книги из ГПНТБ / Сергеев В.И. Исследование динамики плоских механизмов с зазорами

определяются моменты разрыва кинематической цепи и восстанов­ ления контакта, величины скоростей относительного движения элементов соударяющихся пар при восстановлении контакта. Подробно исследуется влияние зазора на динамику кривошипноползунного механизма при различных соотношениях параметров последнего.

Проводится исследование влияния трения в кинематической паре с зазором на величину реакции в паре и характер движения пальца в подшипнике. Показано, что наличие трения вносит значи­ тельные изменения в динамику рассматриваемого механизма с за­ зором. Так, кривая зависимости величины реакции в шатунном подшипнике с зазором от угла поворота кривошипа на участках безотрывного движения имеет вид затухающих колебаний, и с тече­ нием времени значение реакции оказывается равным соответствую­ щему значению в идеальном механизме, чего не наблюдается при решении поставленной задачи без учета сил трения. Резкие измене­ ния величины реакции, предшествующие моментам разрыва кине­ матической цепи, идентичны как в механизме без учета сил трения, так и при учете последних в паре с зазором.

Согласно проведенным расчетам характер изменения величины реакции в условиях безотрывного движения в качественном отноше­ нии находится в удовлетворительном соответствии с частными ре­ зультатами, полученными другими авторами при исследовании аналогичных по своей конструкции механизмов иными приближен­ ными расчетными и экспериментальными методами [33, 50, 54, 59, 60, 61, 64, 66, 72].

Проведен анализ точности решения уравнений движения. Выяв­ лено, что при решении рассматриваемой задачи следует задавать точность интегрирования уравнений движения порядка ІО-4. Мень­ шая точность приводит к значительным искажениям траекторий движения и графиков изменения величины реакции в шатунном подшипнике с зазором. В ряде случаев при необходимости получить лишь качественную картину движения механизмов с зазорами с целью сокращения непроизводительных затрат машинного времени можно решать поставленную задачу с точностью порядка 10-2.

Далее в работе проводится исследование влияния на динамику рассматриваемого механизма величины зазора, внешней нагрузки, отношения длины кривошипа к длине шатуна и соотношений масс шатуна и ползуна, причем параметры механизма изменяются в пре­ делах, соответствующих широкому диапазону реально существую­ щих механизмов. Расчеты проводились как с учетом различного вида сил трения в паре кривошип — шатун, так и при отсутствии указанной силы трения. Результаты расчетов при разных значениях параметров приведены в виде таблиц.

Следует отметить, что предложенный подход к исследованию динамических моделей механизмов с зазорами не накладывает никаких ограничений на величины зазоров и геометрические раз­ меры звеньев механизма.

11

f л а в а !

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ОБЩИЙ МОДЕЛИРУЮЩИЙ АЛГОРИТМ

ИССЛЕДОВАНИЯ МЕХАНИЗМОВ С ЗАЗОРАМИ

Влияние зазоров в кинематических парах на динамику механизмов

Будем называть «идеальным» механизмом такой, в кинематических парах которого отсутствуют зазоры. Если при этом механизм об­ ладает одной степенью свободы, то положение любой точки его звеньев однозначно определяется заданием одной координаты ве­ дущего звена. При заданных параметрах механизма и внешних си­ лах, действующих на него, движение ведущего звена будет опи­ сываться одним обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка относительно выбранной координаты. Подобные уравнения могут быть получены различными методами на основа­ нии общих законов механики [1, 4, 7, 25, 30]. Зная закон движения ведущего звена, его скорость и ускорение в каждый момент вре­ мени, можно, исходя из кинематических соотношений для рассмат­ риваемого механизма, получить выражения для скорости и ускоре­ ния любой точки звеньев механизма. Величины реакций в его ки­ нематических парах могут быть определены из последующего кинетостатического анализа.

Однако «реальный» механизмАтличается от идеального как не­ точностью изготовления отдельных его звеньев, так и наличием зазоров в кинематических парах. Условия собираемости механизма и возможности относительного движения его звеньев приводят к возникновению зазоров в кинематических парах. Величины зазо­ ров выбираются в соответствии с предъявляемыми к механизму технологическими и точностными требованиями и ограничиваются принятыми допусками. По назначению зазоров механизмы можно разделить на две группы:

1) механизмы, в которых зазоры служат только для обеспече­ ния собираемости механизмов и относительного движения звеньев, их по возможности стремятся уменьшить;

2) виброударного действия, принцип работы которых основан на использовании эффектов соударения смежных звеньев в зазоре.

