книги из ГПНТБ / Сергеев В.И. Исследование динамики плоских механизмов с зазорами

ветствуют порядковым номерам операторов в приводимой ниже блок-схеме программы):

А1 — оператор подготовки исходной информации, осуществляющий перевод констант из десятичной системы счисления в двоич­ ную;

Q i— операторы печати, производящие печать результатов реше­ ния задачи, параметров механизма и начальных условий;

//— операторы вычисления старших производных от обобщенных координат и интегрирования соответствующих уравнений движения. В эти операторы входят также арифметические операторы выбора начальных условий, вычисления началь­ ных условий при переходе от одного вида движения к дру­ гому, вычисления величин реакции в соответствующих ки­ нематических парах и суммы квадратов координат при дви­ жении внутри зазора, а также операторы преобразования координат;

Pj — логические операторы, осуществляющие проверку выполне­ ния условий перехода от одного вида движения к другому,

атакже момента окончания решения;

А27— арифметический оператор, вычисляющий некоторую функ­ цию от координат, которая служит для определения наступ­ ления периодического движения механизма с зазором;

Я29— оператор окончания решения.

Общий моделирующий алгоритм записывается в виде последова­ тельности приведенных выше операторов в соответствии с условиями задачи. Моделирующий алгоритм состоит из двух типов операто­ ров: арифметических операторов, которые после выполнения оп­ ределенных, заложенных в них операций передают управление сле­ дующему за ними оператору независимо от результатов вычисления и логических операторов, которые передают управление одному из двух других операторов. Логические операторы проверяют выполнение определенных условий и вырабатывают соответству­ ющий признак, равный 1, если проверяемое условие выполнено,

и0, если оно не выполнено.

Воператорной записи моделирующего алгоритма передача уп­ равления от одного оператора к другому обозначается последова­ тельной записью операторов. Если оператор получает управление от нескольких операторов, то их номера указываются сверху от этого оператора и отделяются один от другого запятой. Передача

управления логическим оператором обозначается стрелкой вверх с номером оператора, которому передается управление при выпол­ нении проверяемого условия, и стрелкой вниз с номером оператора, которому передается управление, если проверяемое условие не выполняется.

Таким образом, общий моделирующий алгоритм решения по­ ставленной задачи может быть записан в виде

AlQ* 2- 8’ 13’ 18' 26- 2B/ sQ4P p 7Pel; P8U8' 1319' 26/„Qio

31

Логические операторы P5, Pn , P17, P23 сравнивают текущее значение угла поворота кривошипа а с некоторым его значением а*, при котором возможно наступление периодического движения механизма с зазорами. Операторы Р„ и Р12 проверяют условие R1 0, т. е. регистрируют момент нарушения кинематической связи в паре 1—2, а операторы Р 7, Рв и Р2І проверяют условие R3 > 0. Операторы.Р13, Р25 и Р2а регистрируют момент окончания

Блок-схема программы, составленная в соответствии с написан­ ным алгоритмом, приведена на рис. 2. Оператор Аг переводит заданные параметры исследуемого механизма и начальных условий из десятичной системы счисления в двоичную и передает управле­ ние оператору Q2, который производит печать параметров и началь­

значения старших производных по заданным параметрам механиз­ ма и начальным условиям и интегрирует уравнения движения од­ ним из численных методов, например методом Рунге — Кутта [46]. Как правило, в библиотеке стандартных программ вычислительной машины имеется большое число программ, составленных в соответ­ ствии с методами численного интегрирования обыкновенных диф­ ференциальных уравнений [55]. После интегрирования на первом шаге по значениям полученных координат ух и у3 и их производных Ті и уд определяются величины реакций Рг и Р 3, производится печать этих значений, а также координат ул., Узи их производных или же эти значения передаются в запоминающее устройство для форми­ рования массивов данных, необходимых для построения соответ­ ствующих графиков, затем управление передается оператору Р 5, где проверяется условие а = а*.

а* выбирается равным а„ + 2л/г, т. е. такому значению угла по­

Оба выхода логического оператора Р„ подаются на входы логиче­ ских операторов Р 7 и Р3, проверяющих одно и то же условие R 3 0.

Если окажется, что R1> 0 и R3 > 0, то управление передается снова оператору / 3 и продолжается решение уравнений движения,

32

С4

Рис.

es

о

Подготовка исходной

2 В. И. Сергеев, К. М. Юдин

соответствующих движению механизма с контактом в обоих зазо­ рах на следующем шаге, и т. д. Если же окажется, что Rx ^ О, а Rs !> О, т. е. в паре 1—2 произошел разрыв контакта при сохра­ нении последнего в паре 2—3, то управление передается оператору / 21. Этот оператор решает уравнения движения рассматриваемого механизма при сохранении контакта в паре 2—3 и разрыве в паре

начальные условия и старшие производные и интегрирует получен­

После первого шага интегрирования уравнений движения управ­ ление передается оператору Ргз для проверки условия a = а*.

раняется контакт в паре 2—3 и сохраняются условия бесконтакт­ ного движения в паре 1—2, то управление снова передается опе­ ратору / 21 для дальнейшего интегрирования уравнений движения

IIвида.

