tk_1 на предыдущем
шаге, вместо х в формулу |
(78) подается |
значение, заданное в |
исходной информации. Цикл |
из операторов |
А 5, Рй, Q7, Л8 и А ъ |
будет работать каждый раз, когда оказывается выполненным ус ловие Ф2 = 0. Если же это условие не выполняется, то управление передается арифметическому оператору Л9 для вычисления значе ния второй производной т' по формуле (79), после чего вступает в действие оператор / 10, производящий интегрирование уравнений движения (80) по методу Рунге — Кутта четвертого порядка. Этот оператор строит команды обращения к библиотеке стандартных программ вычислительной машины и задает исходную информацию, необходимую для работы выбранной стандартной программы.
После того как проинтегрированы уравнения движения на каж дом шаге с заданной точностью, управление передается арифмети ческому оператору Ап , в котором вычисляются ошибки положения,
48
П о д г о т о в к а |
|
|
|
|
|
|
и с х о д н о й |
|
|
|
|
|
|
и н ф о р м а |
ц и и |
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
П е ч а т ь |
|
К о |
н е ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В ы б о р |
|
|
|
|
|
|
н а ч а л ь н ы х |
|
|
|
|
|
|
у с л о в и й |
|
|
|
|
|
|
П е ч а т |
ь |
|
В ы ч и с л е н и е |
|Z| |
|
|
|
|
8, I_____ “Г Г |
|
|
|
|
|
|
В ы ч и с л е н и е |
1 |
2 |
8 .......... |
|
В ы ч и с л е н и е % |
н а ч а л ь н ы х |
Ч - |
|
П е ч а т ь |
|
|
у с л о в и й |
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
В ы ч и с л е н и е f |
|
П е ч а т ь |
|
|
|
|
10 ' |
11 |
|
|
|
|
|
И н т е г р и р о В а - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н и е 7 |
В ы ч и с л е н и е |
|
|
|
|
|
п о |
К ц , |
4 Х3, AXji З Х 3 |
|
|
|
|
Р у н г е - К у т т у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П е ч а т ь |
|
|
|
|
|
Z4 |
|
Т П |
|
|
|
|
|
В ы ч и с л е н и е |
|
|
|
|
|
|
Xг+уг |
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
В ы ч и с л е н и е |
|
|
|
|
|
|
АХ3,А Х 3і АХ3 |
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
И н т е г р и р о в а н и е |
||
|
|
|
|
|
Л п о |
4-1 |
|
|
|
|
|
Р у н г е - К у т т у |
|
|
|
|
|
21 |
--------- |
|
|
|
|
|
|
В ы ч и с л е н и е |
|
|
|
|
|
20 |
___£>.ff |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
в ы ч и с л е н и е |
|
П б ч а т ь |
|
|
|
|
н а ч а л ь н ы х |
|
|
|
|
|
|
у с л о в и |
й |
L —___Г__________J
Рис. 6
скорости и ускорения рассматриваемого механизма, а также ве личины реакции в идеальном механизме, затем вступает в работу арифметический оператор АѴ1. Этот оператор вычисляет значение функции Т і при текущих значениях координат. Если =/= О, то управление передается арифметическому оператору Аи для вы
числения величины реакции |
R по формуле (74), если же Тщ = О, |
то управление передается |
арифметическому оператору А1Ъ для |
вычисления значения R по формуле (84).
От операторов Л14 и Л15 управление передается оператору пе чати Qle, который производит печать на выходном устройстве вы числительной машины требуемой информации: текущих значений независимого переменного, координаты у и ее производной f, ве личины реакции R и R„ и значения ошибок положения, скорости и ускорения в данном положении механизма. Передачей управле ния оператору Qle осуществляется выход из нестандартной части моделирующего алгоритма, соответствующей описанию движения кривошипно-ползунного механизма с зазором в паре кривошип — шатун при замкнутой кинематической цепи.
Стандартная часть рассматриваемого моделирующего алгоритма полностью эквивалентна стандартной части моделирующего алго ритма исследования динамики движения механизмов с двумя зазорами. Вход в группу операторов, описывающих движение криво шипно-ползунного механизма при нарушении контакта в паре 1—2 и соответствующих второй нестандартной части программы, осуществляется передачей управления от оператора Q10 оператору Л20. Оператор Q1B производит печать значений независимого пере менного, угла у и скорости ф, при которых произошел отрыв пальца шатуна от поверхности подшипника кривошипа.
Арифметический оператор Л20 осуществляет вычисление на чальных условий свободного движения в поле зазора А по форму лам (2) — (7) и передает управление арифметическому оператору Л2і, вычисляющему значения вторых производных х и у по форму лам (73). После этого управление передается оператору / 22 для численного решения уравнений движения (81) по методу Рун ге — Кутта, а затем арифметическому оператору А23 для вычисле ния ошибок положения, скорости и ускорения механизма в усло виях разомкнутой кинематической цепи. Оператор Л23 передает управление арифметическому оператору Л24, где вычисляется зна чение суммы квадратов координат центра пальца шатуна в подвиж ной системе координат хОу. Передачей управления оператору Q25 осуществляется выход из этой нестандартной части программы.
Вычислительная программа на алгоритмическом языке АВТОКОД-ИНЖЕНЕР
Решение поставленной задачи проводилось на ЭЦВМ «Минск-32» в режиме Т. Программа была составлена на алгоритмическом языке АВТОКОД-ИНЖЕНЕР. Используемый в ЭЦВМ «Минск-32» тран слятор с языка АВТОКОД на входной язык машины дает возмож
50