Настоящая работа посвящена исследованию влияния зазоров на динамику механизмов первой группы.

Наличие зазоров в кинематических парах реальных механизмов намного усложняет анализ движения последних, а также определе-

12

На определенных участках движения такого механизма будет осу­ ществляться контакт в кинематической паре с зазором, на других участках может происходить независимое движение одного звена относительно другого, при этом будет иметь место разрыв кине­ матической цепи. В течение одного цикла движения ведущего зве­ на контактное и бесконтактное движения могут многократно чере­ доваться. Движение механизма с контактом и без контакта описы­ вается разными уравнениями, решения которых должны сопря­ гаться в точках перехода от одного вида движения к другому. Сле­ довательно, в рассматриваемом случае приходится проводить ис­ следование динамики механизмов с переменной структурой.

При чередовании замкнутого и разомкнутого состояний кине­ матической цепи механизма с зазорами будет происходить много­ кратное соударение элементов кинематической пары, при этом уве­ личивается износ трущихся поверхностей по сравнению с предпо­ лагаемым износом в идеальном механизме [19]. Кроме того, как показывают расчеты, даже в условиях сохранения контакта в кине­ матической паре скорость относительного движения элементов па­ ры с зазором на отдельных участках намного превышает скорость относительного движения этих же элементов в идеальном механиз­ ме, а величина реакции в этих соединениях также превосходит соответствующие значения для идеального механизма. Все это при­ водит к ускоренному износу элементов кинематических пар и поте­ ре работоспособности механизма вследствие возникновения в его рабочем цикле «постепенных» отказов [15, 16].

Характерной особенностью задачи исследования динамики ме­ ханизмов с зазорами является несоизмеримая малость величин последних по сравнению с номинальными размерами отдельных звеньев механизма. Однако наличие этих зазоров может оказать существенное влияние как на законы движения его звеньев, так и на работоспособность механизма в целом.

Динамическая модель механизма с зазорами

Не ограничивая общности исследования механизмов с зазорами (с точки зрения разработки общих методов подхода к исследованию подобных механизмов), рассмотрим аксиальный кривошипно-пол­ зунный механизм с зазорами в соединениях кривошип—шатун и шатун — ползун. Схематически этот механизм показан на рис. 1 (зазоры изображены в увеличенном масштабе). Величина зазора равна разности радиусов подшипника и шипа (А = гх —г2). Подоб­ ная схема механизма используется в двигателях внутреннего сго­ рания, различного вида насосах, механизмах плоско-печатных стан­ ков и во многих других машинах, служащих для преобразования вращательного движения в поступательное или наоборот.

13

де прямолинейного тонкого стержня с равномерно распределенной массой. Это позволяет при выводе уравнений движения считать массу шатуна сосредоточенной в его геометрическом центре (в точ­ ке s). Массу ползуна будем считать сосредоточенной в его центре масс (в точке 03). Звенья механизма будем предполагать абсолют­ но жесткими, зазор между ползуном и направляющими, а также трение в этой паре учитывать не будем.

Предполагается, что зависимость сил трения в парах 1 — 2 и 2—3 от скорости относительного движения соответствующего шипа в подшипнике у имеет форму полинома

Вдальнейшем при численных расчетах на ЭЦВМ будем задавать

висходной информации различные значения коэффициентов тре­

14

ния, в частности равные нулю, исследуя таким образом динамику рассматриваемого механизма в условиях, когда трение в парах с зазорами отсутствует либо имеется только сухое, жидкостное или квадратичное трение, либо их комбинация.

Выберем в качестве неподвижной системы координат прямо­ угольные декартовы координаты ХОУ, начало отсчета поместим

воспользуемся полярными (р^ ух) и (р3, у3), что позволяет записать

без зазоров, имеет одну степень свободы, положение всех звеньев такого механизма однозначно определяется заданием угла а. При наличии двух зазоров в соединениях 1—2 и 2—3 этот механизм получает дополнительно 2, 3 или 4 степени свободы в зависимости от того, сохраняется ли контакт в кинематических парах механиз­ мов или кинематическая цепь разомкнута. Возможны четыре вида движения рассматриваемого механизма:

I. С сохранением контакта во всех кинематических парах, в этом случае дополнительное движение механизма определяется

тельное движение будет определяться четырьмя координатами хх,

в полярные или наоборот. Например, при выполнении условия на­ рушения контакта в паре 1—2, т. е. при обращении нормальной составляющей реакции Rx в нуль начальные условия для уравне­ ний свободного движения в поле зазора А* определяются по форму­

15

где Yi° — значение угла ух, при котором произошел разрыв кине­ матической цепи в паре 1—2. Дифференцируя равенства (2) и (3) по времени, получим два других начальных условия:

где fi° —значение угловой скорости дополнительного движения пальца шатуна по поверхности подшипника кривошипа в момент отрыва.