Аналогично работают другие части блок-схемы программы.

Управление от каждого оператора, описывающего движение меха­ низма с зазорами, передается операторам печати результатов ре­ шения, а затем — логическим операторам, проверяющим условие а = а*. Если это условие не выполнено, то управление передается оператору, проверяющему одно из условий, определяющих вид движения механизма; в зависимости от выполнения этого условия управление может быть передано одному из логических операторов, проверяющих второе условие.

Если же на каком-то этапе решения задачи окажется выполнен­ ным условие а = а*, то управление будет передано арифметиче­ скому оператору Л27 для вычисления некоторой функции | 2 ] от текущих значений координат хг, х3, уг, у 3 или уь у3 и их производ­ ных, значение которой позволяет судить о наступлении периоди­ ческого режима движения.

В течение одного периода вращения кривошипа при заданных параметрах механизма и исходных начальных условиях может не произойти нарушения контакта ни в одной из кинематических пар, т. е. будет иметь место безотрывное движение: в других случаях могут происходить многократные отрывы с последующим восста­ новлением замкнутости кинематической цепи.

Если, выйдя из некоторой точки фазового пространства (х1г х3, ух, у 3, хх, х 3, уг, Уз) через определенное число периодов вращения кривошипа, решения уравнений окажутся в малой окрестности исходной точки, то данная ситуация будет повторяться в дальнейшем. Это следует из непрерывной зависимости решений рассматриваемых уравнений движения от параметров и начальных условий. Для ана-

34

Г л а в а II

ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ МЕХАНИЗМОВ С ЗАЗОРОМ НА ЭЦВМ

Уравнения движения кривошипно-ползунного механизма с одним зазором

Используя полученный общий моделирующий алгоритм, прове­ дем исследование динамики движения кривошипно-ползунного механизма с зазором в паре кривошип — шатун. Схематически этот механизм показан на рис. 3 (зазор А изображен в увеличенном мас­ штабе). При этом будем сохранять прежние допущения относитель­ но математической модели рассматриваемого механизма.

В зависимости от относительного расположения кривошипа и шатуна механизм будет обладать одной или двумя добавочными сте­ пенями свободы. Если сохраняется контакт в паре 1—2, добавочное движение определяется одной координатой у, при нарушении кон­ такта — двумя координатами — х и у. Как было показано в первой главе, при исследовании данного механизма можно воспользоваться общим моделирующим алгоритмом, составленным для решения за­ дач динамики механизмов с двумя зазорами.

После соответствующего преобразования применительно к рас­ сматриваемой задаче моделирующий алгоритм можно записать в виде

уравнения движения при разомкнутой кинематической цепи в паре 1—2. Эти операторы составляют нестандартную часть программы.

Уравнения движения рассматриваемого механизма являются частным случаем уравнений движения кривошипно-ползунного механизма с двумя зазорами, полученных в предыдущей главе. Уравнения, описывающие динамику механизма при разомкнутой кинематической цепи, можно получить из матричной записи урав­

37

Рис. 3

во всех формулах, в которые входят величины, относящиеся к за­ зору в паре 1—2, индекс 1 будет опускаться, т. е. будем полагать А = Дъ X = xlt у = Уі_ и т. д. Таким образом, уравнения движения рассматриваемого механизма с разрывом кинематической цепи в паре / —2 в матричном виде можно записать следующим образом:

Обобщенные силы Qy и Qx определяются равенствами (44) и (45),

причем Qx = QlXl и Qy = Qyi.

После преобразований, принимая во внимание (71) и (72), сис­

где D = I A |. Можно показать, что значение определителя D всегда строго больше нуля.

Таким образом, получена система уравнений (73), описывающая дополнительное движение в зазоре рассматриваемого механизма при разрыве кинематической цепи в паре 1—2.

38

Рис. 4

Для того чтобы записать уравнения движения механизма с зазором в паре 1—2 при сохранении контакта, следует восполь­ зоваться уравнением (67), положив в нем Л3 = 0 и заменив ух на у и Ах на А. Тогда получим

где Qy = QY, определяется равенством (35). Здесь с учетом вве­ денных обозначений (51) через Мгобозначены те же самые величины, что и выше, причем V = г© cos а + Ду cos у.

Сила трения FTP в паре 1—2 определяется формулой (1), где через R обозначено значение нормальной составляющей реакции в данной паре, для вычисления которой по формуле (24), согласно

39

дующим образом!

—у2 j ~ ^ j s'n ß---- l—ß2 cos ß- -rco2 cos a —Ay2 COS YJ sin ß —

----Y [or sin ß + Y2 -j- sin Y| COS ß + g cos ß | .

Следует отметить, что R не зависит от Y- Подставив выражение для R из (74) в (35), после ряда преобразований получим

+ F (sin Y + cos Ytgß)j

Теперь в окончательном виде дифференциальное уравнение вто­ рого порядка относительно обобщенной координаты у (для замкну­ той кинематической цепи) запишем следующим образом:

YA |/И2 sin2 Y + М3tg ß sin 2Y + M0 cos2 Y —

Разрешая (75) относительно Y. получим уравнение дополни­ тельного движения механизма с зазором А в паре 1—2 при наличии

40