книги из ГПНТБ / Сергеев В.И. Исследование динамики плоских механизмов с зазорами

вычисление обобщенных сил. Определим теперь обобщенные силы Qi, соответствующие выбранным обобщенным координатам Лагранжа. На рассматриваемый механизм действуют силы веса шатуна Р2 и ползуна Р а, приложенные к их центрам масс, и сила F, действующая на ползун вдоль оси X. Кроме того, в кинематических

парах 1—2 и 2—3 возникают силы трения Frp и Frp, которые будем считать направленными по касательной к поверхности подшипни­ ков. Их направление задается знаком угловых скоростей Ух и Тз> а именно их знаки всегда противоположны знакам соответствую­ щих скоростей движения точки контакта. Обобщенные силы по-раз­ ному выражаются в зависимости от того, какое из рассмотренных выше четырех возможных движений реализуется в данный момент.

Рассмотрим I вид движения, т. е. движение механизма с сохра­ нением контакта во всех кинематических парах. В этом случае добавочное движение определяется координатами ух и у3. Элемен­ тарную работу активных сил на виртуальном перемещении 6ух можно записать как

В это выражение не входит сила F'Pp, поскольку приращение получает только координата уг, а у3 остается фиксированной. Перемещение бYs, вызванное виртуальным перемещением бу1, определим, записав координату центра масс шатуна Y s в виде

Приращение öß определим, переписав выражение (14) в виде

Замечая, что от перемещения бух зависит только ß, будем иметь Ai cos ухбух = I cos ßöß, откуда

Подставляя (34) в (30) и (32), получим

бYs = yCosTiÖTx,

ÖX B = — Ах(cos Ti tg ß + sin Ti) буі-

21

Подставив эти выражения в (28) и разделив обе части НолучеН-1 Boro равенства на буі, найдем

Для определения обобщенной силы СД, зададимся виртуальным перемещением бу3 при фиксированной координате YiЭлементар­ ная работа активных сил на этом виртуальном перемещении будет равна

То же самое выражение для QY, следует взять и для случая II вида движения механизма, т. е. с сохранением контакта в кинема­ тической паре 2—3 и с разрывом в кинематической паре / —2. Оп­

ределим для этого случая обобщенные силы Q*, и (Д . Элементар­

22

Аналогично определяется обобщенная сила Q" :

Для третьего вида движения, с сохранением контакта в кине­ матической паре 1—2 и разрывом в кинематической паре 2—3, следует воспользоваться формулой (35). Тогда

Обобщенные силы Qi" и Q^'1находятся так же, как и обобщенные

Для четвертого вида движения, с разрывом в обеих кинемати­

Обобщенные силы Qi^ и Q™ также определяются по формулам (47) и (48).

Таким образом, получены выражения для обобщенных сил в каждом из четырех возможных видов движения механизма. Подстав­ ляя их в уравнения Лагранжа (8), получим окончательный вид дифференциальных уравнений добавочного движения меха­ низма.

Вывод уравнений движения. Для удобства дальнейших выкладок

где U и V определяются соответственно равенствами (17), (18) или (19), (20).

Определим сначала уравнения движения для случая IV вида движения, т. е. при разрыве кинематической цепи в парах 1—2 и 2—3. Для нахождения частных производных от Т по хг и хх

Для того чтобы определить частные производные от tg ß по хх и хх, найдем зависимость tg ß от обобщенных координат. Наличие зазоров Аа и А3 приводит к тому, что для любого заданного угла поворота кривошипа а угол ß (см. рис. 1) будет отличаться от соот­

23

ветствующего значения угла ß0 в механизме без зазоров на величи­

Разлагая sin ß = sin (ß0 + öß0) в ряд по степеням öß0 и огра­

Из геометрических соотношений для рассматриваемого меха­

tg ß « tg ßo + (Уі — ys)/l cos3ßo.

Теперь можно определить частные производные от tg ß по обоб­ щенным координатам и их скоростям:

д tg ß/dxy = д tg ß/д.«! = 0.

Тогда дТ/дхх = M2U — М 3Ѵ tg ß -|- m3x3 и дТ/дх1 — 0. Найдем производные от U, V и tg ß по времени:

dU/dt — — r ca2 cos а хъ

dV/dt = — г со2sin а -f- уг — y3,

d tg ß/'cft — —- ß/cos2ß.

Подставляя в последнее из полученных выражений значение ß из равенства (21), находим ätgß/dt = Ѵ/1 cos3ß.