При переходе от свободного движения в поле зазора к контакт­ ному начальное значение угловой координаты у-, определяется по формуле

хт

где рх — скорость движения пальца шатуна по нормали к окруж­ ности.

В настоящей работе принята модель неупругого удара, т. е. коэффициент восстановления нормальной составляющей скорости соударения принимается равным нулю, следовательно,

свободной) движения и движения с контактом в зазоре А3. Момент перехода от свободного движения -в поле соответствующего зазора

}6

Вывод уравнений движения кривошипно-ползунного механизма с зазорами

Поскольку в рассматриваемой модели механизма с зазорами движение ведущего звена считается заданным, то для получения уравнений добавочного движения механизма достаточно записать уравнения относительно координат xlt уІУх 3, у 3или ух, УзВосполь­ зуемся уравнениями Лагранжа второго рода:

где Т — кинетическая энергия ползуна и шатуна, выраженная че­

Определение кинетической энергии шатуна и ползуна. Кине­ тическая энергия шатуна в неподвижной системе координат XOY выражается формулой

где m2 — масса шатуна; vs — скорость поступательного движения его центра масс в неподвижной системе координат XOY\ Is — мо­ мент инерции шатуна относительно его центра масс; ß —угловая

(ем. рис. 1) через геометрические параметрьГмехан^змшнякоориина-

I иаучно-трхн.-1'."-»**»аг! Г

б библио '..-к« ',У. С Р I J-

Поскольку в рассматриваемой модели механизма шатун пред­ полагается прямолинейным тонким стержнем, его момент инерции

Ползун совершает только возвратно-поступательное движение, следовательно, его кинетическая энергия может быть записана в виде Тп = т3и3/2, где т3 — масса ползуна, ѵ3 — скорость его цен­ тра масс в неподвижной системе координат XOY.

Продифференцируем по времени следующее выражение, при помощи которого определяется координата центра масс ползуна

внеподвижной системе XOY:

Х3 — г cos а -|- д'х -|- I cos ß — х3.

18

Врезультате получим

Х3 =: ѵ3 — — л о sin а -|- х1 — д'з — 1$sin ß.

Определение величины реакции в кинематических парах с зазо­ рами. Контакт внутренней поверхности подшипника с поверхностью шипа осуществляется по их общей образующей. Силу реакции в кинематической паре с зазором можно представить как сумму двух составляющих: нормальной реакции, совпадающей по направ­ лению с общей нормалью к соприкасающимся окружностям, и силы трения, направленной по касательной к указанным окружностям (см. рис. 1). За положительное направление нормальной составля­ ющей реакции примем направление к центру подшипника. Для нахождения нормальной составляющей реакции в паре 1—2 сог­ ласно принципу Даламбера приравняем нулю сумму моментов сил, действующих на шатун относительно точки В (см. рис. 1) с учетом сил инерции шатуна. За положительное направление момента сил примем направление возрастания угла ß. Тогда в соответствии с рис. 1 будем иметь

Р„X и Рщ — проекции сил инерции шатуна на оси X и Y, прило-

19

&eüHi>te к его Центру масс; Р 2 — сила веса Шатуна. Согласно прин­ ципу Даламбера

= Р’ Рн.ѵ' — m2x s, Рни — пцУsi

Воспользовавшись формулой (1) для силы трения и решая (23) относительно Rlt можно записать выражение для нормальной сос­

геометрических соотношений для рассматриваемого механизма.

Для нахождения ß продифференцируем равенство (15) по вре­ мени:

Таким образом, оказывается, что нормальная составляющая реакции Rx в паре кривошип — шатун зависит от геометрических параметров механизма и от первых и вторых производных по вре­ мени от добавочных координат в кинематических парах 1—2 и 2—3. Последние следует определить из решения дифференциальных уравнений движения механизма.

Аналогичным образом, приравнивая нулю сумму моментов сил,

20