Окончательно уравнение движения, соответствующее обобщен­ ной координате хх, можно записать в виде

+ reo2(M2cosa — M3tgß sina). (55)

Аналогично определяются остальные три уравнения движения, соответствующие обобщенным координатам х3, у 3 и ух\

ХіШ3 + x3m3— 'jfi/Пз tg ß + y3tn3tg ß = Qiy 4-

24

ческих уравнений (55)—(58) относительно хх и ух, х3 и у 3, решение которой можно представить в виде

1 хл

можно привести систему дифференциальных уравнений второго

25

Для Того чтобы вывести уравнения, соответствующие II1 виду

d tg ß/дуі = Ах cos YiH cos3ß.

Производные от {Уи У по времени t будут иметь вид

dU/dt=-- — /то2cos а — Ах(уі sin Yi + f xcos Yi),

dV/dt = — reo2sin а + Ax (fi cos Yi — T2sin Yi) — y3-

Тогда, выполняя дифференцирование в соответствии с уравне­ нием Лагранжа (8), после преобразований можно записать уравне­ ние движения, соответствующее обобщенной координате ух в виде

YI AI (М2sin2Yi + М3tg ß sin 2YI + M0cos2Yi) —

— x3m3(sin Yi + cos Yi tg ß) —

— y3[M 3sin Yi tg ß + Mo cos Yi + -^r cos Ti) =

*2 I A42— Mo

— Аітгі (-

Tl l 2

— гм2[M2sin Yi cos а + M3tg ß cos (а + Yi) — M0sin а cos Yi] —

7 E^ p -(M 3s i n Y i + MjtgßcosYi). (62)

Уравнения (56) и (58), соответствующие обобщенным коорди­ натам х3 и уз, можно записать следующим образом, заменив в них

Q'X! и Q™ соответственно на Qi” и Q^1:

26

ференциальных уравнений второго порядка, разрешенных отно­ сительно старших производных, и определяющих динамику дви­ жения механизма с зазорами в случае разрыва в паре 2—3 и со­ хранения контакта в паре 1—2.

Аналогичным образом может быть получена система дифферен­ циальных уравнений, описывающая движение механизма в случае разрыва в паре 1—2 и сохранения контакта в паре 2—3, которую можно записать в виде

Уравнения движения механизма I вида, т. е. с сохранением кон­ такта в обеих парах, описываются двумя дифференциальными урав­ нениями относительно обобщенных координат ух и у3. Чтобы полу­ нить эту систему уравнений, достаточно в ранее полученных урав­ нениях относительно ух и у3 сделать замену переменных согласно равенствам (65) и (66). Тогда после преобразований уравнения

27

движения можно записать в виде

І А (М2 sin2 Ti + М 3tg ß sin 2yx + M0 cos2 Yi) + + І А [тзsin Тз (sin Yi + tg ß cos Yi) —

— cos Тз fЛ13sin Yi tgß + M0COS Ti + “5^ cos Yi

Ql,

Ai Д1ІГ1 2 9 M° sin 2Ti + M3 tgßcos 2^3.) —

— A3Ys [m3 cos Гз (sin Ti tg ß — cos Yi) +

V3

/ cos3 ß (M3sin Yi + Mi tg ßcos Yi), (67)

— YA [sin Yi (Mo tg ß cos Y3— tn3sin Ys) — cos Y3 COS Тз —

— M0 cos Y3+ tn3sin Y3tg ßj j + YsA3M0 cos2Ys =

QI

=-д^- + AI YI [cos Yi (Mo tg ß cos Ys — tn3sin Y3) +

+ sin Yi (^Y COS Ys — Mo COS Ys + m3sin Ys tg ßj] —

— A3Y3 (m 3 tg ß — Mo sin Ys cos Y3 + m 3 sin Ys COS YS) —

—reo2(M0 sin a cos Y3— M3 tg ß cos a cos Y3 —

—-yt sin a cos Y3 + rn3cos a sin Y3— m3sin a sin Тз tg ßj —

Обобщенные силы Ql, и Ql, определяются соответственно ра­ венствами (35) и (40).

Выбор метода решения уравнений движения

Анализ полученных уравнений для всех четырех видов движе­ ния показывает, что их аналитическое решение невозможно. В пра­ вые части этих уравнений входят члены с квадратами производных от обобщенных координат, которыми, как показывают расчеты, нельзя пренебрегать по малости. Кроме того, в правые части входят тригонометрические функции от искомых переменных. Таким об­ разом, правые части уравнений движения являются сложными не­ линейными зависимостями от обобщенных координат.

28

Остается единственный путь решения подобного рода уравнений движения механизмов с зазорами средствами вычислительной тех­ ники. В настоящее время имеются две возможности такого решения: либо на аналоговых, либо на цифровых вычислительных машинах. Оба метода обладают своими специфическими достоинствами и недостатками.

Метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений на аналоговых вычислительных машинах (АВМ) [39, 47, 63] за­ ключается в наборе из стандартных активных или пассивных блоков структурной схемы, электрические процессы в которой описыва­ ются требуемыми дифференциальными уравнениями. Тогда, ре­ гистрируя в определенных точках схемы электрические сигналы, пропорциональные значениям искомых неизвестных, можно полу­ чить решения в виде графиков зависимостей искомых переменных от их аргументов.

Большим преимуществом этого метода является наглядность получаемых результатов. Искомые зависимости получаются сразу в процессе решения задачи и при минимальной обработке резуль­ татов. При наличии многоканального регистрирующего устройства можно одновременно получить графики нескольких переменных.

Другим преимуществом АВМ является относительная простота программирования. При решении задачи на АВМ нет необходи­ мости составлять специальные программы и затем вводить их в ма­ шину. В процессе решения задачи относительно просто можно производить разнообразные изменения в исходной постановке за­ дачи, включать в схему и выключать отдельные блоки, проверяя тем самым правильность набора задачи и выясняя влияние от­ дельных членов уравнения на решение.

Однако АВМ свойственны и существенные недостатки, которые в ряде случаев не позволяют ими воспользоваться. Прежде всего ограничением является относительно невысокая точность решения задач. В настоящее время наиболее совершенные АВМ позволяют решать сложные нелинейные дифференциальные уравнения с точ­ ностью порядка 0,01—1,0% [13, 14, 42, 71, 74, 78]. При этом с уве­ личением сложности уравнений точность их решения понижается. В этом случае наименее точно работают блоки, выполняющие сле­ дующие операции: умножение, деление, воспроизведение нелиней­ ных функций. В рассматриваемой же задаче только при решении двух уравнений второго порядка (67) и (68), описывающих допол­ нительное движение механизма с зазорами при сохранении контак­ та в обеих парах, необходимо было бы набрать на блоках воспроиз­ ведения нелинейных зависимостей 11 тригонометрических функций и выполнить более 250 операций умножения и деления. Очевидно, что такое большое количество нелинейных операций, которые в АВМ выполняются наименее точно, привело бы к относительно большим погрешностям в вычислениях, если учитывать еще, что отношение величин зазоров к линейным размерам звеньев механиз­ ма имеет порядок 10-5—10-в.

29

Кроме того, при решении поставленной задачи необходимо вы­ полнить значительное количество логических операций, связанных с определением моментов перехода от одного вида движения к дру­ гому. В этом смысле АВМ обладают ограниченными возмож­ ностями.

Поэтому корректное решение задачи исследования движения механизмов с зазорами в его кинематических парах на АВМ в рассмат­ риваемом случае не представляется возможным. Хотя в отдельных случаях, по-видимому, при исследовании качественной картины поведения механизмов с зазорами средства аналоговой вычисли­ тельной техники могут быть использованы.

По указанным выше причинам рассматриваемую задачу будем решать с применением ЭЦВМ. Точность их работы определяется только величиной разрядной сетки машины и используемым ал­ горитмом решения задачи. Так, арифметические операции выпол­ няются машинами типа «Минск-2» и «Минск-32» с точностью порядка ІО-7. Причем подобная точность решения задачи не изменяется со временем и не зависит от времени решения задачи. Формирова­ ние нелинейных функций производится стандартными подпрограм­ мами с такой же высокой точностью. При использовании стан­ дартных подпрограмм решения систем дифференциальных уравне­ ний можно задавать требуемую точность решения. Большим не­ удобством до последнего времени при использовании цифровой вычислительной техники была сложность подготовки задачи к ее решению на машине, т. е. программирование на языке конкретного, типа машины с последующей перфорацией программы и вводом ее в машину. Однако в настоящее время повсеместно находит приме­ нение автоматизация программирования, заключающаяся в напи­ сании программы на алгоритмическом языке типа АЛГОЛ, ФОРТРАН, АКИ-ИҢЖЕНЕРи других. При этом не требуется знать код операций конкретного типа машины. Именно это позволяет широко использовать ЭЦВМ в инженерной практике.

Как правило, современные ЭЦВМ снабжены выходными устрой­ ствами, представляющими результаты решения задачи в наглядной графической форме, и не уступают в этом смысле соответствую­ щим возможностям АВМ.

Кроме того, важным достоинством ЭЦВМ является простота реализации большого количества сложных логических операций, что необходимо при решении рассматриваемой задачи при переходе от одного вида движения к другому.

Общий моделирующий алгоритм исследования дополнительного движения механизмов с двумя зазорами

Составим общий моделирующий алгоритм [21] исследования ди­ намики плоских механизмов с двумя зазорами в его кинематических парах. Введем следующие операторы (значения индексов / соот­

30